Equazione della retta in forma punto-coefficiente angolare
Un'azienda di noleggio biciclette a Bologna non ti dice quanto costa «partire da zero», ma ti comunica il prezzo di un noleggio di 3 ore e quanto si paga in più per ogni ora. Con questi dati puoi scrivere la retta del costo senza conoscere l'intercetta $q$? Sì: basta l'equazione della retta in forma punto-coefficiente angolare, lo strumento base della geometria analitica.
Dedurre l'equazione
Sai già che la forma esplicita $y = mx + q$ richiede il termine noto $q$, cioè il punto in cui la retta taglia l'asse $y$. Spesso però quel dato non c'è: conosci un punto qualsiasi e il coefficiente angolare $m$.
Sia $P(x_1; y_1)$ un punto della retta e $(x; y)$ un altro suo punto qualunque. Per definizione di coefficiente angolare vale
$$m = \frac{y - y_1}{x - x_1}$$Moltiplicando per $(x - x_1)$ si ottiene la formula cercata.
Nota che dalla formula leggi subito $m$ e un punto della retta: in $y - 5 = -2(x + 1)$ il coefficiente angolare è $-2$ e la retta passa per $(-1; 5)$.
Scrivi l'equazione, in forma punto-coefficiente angolare, della retta che passa per il punto $P(3, -2)$ e ha coefficiente angolare $m = 4$.
Scrivi l'equazione, in forma punto-coefficiente angolare, della retta che passa per il punto $P(3, -2)$ e ha coefficiente angolare $m = 4$.
Data la retta di equazione $y - 5 = -2(x + 1)$, indica qual è il suo coefficiente angolare e ricava direttamente dalla formula le coordinate di un punto per cui passa.
Data la retta di equazione $y - 5 = -2(x + 1)$, indica qual è il suo coefficiente angolare e ricava direttamente dalla formula le coordinate di un punto per cui passa.
Scrivi l'equazione in forma punto-coefficiente angolare della retta bisettrice del primo e terzo quadrante. Poi scrivi l'equazione in forma punto-coefficiente angolare…
Scrivi l'equazione in forma punto-coefficiente angolare della retta bisettrice del primo e terzo quadrante. Poi scrivi l'equazione in forma punto-coefficiente angolare della retta bisettrice del secondo e quarto quadrante, usando in entrambi i casi l'origine del sistema di riferimento.
Dalla forma punto-coefficiente angolare alle altre forme
Trasforma l'equazione in forma punto-coefficiente angolare $y + 3 = \frac{1}{2}(x - 4)$ nella sua forma esplicita $y = mx + n$.
Trasforma l'equazione in forma punto-coefficiente angolare $y + 3 = \frac{1}{2}(x - 4)$ nella sua forma esplicita $y = mx + n$.
Nel grafico di una retta sono evidenziati i punti $(0, 0)$ e $P(2, 3)$. A partire dai punti evidenziati, calcola il coefficiente angolare della retta e scrivi la sua…
Nel grafico di una retta sono evidenziati i punti $(0, 0)$ e $P(2, 3)$. A partire dai punti evidenziati, calcola il coefficiente angolare della retta e scrivi la sua equazione in forma punto-coefficiente angolare prendendo come riferimento il punto $P$.
A partire dall'equazione generale della retta $3x - 5y + 15 = 0$, determina un suo punto la cui coordinata $x$ sia intera, calcola il suo coefficiente angolare e scrivi…
A partire dall'equazione generale della retta $3x - 5y + 15 = 0$, determina un suo punto la cui coordinata $x$ sia intera, calcola il suo coefficiente angolare e scrivi la corrispondente equazione in forma punto-coefficiente angolare.
Retta per due punti
Se conosci due punti $A(x_1; y_1)$ e $B(x_2; y_2)$ con $x_1 \neq x_2$, procedi sempre così: calcola il coefficiente angolare, poi applica la formula con uno dei due punti.
$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$Questo vale anche nei problemi con una variazione costante. Se il noleggio costa $14$ € per 3 ore e $20$ € per 5 ore, il coefficiente angolare è $\frac{20-14}{5-3} = 3$ €/ora e, con il primo dato, $C - 14 = 3(t - 3)$.
