Polinomi di secondo grado: parabole

La funzione $d(t) = 5t^2$ descrive la distanza in centimetri percorsa da una biglia che scende lungo una rotaia inclinata in funzione del tempo $t$ in secondi. Quale distanza avrà percorso dopo $4$ secondi? Quanto tempo impiegherà a percorrere esattamente $125$ cm?

Determina, sostituendo nell'equazione, se il punto $(-1, 4)$ e il punto $(2, 1)$ appartengono al grafico della parabola $y = 2x^2 - 3x - 1$.

Data la funzione quadratica $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$, determina le coordinate esatte del suo vertice e l'equazione del suo asse di simmetria.

Marco deve trovare l'asse di simmetria e il codominio della parabola $f(x) = -x^2 + 6x - 5$. Nel compito scrive quanto segue:

«Poiché $a = -1$ e $b = 6$, la coordinata $x$ del vertice è $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2 \cdot (-1)} = 3$. Quindi l'asse di simmetria è la retta orizzontale $y = 3$. Poi calcolo l'ordinata del vertice: $y_v = f(3) = -(3)^2 + 6 \cdot 3 - 5 = 4$, quindi il vertice è $V(3, 4)$. Poiché $a < 0$, i rami sono rivolti verso il basso e la parabola ha un massimo, perciò il suo codominio è $[4, +\infty)$».

1. a) Individua i due errori concettuali commessi da Marco nella sua risposta.
2. b) Spiega in modo motivato perché sono errati, facendo riferimento alla relazione tra l'asse di simmetria e le rette verticali, e al significato grafico del codominio quando i rami sono rivolti verso il basso.
3. c) Scrivi la soluzione corretta: l'equazione corretta dell'asse di simmetria e l'intervallo che definisce il codominio di $f(x)$.

Durante un allenamento, una giocatrice di pallavolo lancia il pallone verso l'alto. L'altezza $h$ (in metri) raggiunta dal pallone in funzione del tempo $t$ (in secondi) è data dall'espressione $h(t) = -5t^2 + 10t + 2$. Qual è l'altezza massima raggiunta dal pallone e in quale istante preciso si verifica?

Calcola i punti di intersezione con gli assi coordinati (sia con l'asse delle ascisse sia con l'asse delle ordinate) della parabola $y = -x^2 + 2x + 8$.

Indica verso dove sono rivolti i rami della parabola $y = -3x^2 + 6x - 1$ giustificando la risposta, e stabilisci se il vertice di questa funzione corrisponde a un massimo o a un minimo assoluto. Calcola le sue coordinate.

Determina analiticamente i punti di intersezione tra la parabola $y = x^2 - 4x + 3$ e la retta $y = -x + 3$.

Determina l'espressione algebrica sviluppata di una funzione quadratica $f(x) = ax^2 + bx + c$ sapendo che il suo vertice è il punto $V(2, -1)$ e che passa per il punto $P(4, 3)$.

Determina l'espressione analitica della funzione quadratica $f(x) = ax^2 + bx + c$ sapendo che interseca l'asse delle ascisse nei punti $x = -1$ e $x = 5$, e che il valore massimo raggiunto dalla funzione è $18$.

Esprimi la funzione $y = (x + 3)^2 - 2$ come risultato di una traslazione della parabola elementare $y = x^2$. Indica chiaramente la direzione e il numero di unità di spostamento sia lungo l'asse orizzontale sia lungo quello verticale.

Osserva le tre parabole rappresentate nella figura seguente. Associa ciascuna espressione analitica al grafico corrispondente (A, B o C).

1) $y = -x^2 + 2$

2) $y = x^2 - 4x + 4$

3) $y = x^2 - 4$

Osserva il grafico della parabola. Determina le coordinate del suo vertice e utilizza un punto aggiuntivo del grafico per dedurre la sua espressione algebrica nella forma $y = a(x-h)^2 + k$. Infine, sviluppala nella forma $y = ax^2 + bx + c$.

Disegna uno schizzo del grafico della funzione $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$. Per farlo, trova prima il vertice e i punti di intersezione con gli assi della parabola interna senza il valore assoluto, e spiega analiticamente come il valore assoluto influisce sulla rappresentazione finale.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Sapendo che il grafico della funzione quadratica $f(x) = ax^2 + c$ passa per i punti $(0, 3)$ e $(2, 11)$, imposta un sistema di equazioni e calcola i valori dei parametri $a$ e $c$.

Il progetto dell'arco parabolico di una fontana ornamentale segue la funzione quadratica $f(x) = ax^2 + bx + c$. Il getto d'acqua parte dal livello del suolo nel punto $(0, 0)$ e tocca di nuovo il suolo esattamente a $6\text{ metri}$ di distanza orizzontale, nel punto $(6, 0)$. Inoltre, si misura che l'altezza massima raggiunta dal getto è $4,5\text{ metri}$.

