Funzioni trigonometriche: seno, coseno e tangente

Trova analiticamente tutti i punti di intersezione (coordinate $x$ e $y$) dei grafici delle funzioni $f(x) = \sin(x)$ e $g(x) = \cos(x)$ nell'intervallo chiuso $[0, 2\pi]$. Giustifica la tua risposta utilizzando le proprietà delle funzioni trigonometriche.

Determina l'ampiezza e il periodo della funzione trigonometrica $f(x) = 4\sin(3x)$.

Calcola la funzione $g(x) = 2\cos(x) - 1$ nei valori $x = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \pi$ e $x = \frac{3\pi}{2}$.

Trova tutti i punti di intersezione con l'asse delle ascisse (asse x) della funzione $y = \sin(x)$ nell'intervallo chiuso $[0, 2\pi]$.

Osserva il seguente grafico e determina se corrisponde alla funzione seno o alla funzione coseno. Giustifica la tua risposta indicando il punto di intersezione con l'asse Y e il tipo di simmetria che presenta.

Classifica le funzioni elementari $f(x) = \sin(x)$, $g(x) = \cos(x)$ e $h(x) = \tan(x)$ in base al tipo di simmetria che presentano (pari o dispari).

Calcola il periodo esatto della funzione $y = \tan\left(\frac{x}{3}\right)$.

Determina il dominio della funzione $f(x) = \tan(2x)$ e scrivi le equazioni dei suoi primi tre asintoti verticali positivi.

Indica il dominio e il codominio della funzione trigonometrica $h(x) = 5\sin(x) + 2$.

Descrivi quale trasformazione geometrica subisce il grafico della funzione $f(x) = \cos(x)$ per diventare il grafico di $g(x) = \cos(x) - 3$. Qual è il nuovo codominio della funzione $g(x)$?

L'altezza in metri a cui si trova una delle cabine di una ruota panoramica in funzione del tempo in minuti è data dall'espressione $h(t) = 20 - 15\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)$. Calcola l'altezza massima e minima raggiunta dalla ruota e determina il tempo esatto che impiega a compiere un giro completo.

Un peso appeso all'estremità di una molla oscilla verticalmente. La sua posizione rispetto al soffitto è data dall'equazione $y(t) = 8\cos(4t) - 20$, misurata in centimetri. Indica a quale distanza dal soffitto si trova il peso nell'istante iniziale ($t=0$), qual è la sua posizione più bassa (maggiore distanza dal soffitto) e qual è il periodo di oscillazione della molla.

Disegna uno schizzo della funzione $g(x) = 3\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$. Spiega passo dopo passo come si ottiene questo grafico applicando traslazioni e dilatazioni al grafico originale della funzione $f(x) = \sin(x)$.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Il livello dell'acqua in un porto varia periodicamente a causa delle maree. Il grafico seguente mostra l'altezza dell'acqua in metri nell'arco di $24\text{ ore}$. Determina l'ampiezza, il periodo e l'altezza media dell'acqua. A partire da questi dati, proponi un'espressione trigonometrica del tipo $h(t) = A\sin(Bt) + D$ che si adatti al grafico mostrato.

Un'onda sonora pura emessa da un diapason è modellata dalla funzione $P(t) = 0,02 \sin(880\pi t)$, dove $P$ rappresenta la variazione di pressione in pascal e $t$ il tempo trascorso in secondi. Determina l'ampiezza dell'onda e la sua frequenza (il numero di cicli completi che compie al secondo).

La tensione di una corrente alternata in un impianto domestico europeo si può esprimere mediante la funzione $V(t) = 325 \sin(100\pi t)$, dove $V$ è la tensione in volt e $t$ il tempo in secondi. Calcola la tensione massima raggiunta e scopri quante volte al secondo la tensione assume esattamente il valore $0\text{ volt}$.

Il numero di ore di luce solare in una certa città nel corso dell'anno si può approssimare mediante la funzione $H(d) = 12 + 3\sin\left(\frac{2\pi}{365}(d-80)\right)$, dove $d$ rappresenta il giorno dell'anno ($d=1$ è il 1º gennaio). Quante ore di luce ci sono esattamente il giorno $d=80$? E il giorno $d=262$ (mezzo anno dopo)? Interpreta il significato dei due risultati.

Il pendolo di un orologio a muro oscilla da un lato all'altro. Il suo spostamento orizzontale in centimetri rispetto al centro è modellato dalla funzione $x(t) = A \cos(Bt)$. Sapendo che il pendolo raggiunge uno spostamento massimo di $12\text{ cm}$ e compie un ciclo completo di andata e ritorno ogni $2\text{ secondi}$, determina i valori esatti dei parametri $A$ e $B$. Inoltre, calcola in quali istanti esatti durante i primi $4\text{ secondi}$ il pendolo passa proprio per la posizione centrale di equilibrio.

La temperatura media mensile di una città è modellata con una funzione trigonometrica. Osserva il grafico che rappresenta la temperatura $T$ in gradi Celsius in funzione del mese $m$ (dove $m=0$ corrisponde a inizio gennaio, $m=1$ a inizio febbraio, ecc.). Determina i valori dei parametri $A, B, C$ e $D$ in modo che la funzione $T(m) = A \cos(B(m - C)) + D$ rappresenti fedelmente questa curva.

Secondo la teoria dei bioritmi, la capacità fisica di una persona segue un ciclo sinusoidale di $23\text{ giorni}$ e la capacità emotiva un ciclo di $28\text{ giorni}$. Se entrambe le capacità sono modellate con funzioni seno di ampiezza $1$ che partono da zero il giorno della nascita ($t=0$), scrivi le funzioni $F(t)$ e $E(t)$. Quanti giorni esatti devono passare dalla nascita perché entrambe le capacità tornino ad attraversare contemporaneamente il valore zero, diventando entrambe positive?

La popolazione di conigli in una riserva naturale varia ogni anno secondo il modello $P(t) = 800 + 300\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)$, dove $t$ rappresenta il tempo in mesi ($t=0$ è il 1º gennaio). Imposta e risolvi la disequazione trigonometrica corrispondente per determinare esattamente durante quali mesi del primo anno la popolazione si mantiene strettamente al di sopra di $950\text{ conigli}$.

Il fascio di luce di un faro rotante illumina una scogliera rettilinea e lunga. La distanza $d$ (in metri) dal punto più vicino della scogliera al punto illuminato nell'istante $t$ (in secondi) è data dalla funzione $d(t) = 200 \tan\left(\frac{\pi}{4}t\right)$. Determina il dominio di questa funzione nel contesto fisico del problema (per il primo giro) e interpreta che cosa accade al fascio di luce quando $t$ si avvicina a $2\text{ secondi}$.

Dimostra, mediante l'analisi delle traslazioni orizzontali, che la funzione $f(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ è equivalente alla funzione $g(x) = \cos(x)$. Utilizza i concetti di sfasamento, periodicità e la forma dei loro grafici per giustificare la tua risposta.

Il volume d'aria presente nei polmoni di una persona a riposo, misurato in litri, è modellato dalla funzione $V(t) = 2,5 + 0,5\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)$, dove $t$ è misurato in secondi. Calcola il volume massimo e minimo di aria nei polmoni. A partire dal periodo della funzione, determina quanti atti respiratori completi (cicli completi di inspirazione ed espirazione) compie questa persona in un minuto esatto.