Crescenza, massimi e minimi

A partire dal seguente grafico della funzione $f(x)$, determina gli intervalli in cui la funzione è strettamente crescente e quelli in cui è strettamente decrescente.

Disegna sul quaderno un grafico continuo il cui dominio sia tutto $\mathbb{R}$, strettamente crescente negli intervalli $(-\infty, -2)$ e $(3, +\infty)$ e strettamente decrescente nell'intervallo $(-2, 3)$. Secondo il tuo disegno, che tipo di estremi relativi (massimo o minimo) ci saranno nelle ascisse $x = -2$ e $x = 3$?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Il seguente grafico mostra gli abbonati mensili $S(t)$ (in migliaia) di una rivista digitale durante il suo primo anno di vita ($t$ in mesi, da $t=0$ a $t=12$). Individua gli intervalli in cui il numero di abbonati cresce e decresce. In quali mesi si raggiungono i massimi e i minimi relativi?

Osserva il grafico della funzione $g(x)$ e scrivi le coordinate esatte dei punti indicati con A, B e C. Indica per ciascuno di essi se si tratta di un massimo o di un minimo relativo. C'è qualche estremo che sia anche assoluto nel dominio rappresentato?

Rappresenta sul quaderno uno schizzo di una funzione continua $f(x)$ che soddisfi contemporaneamente tutte le seguenti condizioni:

• Il suo dominio è l'intervallo $[-5, 6]$.

• Il suo codominio è l'intervallo $[-2, 5]$.

• È strettamente crescente in $[-5, -1] \cup [3, 6]$ e strettamente decrescente in $[-1, 3]$.

• Passa per i punti $(-1, 5)$ e $(3, -2)$.

Che cosa rappresentano matematicamente i punti $(-1, 5)$ e $(3, -2)$ nel grafico di questa funzione?

Il seguente grafico corrisponde a una funzione polinomiale di grado 4, $f(x)$, che ha una forma a "W". Osservando il grafico, stima le coordinate dei suoi estremi relativi (massimi e minimi). Poi, sapendo che la funzione è perfettamente simmetrica rispetto all'asse Y (è una funzione pari), ragiona e dimostra se il tasso di variazione medio nell'intervallo simmetrico $[-3, 3]$ sarà positivo, negativo o nullo.

Calcola il tasso di variazione medio (TVM) della funzione lineare $f(x) = 4x - 7$ nell'intervallo $[-2, 3]$. In base al risultato ottenuto, che cosa puoi affermare sulla crescita della funzione in tale intervallo?

Considera la funzione $f(x) = x^2 - 9$. Calcola il tasso di variazione medio nell'intervallo $[-4, -1]$ e nell'intervallo $[1, 4]$. Collega il segno di ciascun risultato al comportamento (crescente o decrescente) della funzione in questi due tratti.

Un escursionista registra l'altitudine $h$ a cui si trova in diversi momenti $t$ del suo percorso in montagna:

Calcola il tasso di variazione medio negli intervalli $[0, 2]$, $[2, 4]$ e $[4, 5]$. Dai segni di questi risultati, deduci in quale momento approssimativo l'escursionista raggiunse la cima della prima montagna che salì e quando finì di scendere nella valle prima di risalire.

Data la funzione razionale con un parametro incognito $f(x) = \frac{k}{x+2}$, trova il valore esatto di $k$ sapendo che il tasso di variazione medio della funzione nell'intervallo $[0, 2]$ è uguale a $-1$. Una volta trovato il valore di $k$, giustifica algebricamente se la funzione è crescente o decrescente in tutto l'intervallo $(-2, +\infty)$.

Data la funzione quadratica $f(x) = -3x^2 + 12x - 5$, indica, senza rappresentarla graficamente né calcolarne le coordinate, se il vertice della parabola corrisponde a un massimo o a un minimo relativo. Giustifica la risposta osservando il segno dei coefficienti della funzione.

Marco sta analizzando la funzione quadratica $f(x) = x^2 - 6x + 5$, che descrive l'altezza in metri di un pattinatore in una pista concava in base alla sua posizione orizzontale $x$. Dopo aver fatto i calcoli, Marco trova le coordinate del vertice, che sono $(3, -4)$, e scrive sul suo quaderno la seguente conclusione: «Poiché i rami sono rivolti verso l'alto, la funzione ha un minimo relativo di valore $x = 3$. Quindi la funzione è decrescente nell'intervallo $(-\infty, -4)$ e crescente in $(-4, +\infty)$». Individua i due errori concettuali commessi da Marco nell'interpretare le coordinate del vertice, spiega in dettaglio perché si verificano queste confusioni abituali e scrivi la risposta corretta indicando il valore del minimo e gli intervalli di crescita e decrescita.

