Calcolo approssimato ed errori

Approssimazioni per difetto, per eccesso e arrotondamento

Un numero irrazionale come $\sqrt{7}$ ha infinite cifre decimali non periodiche. Per usarlo lo "intrappoliamo" tra due numeri decimali con poche cifre.

Per trovarle, senza calcolatrice, si procede per tentativi, cifra dopo cifra, elevando al quadrato.

L'arrotondamento sceglie, tra le due approssimazioni, la più vicina al numero. Se la cifra successiva è $5$ o più si arrotonda per eccesso, altrimenti per difetto. Per esempio $\pi = 3{,}14159\ldots$ arrotondato ai centesimi è $3{,}14$ (la cifra successiva è $1$), arrotondato ai millesimi è $3{,}142$ (la cifra successiva è $5$).

Errore assoluto e relativo

Per sapere quanto è buona un'approssimazione bisogna misurare l'errore.

Perché serve l'errore relativo? Sbagliare di $1$ cm misurando la lunghezza di un banco è grave, sbagliare di $1$ cm misurando la distanza Roma-Milano non conta nulla. L'errore relativo confronta l'errore con la grandezza misurata.

Un'approssimazione di $\pi$ si ripercuote sull'area del cerchio, $A = \pi r^2$ (con $r$ il raggio): se usi $\tilde{\pi}$ al posto di $\pi$, l'area calcolata ha lo stesso errore relativo di $\pi$ (il raggio qui è esatto). Dunque, se $\tilde{\pi}$ ha errore relativo $E_r$, anche l'area ha errore relativo $E_r$, mentre l'errore assoluto sull'area è $E_r \cdot \pi r^2$. Per esempio, con $\pi \approx 3{,}14$ e $r = 5$ m l'area è $78{,}5$ m² al posto di $78{,}54$ m²: errore assoluto circa $0{,}04$ m² ed errore relativo circa $0{,}05\%$, come per $\pi$. Se invece anche il raggio è incerto, per la regola della potenza il suo errore relativo si raddoppia e si somma a quello di $\pi$.

Vale una regola utile: se arrotondi a $k$ cifre decimali, l'errore assoluto è al massimo mezza unità dell'ultima cifra, cioè $\tfrac12 \cdot 10^{-k}$.

Propagazione degli errori

Se misuri base e altezza di un rettangolo con un certo errore, quanto è sbagliata l'area? Gli errori si "trasmettono" ai calcoli. Il modo più sicuro è calcolare i valori estremi: usi tutti i valori minimi e tutti i valori massimi possibili.

L'ultimo confronto non è un caso.

Perché? Se $\tilde{x} = x(1 + \varepsilon_1)$ e $\tilde{y} = y(1 + \varepsilon_2)$ con $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ piccoli, allora $\tilde{x}\tilde{y} = xy(1 + \varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \varepsilon_1\varepsilon_2)$ e il termine $\varepsilon_1\varepsilon_2$ è trascurabile (per esempio $0{,}01 \cdot 0{,}01 = 0{,}0001$). Una potenza è un prodotto con se stessa: $x^n$ ripete $n$ volte l'errore.

Il metodo di bisezione

Come si approssima la soluzione di un'equazione come $x^2 - 3 = 0$, o di $x^3 + x - 3 = 0$ che non sappiamo risolvere con formule? Si usa una proprietà dei grafici continui.

Il grafico è una linea senza salti: se parte sotto l'asse $x$ e arriva sopra, deve attraversarlo. Se in più $f$ è strettamente crescente (o decrescente) nell'intervallo, lo zero è unico, perché una funzione crescente non può assumere due volte lo stesso valore.

Il metodo di bisezione sfrutta il teorema: si dimezza ogni volta l'intervallo.

1. Si calcola il punto medio $m$ dell'intervallo $[a; b]$ e il valore $f(m)$.

2. Si tiene la metà in cui $f$ cambia segno: se $f(a) \cdot f(m) < 0$ si tiene $[a; m]$, altrimenti $[m; b]$.

3. Si ripete. Dopo $k$ passi l'ampiezza è $\dfrac{b - a}{2^k}$.

Ogni passo guadagna circa una cifra binaria; per avere una cifra decimale in più servono circa $3$–$4$ passi.

Approssimare $\pi$: il metodo di Archimede

Archimede di Siracusa, nel III secolo a.C., calcolò $\pi$ intrappolando la circonferenza tra poligoni regolari: uno inscritto (dentro) e uno circoscritto (fuori). Il perimetro della circonferenza è maggiore di quello del poligono inscritto e minore di quello del circoscritto.

Noi usiamo solo i poligoni inscritti in una circonferenza di raggio $1$, la cui lunghezza è $2\pi$. Se il poligono regolare ha $n$ lati di lunghezza $s_n$, il suo perimetro è $n \cdot s_n < 2\pi$, dunque

È un'approssimazione per difetto, che migliora al crescere di $n$.

Nell'esagono regolare il lato è uguale al raggio (il triangolo con due raggi e un lato è equilatero): $s_6 = 1$. Se si raddoppia il numero dei lati, il nuovo lato si calcola con il teorema di Pitagora; per raggio $1$ si ottiene

Per esempio $s_4 = \sqrt{2}$ (quadrato) e quindi $s_8 = \sqrt{2 - \sqrt{4 - 2}} = \sqrt{2 - \sqrt{2}}$.

Anche se Archimede lavorava con poligoni da $96$ lati, il metodo è lo stesso. E ricordiamo che $\pi$ è un numero trascendente: non è soluzione di alcuna equazione polinomiale a coefficienti interi, quindi nessuna formula con radicali lo esprimerà mai esattamente.

Vuoi sapere chi aveva ragione tra Sofia e Luca? Entrambi, se gli intervalli $74{,}3 \pm 0{,}1$ cm e $74{,}5 \pm 0{,}1$ cm si sovrappongono (e lo fanno in $[74{,}4;\ 74{,}4]$): la misura vera potrebbe essere $74{,}4$ cm. Una misura senza errore non dice quanto è precisa.

In sintesi

• Approssimare $x$ a meno di $10^{-k}$ significa trovare $a \le x < a + 10^{-k}$: $a$ è l'approssimazione per difetto, $a + 10^{-k}$ per eccesso. L'arrotondamento sceglie la più vicina.

• Errore assoluto: $E_a = |x - \tilde{x}|$. Errore relativo: $E_r = E_a / |x|$, spesso in percentuale. Per confrontare precisioni si usa l'errore relativo.

• Nella propagazione: nelle somme si sommano gli errori assoluti, nei prodotti e nei quozienti gli errori relativi, nelle potenze $x^n$ l'errore relativo si moltiplica per $n$. Nella differenza di numeri vicini l'errore relativo può diventare enorme.

• Bisezione: se $f$ è continua e $f(a) \cdot f(b) < 0$, c'è uno zero in $]a; b[$ (unico se $f$ è monotona). Dimezzando l'intervallo $k$ volte l'ampiezza diventa $(b - a)/2^k$.

• Archimede: il perimetro dei poligoni regolari inscritti in una circonferenza di raggio $1$, diviso $2$, dà approssimazioni per difetto di $\pi$ che migliorano all'aumentare dei lati.