Successioni di numeri reali

Osserva le seguenti liste ordinate di numeri. Il tuo compito è individuare la regola logica seguita da ciascuna e scrivere i tre termini che continuano la serie:

• a) $2, 4, 6, 8, \dots$

• b) $1, 4, 9, 16, \dots$

• c) $10, 7, 4, 1, \dots$

• d) $3, 6, 12, 24, \dots$

Non tutte le successioni sono formate da numeri interi (come 1, 2, 3...). Possono avere anche frazioni o numeri decimali. Osserva la seguente successione di numeri reali:

1. Scrivi i tre termini successivi.

2. Qual è, secondo te, il termine generale $a_n$? Scegli l'opzione corretta:

   • Opzione A: $a_n = \frac{1}{n}$

   • Opzione B: $a_n = \frac{1}{n+1}$

   • Opzione C: $a_n = n + 1$

Di seguito sono presentate varie sequenze numeriche che seguono uno schema logico. Il tuo compito è individuare la regola di formazione e scrivere i tre termini successivi per ciascuna:

• a) $4, \ 7, \ 10, \ 13, \ ...$

• b) $3, \ -6, \ 12, \ -24, \ ...$

• c) $1, \ 4, \ 9, \ 16, \ 25, \ ...$

• d) $\frac{1}{2}, \ \frac{2}{3}, \ \frac{3}{4}, \ \frac{4}{5}, \ ...$

In matematica usiamo formule per definire il valore di qualsiasi posizione in una successione senza dover scrivere tutta la lista. Questo si chiama termine generale ($a_n$).

Calcola i primi quattro termini ($a_1, a_2, a_3, a_4$) e il termine che occupa la posizione 10 ($a_{10}$) per le seguenti successioni definite dal loro termine generale:

• a) $a_n = 3n + 1$

• b) $b_n = n^2 - 2$

Associa sul quaderno ciascuna delle seguenti successioni al suo termine generale corretto. Tieni presente che $n$ rappresenta la posizione (1, 2, 3...).

Successioni:

• A: $2, 4, 6, 8, \dots$

• B: $1, 3, 5, 7, \dots$

• C: $5, 10, 15, 20, \dots$

• D: $1, 4, 9, 16, \dots$

Termini generali:

• 1: $a_n = 2n - 1$

• 2: $a_n = n^2$

• 3: $a_n = 2n$

• 4: $a_n = 5n$

Marta vuole scoprire se il numero 39 fa parte della successione il cui termine generale è $a_n = 5n - 6$. Nel suo compito scrive:

«Per verificarlo, calcolo $a_{39} = 5 \cdot 39 - 6 = 195 - 6 = 189$. Poiché l'operazione dà un risultato esatto, concludo che il numero 39 appartiene alla successione e occupa la posizione 189».

1) Individua e spiega in dettaglio l'errore concettuale commesso da Marta confondendo l'indice di posizione $n$ con il valore del termine $a_n$.

2) Imposta e risolvi l'equazione adatta per stabilire se il numero 39 appartiene davvero alla successione, indicando quale posizione occupa se la risposta è affermativa.

3) Spiega se il numero 50 appartiene o no a questa stessa successione, tenendo conto di quale tipo di numeri devono necessariamente essere gli indici di posizione $n$.

Data la successione il cui termine generale è dato dall'espressione algebrica $a_n = \frac{n^2 - 1}{n + 1}$, calcola i primi quattro termini e il termine che occupa la posizione 15. Noti qualche curiosità semplificando l'espressione algebrica iniziale?

Trova il termine generale ($a_n$) delle seguenti successioni. Tieni presente che alcune possono essere aritmetiche, geometriche o di quadrati perfetti:

• a) $5, \ 10, \ 15, \ 20, \ ...$

• b) $3, \ 6, \ 12, \ 24, \ ...$

• c) $\frac{1}{2}, \ \frac{1}{4}, \ \frac{1}{8}, \ \frac{1}{16}, \ ...$

• d) $1, \ 8, \ 27, \ 64, \ ...$

Abbiamo una successione il cui termine generale è $b_n = n^2 - 3n + 2$.

1. Calcola i primi 5 termini.

2. Esiste qualche termine della successione che vale 0? In tal caso, quale posizione o quali posizioni occupa? Giustifica la risposta risolvendo l'equazione corrispondente.

Studia le seguenti successioni di numeri reali. Devi individuare lo schema logico di costruzione e trovare il termine generale $a_n$ in funzione di $n$ per ciascuna di esse.

