Funzioni esponenziali

Data la funzione esponenziale $f(x) = 2^x$, calcola le immagini per i valori $x = -2$, $x = 0$ e $x = 3$.

Il grafico di una funzione esponenziale del tipo $f(x) = a^x$ passa per il punto $(3, 8)$. Calcola il valore della base $a$.

Indica, motivando la risposta, quali delle seguenti funzioni esponenziali sono crescenti e quali sono decrescenti:

• a) $f(x) = 1,2^x$

• b) $g(x) = 0,7^x$

• c) $h(x) = \left(\frac{4}{3}\right)^x$

• d) $i(x) = \left(\frac{2}{5}\right)^x$

Osserva i grafici A e B rappresentati nella seguente figura. Associa ciascuno di essi alla corrispondente espressione analitica: $y = 3^x$ o $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$.

Trova il valore di $x$ nelle seguenti uguaglianze esponenziali elementari:

• a) $2^x = 64$

• b) $3^x = \frac{1}{9}$

Determina il dominio, il codominio e il punto di intersezione con l'asse delle ordinate della funzione esponenziale $f(x) = 0,5^x$.

Marco sta analizzando la funzione $f(x) = 2^{x+1} - 8$. Nel suo compito ha scritto la seguente conclusione: «Essendo una funzione esponenziale, il suo asintoto orizzontale è sempre la retta $y = 0$, il suo codominio è $(0, +\infty)$ e, quindi, il grafico non interseca mai l'asse delle ascisse ($X$) né assume valori negativi».

1. a) Individua i due errori concettuali commessi da Marco riguardo alle traslazioni di una funzione esponenziale.
2. b) Spiega in modo ragionato perché si verificano questi errori e correggili, indicando l'equazione corretta dell'asintoto orizzontale e il codominio reale di $f(x)$.
3. c) Dimostra che la funzione interseca effettivamente l'asse $X$ calcolando le coordinate esatte di tale punto di intersezione.

Determina l'espressione analitica di una funzione esponenziale della forma $f(x) = a^x + q$ a partire dalle seguenti informazioni:

1. Il suo grafico si avvicina indefinitamente alla retta orizzontale $y = -3$ quando i valori di $x$ sono molto negativi, senza mai toccarla.

2. Il grafico passa per il punto $P(2, 13)$.

Una volta calcolati i parametri $a$ e $q$, indica in modo ragionato se la funzione è crescente o decrescente osservando il valore della base ottenuta e trova le coordinate del suo punto di intersezione con l'asse delle ordinate ($Y$).

Rappresenta graficamente la funzione $f(x) = 3^{x-2} + 1$ costruendo prima una tabella di valori. Indica qual è l'equazione del suo asintoto orizzontale e calcola le coordinate del suo punto di intersezione con l'asse delle ordinate.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Il seguente grafico corrisponde a una funzione esponenziale della forma $f(x) = a^x + b$. Osserva i suoi elementi caratteristici, come l'asintoto orizzontale e i punti per cui passa, e determina i valori dei parametri $a$ e $b$.

Trova, in modo analitico, le coordinate esatte dei punti di intersezione con l'asse delle ascisse e con l'asse delle ordinate della funzione esponenziale $f(x) = 2^{x+1} - 8$.

Data la funzione con valore assoluto $f(x) = |3^x - 9|$:

• a) Scrivila come funzione definita a tratti, calcolando prima in quale punto l'espressione interna cambia segno.

• b) Determina le sue intersezioni con gli assi coordinati.

• c) Indica in quali intervalli la funzione è crescente e in quali è decrescente.

Risolvi le seguenti equazioni esponenziali uguagliando le basi nei due membri dell'uguaglianza:

• a) $5^{2x-1} = 125$

• b) $2^{x+3} = \frac{1}{4}$

Risolvi la seguente equazione esponenziale mettendo prima in evidenza un fattore comune:

$3^x + 3^{x+1} = 36$

Risolvi la seguente equazione esponenziale applicando le proprietà delle potenze e mettendo in evidenza un fattore comune:

$2^{x-1} + 2^{x-2} + 2^{x-3} = 56$

Per risolvere l'equazione esponenziale $4^x - 3 \cdot 2^{x+1} - 16 = 0$, vengono proposte tre diverse strategie risolutive:

• Strategia A: Provare a mettere in evidenza direttamente il fattore comune $2^x$ dei tre termini così come sono scritti.

