Schemi e regolarità

Osserva le seguenti sequenze numeriche e scrivi i due termini successivi di ciascuna, spiegando la regola che seguono:

• $5,\ 9,\ 13,\ 17,\ \ldots$

• $2,\ 6,\ 18,\ 54,\ \ldots$

• $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ \ldots$

La successione di Fibonacci inizia così: $1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ \ldots$; ogni termine si ottiene sommando i due precedenti. Scrivi i quattro termini successivi.

Osserva la sequenza $1,\ -2,\ 3,\ -4,\ 5,\ -6,\ \ldots$

• Scrivi i tre termini successivi.

• Qual è il termine che occupa il posto $25$? È positivo o negativo?

Un lavoretto consiste nel costruire triangoli in catena con degli stuzzicadenti, come mostrato nella figura.

• Quanti stuzzicadenti servono per costruire la figura 4?

• E per la figura 5?

Osserva la sequenza di figure formate da punti nell'immagine.

• Quanti punti avrà la figura 4? E la figura 5?

• Che relazione c'è tra il numero della figura e la quantità di punti?

Un'impresa edile impila blocchi formando scale, come mostrato nella figura.

• Conta i blocchi delle figure 1, 2 e 3 e calcola quanti blocchi avrà la figura 4.

• Quanti blocchi avrà la figura 10?

• Scrivi un'espressione generale per il numero di blocchi della figura $n$. (Suggerimento: unisci ogni scala con la sua simmetrica per formare un rettangolo.)

La successione $a_n$ ha termine generale $a_n = 4n - 1$. Calcola i termini $a_1$, $a_5$ e $a_{20}$.

Considera la successione $7,\ 12,\ 17,\ 22,\ \ldots$

• Trova il suo termine generale $a_n$.

• Verifica se $157$ è un termine della successione e, in caso affermativo, indica quale posto occupa.

• $200$ appartiene alla successione? Motiva la risposta.

Uno studente afferma che il termine generale della successione $2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \ldots$ è $a_n = 2n$. Indica se l'affermazione è vera o falsa, motiva la risposta e scrivi il termine generale corretto.

Una successione è definita per ricorrenza così: $a_1 = 2$ e $a_n = 2\cdot a_{n-1} + 1$.

• Calcola i primi cinque termini.

• Confronta ogni termine con le potenze di $2$ ($2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \ldots$) e descrivi la regolarità che osservi.

• Alla luce della regolarità osservata, quale sarà il valore di $a_{10}$?

Nel suo libro Liber Abaci (1202), Leonardo da Pisa, noto come Fibonacci, pose questo problema: una coppia di conigli appena nata impiega un mese a diventare adulta; da allora, ogni mese ha una nuova coppia di cuccioli, che a loro volta seguono la stessa regola. Nessun coniglio muore.

• Partendo da una sola coppia appena nata, completa una tabella con il numero di coppie alla fine di ciascuno dei primi sei mesi.

• Scrivi la legge di ricorrenza che segue la successione.

• Quante coppie ci saranno dopo $10$ mesi?

Due compagni discutono sul termine generale della successione che comincia con $2,\ 4,\ 8,\ \ldots$

• Aitana dice che è $a_n = 2^n$.

• Bruno dice che può essere $b_n = n^2 - n + 2$.

• Verifica che entrambe le espressioni generano i primi tre termini.

• Calcola il quarto termine secondo ciascuna delle due espressioni. Coincidono?

• Trai le conclusioni: i primi tre termini di una successione ne determinano il termine generale in modo unico?

I numeri triangolari sono $1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15,\ \ldots$ (punti che formano un triangolo) e i quadrati sono $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ \ldots$

• Verifica con i primi quattro casi che ogni numero quadrato (a partire da $4$) è la somma di due numeri triangolari consecutivi.

• Scrivi questa proprietà con un'uguaglianza algebrica usando i termini generali $T_n = \frac{n\cdot(n + 1)}{2}$ e $C_n = n^2$, e dimostrala.

• Illustra con un disegno di punti perché la proprietà è vera per $C_4 = 16$.

La congettura di Collatz, proposta nel 1937 e ancora non dimostrata, parte da un qualsiasi numero naturale e applica questa regola: se il numero è pari, si divide per $2$; se è dispari, si moltiplica per $3$ e si somma $1$. La congettura afferma che si arriva sempre a $1$.

• Applica la regola partendo da $7$ e scrivi la sequenza completa fino ad arrivare a $1$.

• Fai lo stesso partendo da $11$.

• Verifica la congettura per tre numeri scelti da te, uno dei quali maggiore di $50$. Pensi che verificare molti casi dimostri che la congettura è vera? Commenta la tua risposta.