• Successione A: $0, \frac{3}{2}, \frac{8}{3}, \frac{15}{4}, \frac{24}{5}, \dots$

• Successione B: $-2, 4, -8, 16, -32, \dots$

• Successione C: $2, 5, 10, 17, 26, \dots$

A volte, per conoscere il valore di un termine, dobbiamo conoscere quello precedente. Questa si chiama legge di ricorrenza.

Data una successione in cui il primo termine è $a_1 = 5$ e la regola per ottenere i successivi è:

(Questo significa: "il termine attuale è uguale al termine precedente più 3").

Calcola i termini $a_2, a_3, a_4$ e $a_5$.

Una successione è definita da una legge di ricorrenza quando i suoi termini si ottengono operando con i precedenti. Considera la successione definita nel modo seguente:

• Il primo termine è $a_1 = 2$.

• Il secondo termine è $a_2 = 3$.

• Ogni termine successivo si calcola moltiplicando i due termini immediatamente precedenti: $a_n = a_{n-1} \cdot a_{n-2}$.

Calcola i termini $a_3, a_4, a_5$ e $a_6$. Pensi che questa successione cresca rapidamente o lentamente?

Si definisce una successione di numeri reali mediante la seguente legge di ricorrenza: il suo primo termine è $a_1 = 3$ e ogni termine successivo si ottiene moltiplicando il precedente per 2 e sottraendo 1, cioè $a_n = 2 \cdot a_{n-1} - 1$ per ogni $n \ge 2$.

1) Stima: Senza fare lunghi calcoli sulla carta, stima in modo intuitivo se il decimo termine ($a_{10}$) supererà il valore di $1\,000$. Giustifica brevemente su cosa basi la tua previsione.

2) Calcola: Ottieni in modo ordinato i primi cinque termini della successione ($a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$) applicando passo dopo passo la legge di ricorrenza.

3) Deduci e verifica: Confronta i valori ottenuti con le potenze di due ($2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 8$, $2^4 = 16$, $2^5 = 32, \dots$). Deduci una formula diretta per il termine generale $a_n$ in funzione di $n$, calcola con essa il valore esatto di $a_{10}$ e valuta se la tua stima iniziale era corretta.

In informatica e nella progettazione di algoritmi è comune incontrare la successione di Collatz, nota anche come congettura $3n+1$. Anche se sembra semplice, è uno dei problemi aperti più famosi della matematica.

La regola di formazione è ricorsiva. Dato un numero naturale iniziale $a_1$, i termini successivi si ottengono così:

• Se il termine precedente $a_{n-1}$ è pari, il successivo è la metà: $a_n = \frac{a_{n-1}}{2}$.

• Se il termine precedente $a_{n-1}$ è dispari, il successivo si ottiene moltiplicando per 3 e sommando 1: $a_n = 3 \cdot a_{n-1} + 1$.

• Scrivi la successione completa partendo da $a_1 = 13$ fino ad arrivare al numero 1.

• Quanti termini ha la successione generata (lunghezza dell'orbita) fino a raggiungere l'1 per la prima volta?

• Verifica che cosa succede se continui ad applicare la regola dopo essere arrivato all'1. Descrivi il ciclo che si forma.

Considera la successione definita dalla seguente legge di ricorrenza:

Questa è la famosa successione di Fibonacci.

1. Calcola i primi 10 termini della successione.

2. Studiamo il comportamento del quoziente (divisione) tra due termini consecutivi. Calcola i seguenti valori con 4 cifre decimali:

   • $\frac{a_2}{a_1}$

   • $\frac{a_3}{a_2}$

   • $\frac{a_6}{a_5}$

   • $\frac{a_{10}}{a_9}$

3. Noti che i risultati si avvicinano a un numero preciso? Indaga a quale famoso numero irrazionale ci si avvicina dividendo termini consecutivi di questa successione quando $n$ è molto grande.

Immagina un videogioco di piattaforme in 2D. Il personaggio si trova ai piedi di una scala di $n$ gradini.

Il personaggio ha due modi per salire:

• Salire 1 gradino con un salto.

• Salire 2 gradini con un super-salto.

Vogliamo sapere in quanti modi diversi ($F_n$) può arrivare in cima alla scala.

• Se c'è 1 gradino ($n=1$): C'è un solo modo (salto da 1). $F_1 = 1$.

• Se ci sono 2 gradini ($n=2$): Può fare (1+1) o (2). Ci sono 2 modi. $F_2 = 2$.