• Strategia B: Provare a uguagliare direttamente le basi senza trasformare la struttura dell'uguaglianza.

• Strategia C: Esprimere tutte le potenze in base 2, semplificare i coefficienti e applicare il cambio di variabile $t = 2^x$ per trasformare l'espressione in un'equazione di secondo grado.

1. a) Spiega dettagliatamente perché le Strategie A e B non sono praticabili in questa equazione.
2. b) Applica la Strategia C per risolvere l'equazione passo dopo passo. Durante il procedimento otterrai due possibili valori per $t$; giustifica in modo ragionato quale dei due devi scartare basandoti sul codominio della funzione esponenziale $y = 2^x$.
3. c) Trova il valore finale di $x$ e verifica che soddisfi l'equazione originale sostituendolo in essa.

Una famiglia deposita $2000$ € su un conto bancario che offre un interesse composto del $4 \%$ annuo. Quale capitale avrà dopo $2$ anni se non preleva alcun denaro dal conto?

Il numero di follower di un profilo appena diventato virale si triplica ogni giorno. Se inizialmente ha $100$ follower, scrivi la funzione che mette in relazione il numero di follower con il tempo trascorso in giorni, e calcola quanti follower ci saranno dopo $3$ giorni.

Un investitore desidera ottenere un capitale finale di $5000$ € tra $5$ anni. Se la sua banca gli offre un deposito con un interesse composto del $3 \%$ annuo, quale capitale iniziale deve investire oggi per raggiungere il suo obiettivo? (Arrotonda il risultato ai centesimi).

Un campione di un isotopo radioattivo ha una massa iniziale di $200$ grammi. Si sa che la sua massa si dimezza ogni $10$ anni. Scrivi l'espressione analitica della funzione che dà la massa rimanente in funzione del tempo (in anni) e calcola quanti grammi rimarranno esattamente dopo $30$ anni.

Il prezzo di uno smartphone di fascia alta appena uscito sul mercato è di $800$ €. A causa dell'obsolescenza tecnologica, il suo valore si deprezza del $20 \%$ ogni anno. Scrivi la funzione che modellizza il prezzo dello smartphone in funzione degli anni trascorsi e calcola quale sarà il suo valore dopo $4$ anni.

In un ospedale viene somministrata a un paziente una dose di $80\text{ mg}$ di un farmaco. La massa $M(t)$ del medicinale che rimane nel suo organismo (in milligrammi) dopo $t$ ore è descritta dalla funzione esponenziale $M(t) = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/4}$.

1. a) Senza calcolare il valore esatto con la formula, stima in modo ragionato tra quali due decine consecutive di milligrammi si troverà la quantità di medicinale dopo 10 ore (suggerimento: calcola mentalmente la quantità esatta che rimane dopo 8 e dopo 12 ore).
2. b) Calcola ora il valore numerico esatto di $M(10)$ arrotondando ai centesimi e verifica se la tua stima del punto precedente era corretta.
3. c) Basandoti sulle proprietà della funzione esponenziale (il suo asintoto orizzontale e il suo codominio), spiega se arriverà un momento in cui l'organismo del paziente rimarrà matematicamente con esattamente $0\text{ mg}$ del farmaco secondo questo modello.

Secondo dati demografici ispirati ai censimenti dell'Istituto Nazionale di Statistica (ISTAT), un comune di una zona rurale contava $1200$ abitanti all'inizio del 2015. A causa dell'invecchiamento e dell'emigrazione, la sua popolazione diminuisce a un ritmo costante del $5\,\%$ ogni anno.

1. a) Scrivi la formula della funzione $P(t)$ che esprime il numero di abitanti in funzione del tempo $t$ trascorso in anni dal 2015. Giustifica se la funzione è crescente o decrescente analizzando il valore della sua base.
2. b) Calcola la popolazione prevista per questo comune all'inizio del 2023 arrotondando al numero intero di persone più vicino.
3. c) Un portavoce comunale afferma sulla stampa: «Perdendo il $5\,\%$ ogni anno, in 20 anni avremo perso il $100\,\%$ della popolazione e il paese rimarrà con $0$ abitanti». Giustifica matematicamente perché questo ragionamento lineare è errato e calcola quale percentuale della popolazione iniziale del 2015 rimarrà realmente dopo quei 20 anni.