Calcola il coefficiente angolare della retta che passa per i punti $A(-1, 5)$ e $B(2, 11)$. Poi scrivi la sua equazione in forma punto-coefficiente angolare utilizzando…
Calcola il coefficiente angolare della retta che passa per i punti $A(-1, 5)$ e $B(2, 11)$. Poi scrivi la sua equazione in forma punto-coefficiente angolare utilizzando il punto $A$.
Una società di noleggio di biciclette fa pagare una somma fissa per il servizio più un prezzo costante per ogni ora di utilizzo. Si sa che per un noleggio di $3$ ore si…
Una società di noleggio di biciclette fa pagare una somma fissa per il servizio più un prezzo costante per ogni ora di utilizzo. Si sa che per un noleggio di $3$ ore si pagano $14$ € e per un noleggio di $5$ ore si pagano $20$ €. Determina il coefficiente angolare della funzione lineare di costo e scrivi la sua equazione in forma punto-coefficiente angolare usando i dati del primo cliente.
Un'auto percorre una strada rettilinea a velocità costante. Alle ore $10:00$ si trova al chilometro $45$ e alle ore $12:30$ passa per il chilometro $245$. Scrivi…
Un'auto percorre una strada rettilinea a velocità costante. Alle ore $10:00$ si trova al chilometro $45$ e alle ore $12:30$ passa per il chilometro $245$. Scrivi l'equazione in forma punto-coefficiente angolare che modellizza la posizione dell'auto in funzione del tempo trascorso dalle ore $10:00$, esprimendo il tempo in ore.
Le scale di temperatura Celsius ($^\circ C$) e Fahrenheit ($^\circ F$) hanno una relazione lineare. Sapendo che l'acqua congela a $0^\circ C$ ($32^\circ F$) e bolle a…
Le scale di temperatura Celsius ($^\circ C$) e Fahrenheit ($^\circ F$) hanno una relazione lineare. Sapendo che l'acqua congela a $0^\circ C$ ($32^\circ F$) e bolle a $100^\circ C$ ($212^\circ F$), ricava l'equazione in forma punto-coefficiente angolare che permette di convertire i gradi Celsius in Fahrenheit usando il punto di congelamento. Poi usala per calcolare la temperatura in Fahrenheit equivalente alla normale temperatura corporea umana di $37^\circ C$.
Rette parallele e perpendicolari
Scrivi l'equazione in forma punto-coefficiente angolare della retta parallela a $y = 3x - 7$ che passa per il punto $Q(-4, 1)$.
Scrivi l'equazione in forma punto-coefficiente angolare della retta parallela a $y = 3x - 7$ che passa per il punto $Q(-4, 1)$.
Determina l'equazione in forma punto-coefficiente angolare della retta perpendicolare alla retta $y - 2 = \frac{3}{4}(x + 1)$ e passante per l'origine del sistema di…
Determina l'equazione in forma punto-coefficiente angolare della retta perpendicolare alla retta $y - 2 = \frac{3}{4}(x + 1)$ e passante per l'origine del sistema di riferimento.
Ottieni l'equazione in forma punto-coefficiente angolare della retta che passa per il punto $P(-3, 5)$ ed è parallela alla retta che unisce i punti $M(1, -2)$ e…
Ottieni l'equazione in forma punto-coefficiente angolare della retta che passa per il punto $P(-3, 5)$ ed è parallela alla retta che unisce i punti $M(1, -2)$ e $N(4, 7)$.
Costruisci le equazioni generali ($Ax + By + C = 0$) di due rette distinte, $r$ e $s$, che soddisfino contemporaneamente le seguenti condizioni: 1. Entrambe devono…
Costruisci le equazioni generali ($Ax + By + C = 0$) di due rette distinte, $r$ e $s$, che soddisfino contemporaneamente le seguenti condizioni:
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Entrambe devono essere perpendicolari alla retta data $t: 2x + 5y - 10 = 0$.
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La retta $r$ deve intersecare l'asse delle ordinate ($Y$) in un punto con coordinata $y$ negativa (scegli tu tale valore e giustificalo).
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La retta $s$ deve passare esattamente per il punto $P(4, 1)$.