1. a) Senza calcolare prima i coefficienti algebrici, deduci in modo motivato l'equazione della retta verticale che funge da asse di simmetria e le coordinate esatte del suo vertice $V(h, k)$.
2. b) Utilizza la forma canonica $f(x) = a(x-h)^2 + k$ o la forma scomposta $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ per determinare il valore numerico del parametro $a$.
3. c) Scrivi l'equazione sviluppata $f(x) = ax^2 + bx + c$ e verifica che siano soddisfatti sia i punti di appoggio al suolo sia l'altezza massima raggiunta.

L'arco di un ponte di pietra ha forma parabolica. La base dell'arco (al livello dell'acqua) è larga $12$ metri e l'altezza massima al centro è di $6$ metri. Se poniamo l'origine del sistema di coordinate al centro della base dell'arco, determina l'equazione della parabola che descrive il suo profilo.

Calcola i coefficienti $a$, $b$ e $c$ della funzione quadratica $y = ax^2 + bx + c$ sapendo che il suo grafico passa per i punti $(0, -5)$, $(1, -6)$ e $(-1, -2)$.

Determina analiticamente i punti di intersezione tra la parabola $y = x^2 - 4x + 3$ e la retta $y = -x + 3$.

Date le parabole $y = x^2 - 2x - 3$ e $y = -x^2 + 4x + 5$, determina analiticamente i punti esatti in cui si intersecano. Calcola poi la distanza in linea retta tra i vertici delle due parabole.

Considera la famiglia di parabole di equazione $y = x^2 - kx + 9$. Determina i valori del parametro $k$ per i quali la parabola è tangente all'asse delle ascisse (cioè ha un unico punto di intersezione con l'asse X).

Un servizio meteorologico nazionale modellizza la temperatura ambientale $T(t)$, in gradi Celsius ($^\circ\text{C}$), durante le ore centrali di una giornata estiva a Napoli in funzione dell'ora del giorno $t$ (con $t \in [8, 24]$, dove $t=8$ corrisponde alle 8:00 e $t=24$ alle 24:00) mediante la funzione quadratica:

1. a) Determina in modo motivato a che ora del giorno si registra la temperatura massima e qual è tale valore estremo.
2. b) Imposta e risolvi la disequazione necessaria per calcolare in quale intervallo orario la temperatura è stata uguale o superiore a $40\ ^\circ\text{C}$.
3. c) Giustifica analiticamente, mediante il calcolo del discriminante $\Delta$ dell'equazione $T(t) = 48$, se il modello prevede che si raggiungano o si superino i $48\ ^\circ\text{C}$ in qualche momento della giornata.

Si considera la famiglia di funzioni quadratiche data da $f_m(x) = (m-1)x^2 + 2mx + (m+3)$, dove $m$ è un parametro reale con $m \neq 1$.

1. a) Determina in modo motivato per quali valori di $m$ il grafico di $f_m(x)$ ha i rami rivolti verso l'alto (raggiungendo un minimo assoluto) e, allo stesso tempo, non interseca in alcun punto l'asse orizzontale $X$. Esprimi l'insieme delle soluzioni mediante un intervallo.
2. b) Sapendo che una delle parabole di questa famiglia ha come asse di simmetria la retta verticale $x = 2$, trova il valore concreto di $m$, scrivi l'equazione sviluppata di tale parabola e deduci il suo codominio esatto giustificando se la funzione è limitata superiormente o inferiormente.
3. c) Dimostra algebricamente se esiste qualche valore di $m$ per cui il vertice della parabola si trovi esattamente sull'asse $X$. In caso affermativo, calcola le coordinate complete di tale vertice; in caso negativo, spiega perché è impossibile.

Il comitato dei genitori della scuola vende biglietti di una lotteria per finanziare la gita di fine anno. Se ogni biglietto viene venduto a $x$ euro, gli incassi stimati (in decine di euro) sono dati dalla funzione quadratica $I(x) = -2x^2 + 48x$. A quale prezzo devono vendere i biglietti per massimizzare gli incassi? A quanto ammontano tali incassi massimi?

Abbiamo $40$ metri di corda per delimitare una zona rettangolare di giochi in un campeggio. Se chiamiamo $x$ la lunghezza della base del rettangolo, scrivi la funzione che determina l'area del recinto in funzione di $x$. Quali devono essere le dimensioni del rettangolo affinché l'area racchiusa sia la massima possibile?