• Se ci sono 3 gradini ($n=3$): Può fare (1+1+1), (1+2) o (2+1). Ci sono 3 modi. $F_3 = 3$.

• Calcola in quanti modi diversi può salire una scala di 4 gradini ($F_4$) e di 5 gradini ($F_5$). Descrivili (per esempio: 1+2+1+1).

• Trova la relazione che esiste tra $F_n$, $F_{n-1}$ e $F_{n-2}$.

• Se la scala avesse 10 gradini, in quanti modi diversi potrebbe salirla?

Le successioni nascono spesso da schemi geometrici. Osserva la seguente immagine che mostra come cresce un triangolo formato da punti.

Conta il numero di punti di ogni figura per formare una successione numerica.

1. Scrivi i primi 4 termini di questa successione.

2. Quanti punti avrà la figura 5?

3. Senza disegnare, sapresti dire quanti punti si aggiungono per passare dalla figura 4 alla figura 5?

Immagina di allenarti per una corsa di fondo. Il tuo allenatore annota i chilometri che corri ogni settimana per tenere sotto controllo i tuoi progressi. L'elenco delle ultime 6 settimane è il seguente:

Considerando questo elenco come una successione numerica ($a_n$):

1. Qual è il valore del termine $a_1$? Che cosa rappresenta nel contesto dell'allenamento?

2. Qual è il valore del termine $a_4$?

3. Se mantieni lo stesso ritmo di incremento, quanti chilometri correrai nella settimana 7 ($a_7$)?

Uno "streamer" di videogiochi decide di iniziare a risparmiare per comprare una nuova attrezzatura.

Il primo mese risparmia 50 €, il secondo mese risparmia 100 €, il terzo mese risparmia 200 € e il quarto mese risparmia 400 €.

1. Scrivi la successione formata dal denaro risparmiato ogni mese.

2. Noti qualche regolarità? Quale operazione fai per passare da un mese al successivo?

3. Calcola quanto risparmierà nel mese 5 e nel mese 6 se mantiene questo andamento.

Costruisci il termine generale $a_n$ di una successione di numeri reali che soddisfi contemporaneamente queste tre condizioni:

1. Il suo primo termine è una frazione precisa: $a_1 = \frac{1}{2}$.

2. Tutti i termini sono strettamente positivi e ogni termine è minore del precedente (cioè $a_1 > a_2 > a_3 > \dots > 0$).

3. Quando la posizione $n$ diventa molto grande, i termini si avvicinano sempre più a 0, ma senza mai diventare zero né assumere valori negativi.

Scrivi l'espressione algebrica del tuo termine generale $a_n$, verifica che soddisfi le condizioni calcolando esplicitamente i termini $a_1, a_2, a_3$ e $a_4$, e giustifica brevemente perché nessun termine della tua formula potrà mai essere uguale a 0.

Osserva la seguente costruzione geometrica formata da fiammiferi.

1. Disegna sul quaderno la Figura 4 seguendo la stessa logica di costruzione.

2. Scrivi la successione numerica che rappresenta il numero totale di fiammiferi necessari per costruire ogni figura ($a_1, a_2, a_3, a_4$).

3. Descrivi con parole tue come aumenta il numero di fiammiferi passando da una figura alla successiva.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In un supermercato, un commesso sta impilando lattine di conserva formando una struttura triangolare per una promozione.

• Nella fila superiore (fila 1) mette 1 lattina.

• Nella fila immediatamente sotto (fila 2) mette 3 lattine.

• Nella fila 3 mette 5 lattine.

• Nella fila 4 mette 7 lattine.

Scrivi la successione che rappresenta il numero di lattine per fila e trova una formula generale ($a_n$) che permetta di sapere quante lattine ci saranno nella fila $n$ senza doverle contare una a una.

Maria si sta allenando per una maratona. Il primo giorno corre per 15 minuti. Il suo allenatore le ha preparato un piano in cui ogni giorno deve correre 4 minuti in più rispetto al giorno precedente.

1. Scrivi la successione che rappresenta i minuti che Maria corre nei primi 5 giorni.

2. Se mantiene questo piano di allenamento, quanti minuti dovrà correre il giorno numero 20? Usa il termine generale per calcolarlo.