Mostra in modo motivato come ricavi il coefficiente angolare comune di $r$ e $s$ a partire dalla retta $t$, e ottieni l'equazione generale di ciascuna.
Applicazioni: allineamento, asse di un segmento, altezze
Lo stesso schema serve per l'altezza di un triangolo: è la perpendicolare a un lato condotta dal vertice opposto, quindi usi l'antireciproco del lato e il vertice come punto.
Punto di intersezione di due rette
Per trovare il punto in cui si incontrano due rette, risolvi il sistema formato dalle loro equazioni: le coordinate del punto soddisfano entrambe.
Distanza tra due punti e di un punto da una retta
La distanza tra $A(x_1; y_1)$ e $B(x_2; y_2)$ si ricava dal teorema di Pitagora: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
Verifica analiticamente se i punti $A(-2, 4)$, $B(1, -2)$ e $C(5, -10)$ sono allineati. Per farlo, determina prima l'equazione in forma punto-coefficiente angolare della…
Verifica analiticamente se i punti $A(-2, 4)$, $B(1, -2)$ e $C(5, -10)$ sono allineati. Per farlo, determina prima l'equazione in forma punto-coefficiente angolare della retta che passa per $A$ e $B$, poi verifica se le coordinate di $C$ soddisfano tale equazione.
Determina il valore del parametro $k$ affinché la retta di equazione $y - 3 = k(x + 2)$ passi per il punto di intersezione delle rette $r: 2x + y - 8 = 0$ e…
Determina il valore del parametro $k$ affinché la retta di equazione $y - 3 = k(x + 2)$ passi per il punto di intersezione delle rette $r: 2x + y - 8 = 0$ e $s: x - 3y + 3 = 0$.
Determina l'equazione in forma punto-coefficiente angolare dell'asse del segmento di estremi $A(-4, 2)$ e $B(2, 6)$. Ricorda che l'asse è la retta perpendicolare al…
Determina l'equazione in forma punto-coefficiente angolare dell'asse del segmento di estremi $A(-4, 2)$ e $B(2, 6)$. Ricorda che l'asse è la retta perpendicolare al segmento che passa per il suo punto medio.
Intersezioni con gli assi e area del triangolo
Per trovare dove la retta taglia l'asse $x$ poni $y = 0$; per l'asse $y$ poni $x = 0$. Se i punti sono $(x_0; 0)$ e $(0; y_0)$, con l'origine formano un triangolo rettangolo di cateti $|x_0|$ e $|y_0|$, quindi l'area è $\frac{|x_0| \cdot |y_0|}{2}$.
Riflessione rispetto all'asse x
Un raggio che arriva su uno specchio posto sull'asse $x$ nel punto di incidenza $(x_0; 0)$ viene riflesso con angolo uguale: il coefficiente angolare cambia segno ($m' = -m$) e la retta riflessa passa per lo stesso punto $(x_0; 0)$.
Calcola l'area del triangolo che la retta di equazione $y - 4 = -\frac{2}{3}(x + 3)$ forma con gli assi coordinati. Per farlo, determina prima i punti di intersezione…
Calcola l'area del triangolo che la retta di equazione $y - 4 = -\frac{2}{3}(x + 3)$ forma con gli assi coordinati. Per farlo, determina prima i punti di intersezione della retta con gli assi.
Un raggio di luce segue una traiettoria rettilinea di equazione $y - 5 = -\frac{1}{2}(x - 2)$. Quando raggiunge l'asse delle ascisse (che si comporta come uno specchio…
Un raggio di luce segue una traiettoria rettilinea di equazione $y - 5 = -\frac{1}{2}(x - 2)$. Quando raggiunge l'asse delle ascisse (che si comporta come uno specchio piano perfetto), il raggio viene riflesso. Sapendo che l'angolo di incidenza è uguale all'angolo di riflessione, determina l'equazione del raggio riflesso in forma punto-coefficiente angolare, prendendo come riferimento il punto di incidenza sullo specchio.
Vuoi riprendere l'inizio? Nel noleggio, con $m = 3$ €/ora e il punto $(3; 14)$ scrivi $C = 3t + 5$: la quota fissa è $5$ €, senza averla mai conosciuta prima.