Un agricoltore vuole costruire un recinto rettangolare per le sue galline sfruttando un lungo muro di pietra già esistente, in modo da dover recintare solo tre dei quattro lati del rettangolo. Dispone di $100$ metri di rete metallica. Determina le dimensioni del recinto affinché la sua area sia la maggiore possibile e calcola tale area massima.

Il club di robotica della scuola vende kit di sensori per finanziare i propri materiali. Ha spese fisse mensili di $2000$ euro e assemblare ogni kit costa $15$ euro in più. Gli incassi mensili ottenuti dalla vendita di $x$ kit sono dati dalla funzione $I(x) = -0,1x^2 + 65x$. Scrivi la funzione che rappresenta il guadagno mensile $B(x)$. Quanti kit devono assemblare e vendere per ottenere il guadagno massimo?

Data la seguente funzione definita a tratti:

$f(x) = \begin{cases} -x^2 + 4x & \text{si } x \le 3 \\ mx + n & \text{si } x > 3 \end{cases}$

Determina i valori dei parametri $m$ e $n$ affinché la funzione sia continua nel punto di raccordo $x = 3$ e, inoltre, la semiretta passi per il punto $(5, -1)$.

L'azienda municipale dei trasporti di una città italiana analizza le proprie tariffe in base ai dati sulla mobilità urbana. Con l'attuale prezzo del biglietto di $1,20\text{ €}$, viaggiano in media $6000$ persone al giorno. Uno studio tecnico stima che per ogni aumento di $0,10\text{ €}$ della tariffa si perderanno $250$ viaggiatori al giorno (e viceversa se si abbassa). La funzione degli incassi giornalieri si esprime come $I(x) = (1,20 + 0,10x)(6000 - 250x)$, dove $x$ è il numero di incrementi di $0,10\text{ €}$.

1. a) Stima prima di calcolare: se si decide di raddoppiare il prezzo del biglietto (passando a costare $2,40\text{ €}$, il che corrisponde a $x = 12$), ti aspetti che gli incassi giornalieri siano maggiori, minori o uguali ai $7200\text{ €}$ iniziali? Giustifica qualitativamente la tua previsione confrontando l'aumento di prezzo con la perdita di utenti.
2. b) Calcola: sviluppa l'espressione algebrica di $I(x)$ nella forma standard $I(x) = ax^2 + bx + c$, trova le coordinate del suo vertice e deduci il numero di incrementi $x$ che massimizza l'incasso, il prezzo ottimale risultante del biglietto e l'incasso giornaliero massimo.
3. c) Verifica e rifletti: calcola il valore esatto di $I(12)$ per verificare quantitativamente la tua stima del punto a) e interpreta il risultato a partire dall'asse di simmetria della parabola. Infine, rifletti criticamente: dal punto di vista del servizio pubblico e della sostenibilità urbana, perché non è sempre consigliabile fissare la tariffa nel vertice ottimale della parabola se questo comporta un aumento di prezzo?

Per rappresentare la parabola $g(x) = 2x^2 - 12x + 10$, due compagni di classe discutono su quale strategia sia più rapida e sicura per determinare il suo vertice e i punti di intersezione con gli assi:

• Sergio propone di raccogliere il coefficiente principale per scrivere $g(x) = 2(x^2 - 6x + 5)$, scomporre il polinomio tra parentesi cercando due interi di prodotto $5$ e somma $-6$, e ottenere il vertice sfruttando il fatto che l'asse di simmetria dista uguale da entrambe le radici reali.

• Elena sostiene che è più diretto trasformare la funzione nella sua forma canonica $g(x) = a(x-h)^2 + k$ completando il quadrato a partire da $2(x^2 - 6x) + 10$.

1. a) Sviluppa completamente entrambi i procedimenti passo dopo passo fino a trovare le coordinate del vertice $V(h, k)$ e verifica che entrambi portano alla stessa soluzione.
2. b) Confronta i due metodi e giustifica quale risulta più vantaggioso in questo caso specifico. In quale situazione il metodo proposto da Sergio risulterebbe inapplicabile o estremamente laborioso rispetto al metodo di Elena o alla formula generale $x_v = \frac{-b}{2a}$? Basa il tuo ragionamento sul ruolo del discriminante $\Delta$.

Un giocatore di basket tira a canestro da un'altezza di $2$ metri. Il pallone segue una traiettoria parabolica, raggiungendo la sua altezza massima di $4$ metri a una distanza orizzontale di $2$ metri dal punto di lancio. Sapendo che il anello del canestro si trova a $3$ metri di altezza e a una distanza orizzontale di $4,5$ metri, deduci l'equazione della traiettoria e dimostra analiticamente se il pallone entrerà o no nel canestro.