In una città italiana, il servizio comunale di noleggio di biciclette elettriche applica la seguente tariffa per gli utenti non abbonati: allo sgancio della bicicletta si paga una tariffa base di $0,70$ €, che copre i primi 15 minuti di percorso. Da lì in poi, per ogni nuovo tratto di 15 minuti (o frazione) che inizia, si aggiungono $0,40$ € al costo totale.

Definiamo la successione $C_n$ come l'importo totale in euro da pagare per un percorso che dura $n$ tratti di 15 minuti (dove $n = 1$ corrisponde a un viaggio fino a 15 minuti, $n = 2$ a un viaggio tra 16 e 30 minuti, ecc.).

1) Scrivi i primi quattro termini della successione: $C_1, C_2, C_3$ e $C_4$.

2) Deduci l'espressione algebrica del termine generale $C_n$ in funzione del numero di tratti $n$.

3) Un utente controlla l'estratto conto dell'app e vede che gli sono stati addebitati esattamente $3,50$ € per un solo viaggio. Imposta l'equazione corrispondente con il termine generale, trova il valore di $n$ e interpreta il risultato indicando tra quali minuti era compresa la durata del suo spostamento.

Osserva la seguente costruzione di figure geometriche formate da piccoli quadrati.

• La Figura 1 è un solo quadrato centrale.

• La Figura 2 si ottiene aggiungendo un quadrato su ogni lato libero della figura precedente (sopra, sotto, a sinistra, a destra).

• La Figura 3 segue lo stesso schema, aggiungendo quadrati solo sui lati esterni liberi della figura precedente.

Si chiede di:

1. Disegnare sul quaderno la Figura 4.

2. Scrivere la successione formata dal numero totale di quadrati delle prime 5 figure.

3. Ragionare e trovare un'espressione algebrica per il termine generale $a_n$ che permetta di calcolare il numero di quadrati della figura che occupa la posizione $n$.

4. Calcolare quanti quadrati avrebbe la Figura 20 senza doverla disegnare.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Abbiamo un poligono regolare di $n$ lati. Vogliamo studiare la successione formata dal numero totale di diagonali di tale poligono al crescere del numero di lati.

• $a_3$ (triangolo, 3 lati): 0 diagonali.

• $a_4$ (quadrato, 4 lati): 2 diagonali.

• $a_5$ (pentagono, 5 lati): 5 diagonali.

• Disegna un esagono regolare ($n=6$) e traccia tutte le sue diagonali. Qual è il valore di $a_6$?

• Osserva che per passare da $a_3$ a $a_4$ si somma 2; da $a_4$ a $a_5$ si somma 3; da $a_5$ a $a_6$ si somma 4. Seguendo questo schema di crescita, calcola quante diagonali avrà un decagono ($n=10$).

• Il termine generale di questa successione è dato dalla formula quadratica $a_n = \frac{n(n-3)}{2}$. Usa questa formula per verificare il risultato del punto precedente.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Il triangolo di Sierpinski si definisce mediante un processo iterativo (che si ripete) di eliminazione di aree.

Partiamo da un triangolo equilatero nero di area $A = 64 \text{ cm}^2$ (iterazione 0).

• Iterazione 1: Uniamo i punti medi dei lati e ritagliamo il triangolo centrale capovolto (quel triangolo bianco viene eliminato). Restano 3 triangoli neri più piccoli.

• Iterazione 2: Ripetiamo il processo con ciascuno dei 3 triangoli neri rimasti.

Si chiede di:

1. Scrivere la successione $T_n$ che rappresenta il numero di triangoli neri a ogni passo (passo 0, passo 1, passo 2, passo 3). Che tipo di successione è?

2. Scrivere la successione $S_n$ che rappresenta l'area nera totale che rimane nella figura a ogni passo.

3. Calcolare quale area nera resterà nella figura dopo aver eseguito l'iterazione numero 5.

Osserva la seguente successione di numeri periodici:

Anche se sembra che si aggiungano semplicemente degli "uno", analizziamo il loro valore frazionario.

1. Scrivi i primi tre termini della successione sotto forma di frazione ridotta ai minimi termini.

2. Trova il termine generale $a_n$ espresso come frazione.

3. Calcola la somma dei primi due termini $a_1 + a_2$ ed esprimi il risultato come frazione.

4. Indaga e ragiona: il termine $a_n$ varia quando $n$ è un numero molto grande (per esempio, con 100 uno) o rimane costante? Giustifica la risposta.