L'evoluzione di una determinata infestazione di insetti segue un modello esponenziale della forma $N(t) = k \cdot a^t$, dove $N(t)$ è il numero di insetti e $t$ è il tempo in settimane. Sapendo che nell'istante iniziale ($t=0$) c'erano $5$ insetti e che dopo $2$ settimane c'erano $45$ insetti, calcola i valori delle costanti $k$ e $a$. Successivamente, determina quanti insetti ci saranno dopo $4$ settimane.

Due fratelli ricevono un'eredità di $10000$ € ciascuno. Il primo decide di investire il suo denaro a un interesse semplice del $5 \%$ annuo, mentre il secondo lo investe a un interesse composto del $4 \%$ annuo. Scrivi le funzioni che descrivono il capitale di ciascun fratello nel tempo. Chi avrà più denaro dopo $10$ anni? E dopo $20$ anni?

La popolazione di una città A è attualmente di $100000$ abitanti e cresce a un ritmo costante del $4 \%$ annuo. La popolazione di una città B è di $150000$ abitanti e diminuisce a un ritmo del $2 \%$ annuo. Scrivi le funzioni della popolazione delle due città. Verifica, usando la calcolatrice per tentativi (o applicando i logaritmi), in quale anno esatto la città A supererà in popolazione la città B.

Secondo la legge del raffreddamento di Newton, la temperatura di una tazza di tè in una stanza è modellizzata dalla funzione $T(t) = 20 + 70 \cdot 0,8^t$, dove $T(t)$ è la temperatura in gradi Celsius e $t$ è il tempo in minuti trascorso da quando è stato servito.

• a) Qual era la temperatura iniziale del tè?

• b) Qual è la temperatura ambiente della stanza? (Spiega che cosa accade quando il tempo $t$ diventa molto grande).

• c) Imposta l'equazione per calcolare in quale minuto la temperatura del tè sarà esattamente di $55$ °C e risolvila.

La farmacocinetica studia come un farmaco viene eliminato dal corpo umano. A un paziente viene somministrata una dose iniziale di $50$ mg di un farmaco. La quantità nel sangue diminuisce in modo esponenziale così che ogni $6$ ore la quantità si dimezza.

• a) Scrivi la funzione $C(t)$ che esprime i milligrammi di farmaco nel sangue in funzione del tempo $t$ misurato in ore.

• b) Quale quantità di farmaco rimarrà nel sangue del paziente dopo un giorno intero ($24$ ore)?

Una banca offre un prodotto di investimento con un interesse nominale annuo del $6 \%$.

• a) Scrivi la funzione che modellizza il capitale finale se si investono $3000$ € e gli interessi vengono accreditati annualmente (interesse composto annuale).

• b) Scrivi la funzione se gli interessi vengono accreditati mensilmente (interesse composto mensile).

• c) Calcola la differenza esatta di capitale ottenuto tra le due modalità dopo $5$ anni.

In un laboratorio di microbiologia si analizza la crescita simultanea di due diverse colonie batteriche, Ceppo A e Ceppo B, in condizioni controllate di coltura:

• Il Ceppo A conta inizialmente 150 batteri e la sua popolazione raddoppia ogni 3 ore, seguendo il modello $N_A(t) = 150 \cdot 2^{t/3}$ ($t$ misurato in ore).

• Il Ceppo B parte da una popolazione maggiore, con 1200 batteri, ma si riproduce più lentamente, raddoppiando ogni 6 ore: $N_B(t) = 1200 \cdot 2^{t/6}$.

1. a) Scrivi ciascuna funzione nella forma $N(t) = N_0 \cdot b^t$ determinando la base oraria $b$ di ciascuna. A partire dal valore di tali basi, giustifica quale dei due ceppi cresce a un ritmo percentuale orario maggiore.
2. b) Anche se il Ceppo B parte con 8 volte più batteri del Ceppo A, il Ceppo A riuscirà a raggiungerlo? Imposta l'equazione $N_A(t) = N_B(t)$ e risolvila applicando esclusivamente proprietà delle potenze per scoprire in quale ora esatta avranno lo stesso numero di batteri.
3. c) Calcola il numero di batteri di ciascun ceppo dopo 24 ore e trova la differenza tra i due. Interpreta se il risultato ottenuto concorda con quanto ragionato nei punti precedenti.