Rappresentazione di funzioni

Determina il dominio della funzione irrazionale $f(x) = \sqrt{2x - 8}$.

Una retta passa per i punti $(-3, -4)$ e $(0, 4)$. Determina il suo coefficiente angolare, la sua ordinata all'origine e la sua espressione algebrica.

Un tassista fa pagare uno scatto iniziale di $3$ € e $1,5$ € per ogni chilometro percorso. Scrivi l'espressione algebrica della funzione che mette in relazione il costo della corsa con i chilometri percorsi.

Determina le coordinate del vertice e l'equazione dell'asse di simmetria della parabola $f(x) = x^2 - 6x + 5$.

A partire dalla parabola base $y = x^2$ (in tratteggio), è stata eseguita una traslazione per ottenere la parabola in tratto continuo. Scrivi l'espressione algebrica della nuova parabola e indica il vettore di traslazione applicato.

Indica quali sono gli asintoti verticale e orizzontale della funzione di proporzionalità inversa $f(x) = \frac{2}{x-3} + 4$.

Data la funzione di proporzionalità inversa $f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}$, determina l'espressione della sua funzione inversa $f^{-1}(x)$. Verifica analiticamente che gli asintoti verticali e orizzontali si scambiano tra $f(x)$ e $f^{-1}(x)$.

In un quiz a domande, i punti accumulati raddoppiano a ogni turno superato. Se inizi con $100$ punti, scrivi la funzione esponenziale $P(r)$ che fornisce i punti in funzione del numero di turni $r$ superati.

Determina il dominio della funzione logaritmica $f(x) = \log_3(x - 5)$.

Si investono $5000$ € in un deposito bancario che offre un interesse composto annuo del $4\%$. Scrivi la funzione esponenziale che modellizza il capitale accumulato dopo $t$ anni e calcola il capitale disponibile dopo $5$ anni.

Data la funzione definita a tratti $f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$, calcola i valori numerici di $f(-2)$, $f(0)$ e $f(3)$.

Il grafico seguente mostra la velocità di un ciclista in funzione del tempo. Determina l'espressione algebrica della funzione definita a tratti che la rappresenta.

L'altezza $h(t)$ in metri di una cabina di una ruota panoramica rispetto al suolo in funzione del tempo $t$ in minuti è data da $h(t) = 12 + 10\sin\left(\frac{\pi}{4}t\right)$. Qual è l'altezza massima e minima che raggiunge la ruota? Quanto tempo impiega a fare un giro completo?

Esprimi la funzione $f(x) = |x^2 - 5x + 6|$ come funzione definita a tratti senza usare il valore assoluto. Indica in quali intervalli la funzione quadratica originale era negativa prima di applicare il valore assoluto.

Per rappresentare con precisione la funzione quadratica $f(x) = 2x^2 - 12x + 10$ e determinarne l'asse di simmetria e il vertice, due studenti sostengono strategie diverse:

• Irene propone di trasformare l'espressione algebrica completando il quadrato fino a ottenere la forma canonica $f(x) = a(x - p)^2 + q$.

• Sergio propone di risolvere prima l'equazione $2x^2 - 12x + 10 = 0$ con la formula risolutiva, fare la media delle due radici per collocare l'asse di simmetria nel punto medio e sostituire quell'ascissa nella funzione per trovare il vertice.

1. a) Applica passo dopo passo entrambi i metodi per trovare le coordinate del vertice e l'asse di simmetria.
2. b) Confronta i due percorsi: quali vantaggi e svantaggi ha ciascuno? Giustifica in quale situazione concreta (ad esempio, in base al segno del discriminante dell'equazione) il metodo di Sergio non è più applicabile direttamente nell'insieme dei numeri reali, mentre il procedimento di Irene continua a funzionare senza alcun ostacolo.

La traiettoria di un proiettile descrive una parabola di equazione $y = ax^2 + bx + c$. Sapendo che il proiettile viene lanciato dal punto $(0, 3)$, raggiunge la sua altezza massima nel punto $(2, 7)$ e cade al suolo, determina l'espressione algebrica della parabola e trova a quale distanza orizzontale dal punto di lancio toccherà il suolo.

Il grafico mostra l'intersezione tra la retta $y = -x + 5$ e l'iperbole $y = \frac{4}{x}$. Calcola in modo analitico le coordinate esatte dei punti di intersezione $A$ e $B$.

Determina i valori dei parametri $a$, $b$ e $c$ della funzione razionale $f(x) = \frac{ax + 2}{bx + c}$ sapendo che ha un asintoto verticale in $x = 1$, un asintoto orizzontale in $y = 3$ e passa per il punto $(2, 8)$.