Per calcolare il termine che occupa la posizione numero 80 ($a_{80}$) nella successione che inizia con $5, 11, 17, 23, 29, \dots$, due studenti di terza media propongono strade diverse:

• Metodo A (Ugo): Definisce la successione mediante una legge di ricorrenza: $a_1 = 5$ e $a_n = a_{n-1} + 6$, e propone di usare un foglio di calcolo o di calcolare a mano successivamente ogni termine fino ad arrivare alla posizione 80.

• Metodo B (Lucia): Cerca un'espressione algebrica diretta per il termine generale $a_n$ in funzione della posizione $n$, e calcola $a_{80}$ sostituendo direttamente $n = 80$.

1) Applica il metodo di Lucia: deduci con ragionamento la formula del termine generale $a_n$ a partire dalla regolarità dei termini dati e calcola il valore esatto di $a_{80}$.

2) Confronta in modo critico i due metodi: in quale situazione pratica sarebbe preferibile o più intuitivo usare il metodo di Ugo, e perché per rispondere alla domanda posta il metodo di Lucia è decisamente più vantaggioso?

3) Analizza la successione di Fibonacci ($1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots$). Spiega perché in terza media non è possibile usare il metodo di Lucia con questa successione ed è indispensabile ricorrere alla legge di ricorrenza.

Un laboratorio biomedico a Napoli analizza la proliferazione di una coltura cellulare disposta in una piastra con una struttura geometrica concentrica:

• Nella fase iniziale ($n = 1$) c'è un'unica cellula centrale ($c_1 = 1$).

• Nella fase $n = 2$, attorno alla cellula centrale si forma un primo anello con 8 cellule nuove ($c_2 = 8$).

• Nella fase $n = 3$, l'anello esterno successivo richiede 16 cellule nuove ($c_3 = 16$).

• Nella fase $n = 4$, l'anello esterno successivo necessita di 24 cellule nuove ($c_4 = 24$).

Sia $c_n$ la successione che indica il numero di cellule nuove aggiunte esclusivamente nell'anello esterno della fase $n$ (per $n \ge 2$).

1) Scrivi la legge di ricorrenza che lega $c_n$ a $c_{n-1}$ per $n \ge 3$, e trova l'espressione algebrica diretta del termine generale $c_n$ in funzione di $n$ valida per ogni $n \ge 2$.

2) Problema inverso: Il microscopio del laboratorio permette di osservare con nitidezza un anello esterno solo se questo ha al massimo 200 cellule. Imposta la disequazione corrispondente e calcola qual è la fase $n$ più avanzata che si può osservare completamente e quante cellule esatte avrà tale anello esterno.

3) Dimostrazione algebrica: Un ricercatore ipotizza che la somma delle cellule nuove di due anelli esterni consecutivi qualsiasi, $c_n + c_{n+1}$ (con $n \ge 2$), sia sempre un multiplo di 8 ma non possa mai essere un multiplo di 16. Dimostra algebricamente se l'affermazione del ricercatore è vera o falsa analizzando l'espressione che risulta da tale somma.

Sfida del tema. Fin dove arriva un rimbalzo? Modella la fisica della tua palla preferita applicando le successioni di numeri reali.

1. Raccolta dei dati: Lascia cadere una palla da $100\text{ cm}$ di altezza accanto a una parete segnata con un metro a nastro. Registra il video al rallentatore con il tuo cellulare e annota l'altezza massima raggiunta nei primi 4 rimbalzi ($a_1, a_2, a_3, a_4$).

2. Modellizzazione: In un foglio di calcolo o con GeoGebra, registra i tuoi dati e calcola i rapporti tra termini consecutivi ($a_{n}/a_{n-1}$) per ottenere la ragione media $r$ (usa i decimali con la virgola, come $0,75$). Scrivi il termine generale della tua progressione: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$.

3. Analisi e previsione: Prevedi l'altezza dell'ottavo rimbalzo e calcola la somma infinita delle altezze $S = \frac{a_1}{1-r}$ e, a partire da essa, la distanza verticale teorica totale percorsa nei rimbalzi, $2S$ (ogni rimbalzo comprende una salita e una discesa).

4. Relazione finale: Prepara un breve documento con la tua tabella, il grafico della successione e una conclusione motivata: perché nella pratica la palla si ferma prima di quanto prevede il modello matematico?

Verrà valutato:

• Rigore nel ricavare la ragione $r$, la formula del termine generale e la somma.

• Uso corretto del foglio di calcolo o di GeoGebra per tabulare e rappresentare graficamente la successione.

• Giustificazione critica delle differenze tra il modello teorico e la realtà fisica.