L'altezza $h$ (in metri) raggiunta da un razzo da fiera in funzione del tempo $t$ (in secondi) dal lancio è data dall'espressione $h(t) = -5t^2 + 40t + 2$. Calcola in quale istante il razzo raggiunge la sua altezza massima e qual è il valore esatto di tale altezza.

Il numero di individui $N$ di una popolazione di insetti in un esperimento di laboratorio varia in funzione dei giorni $t$ trascorsi secondo il modello quadratico $N(t) = 3t^2 - 24t + 150$, valido per $t \ge 0$. Determina in quale giorno la popolazione di insetti raggiunge il suo valore minimo e quanti individui compongono la popolazione in quel preciso momento.

Determina, motivando, l'espressione algebrica di una funzione polinomiale di secondo grado $f(x) = ax^2 + bx + c$ che soddisfi contemporaneamente tre condizioni: 1) presenta un estremo assoluto nel punto $V(2, 5)$; 2) è strettamente crescente nell'intervallo $(-\infty, 2)$ e strettamente decrescente in $(2, +\infty)$; 3) interseca l'asse delle ordinate nel punto $(0, 1)$. Giustifica come deduci il segno del coefficiente principale $a$, come usi la formula del vertice o la forma canonica della parabola per impostare le equazioni necessarie e trova i valori esatti dei coefficienti $a$, $b$ e $c$.

Il consumo di carburante $C(v)$ (in litri ogni $100\text{ km}$) di un'automobile che viaggia in autostrada a velocità costante $v$ (in $\text{km}/\text{h}$, per $60 \le v \le 140$) è modellizzato dalla funzione quadratica $C(v) = 0,001v^2 - 0,18v + 12,6$. a) Modellizza la guida più economica: calcola a quale velocità di crociera il consumo di carburante è minimo e qual è il valore esatto di tale consumo minimo. b) In base agli intervalli di crescita e decrescita, giustifica perché viaggiare a $120\text{ km}/\text{h}$ consuma più che viaggiare a $90\text{ km}/\text{h}$. Calcola il tasso di variazione medio $\text{TVM}[90, 120]$ e interpreta il suo significato pratico spiegando quanti litri in più consuma l'auto per ogni $\text{km}/\text{h}$ di cui si supera la velocità ottimale in quel tratto.

Si dispone di $60$ metri di recinzione metallica per recintare un orto rettangolare sfruttando la parete rettilinea di un fienile, per cui è necessario recintare solo tre lati. Se chiamiamo $x$ la lunghezza dei due lati perpendicolari alla parete del fienile, trova la funzione quadratica $A(x)$ che esprime l'area dell'orto in funzione di $x$. Quali devono essere le dimensioni esatte dell'orto affinché la sua area sia la massima possibile?

Il profitto $B(x)$, in euro, ottenuto da una fabbrica con la vendita di $x$ unità di un prodotto esclusivo è dato dalla funzione quadratica con parametri $B(x) = -ax^2 + bx - 500$. Si sa da uno studio di mercato che il profitto massimo si raggiunge vendendo esattamente $40$ unità e che tale profitto massimo è di $1100$ €. Imposta un sistema di equazioni e calcola i valori dei parametri $a$ e $b$.

Il consumo di energia $C(v)$ (in kWh ogni 100 km) di un nuovo veicolo elettrico in funzione della sua velocità costante $v$ (in km/h) può essere modellizzato in modo approssimato dall'espressione quadratica $C(v) = 0,02v^2 - 1,6v + 45$, valida per velocità nell'intervallo da $20$ a $100$ km/h. A quale velocità esatta deve viaggiare il veicolo affinché il consumo di energia sia il minimo possibile? Qual è tale consumo minimo?

La temperatura di un forno industriale parte da $20 \ ^\circ\text{C}$. Durante i primi $15$ minuti sale in modo uniforme fino a raggiungere $220 \ ^\circ\text{C}$. Si mantiene a quella temperatura costante per $45$ minuti per cuocere dei pezzi, poi viene spento e la temperatura scende in modo uniforme fino a $20 \ ^\circ\text{C}$ nell'arco di $30$ minuti. Indica gli intervalli di tempo di crescita, decrescita e costanza della temperatura, nonché il valore massimo assoluto raggiunto dalla funzione.

Considera la funzione $f(x)$ definita a tratti nel modo seguente:

$f(x) = \begin{cases} -2x + 6 & \text{si } x < 2 \\ x^2 - 8x + 14 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

Trova le coordinate del vertice del tratto parabolico e determina se la funzione presenta qualche minimo relativo o assoluto in tutto il suo dominio.

Il grafico seguente rappresenta la velocità $v$ (in km/h) di un veicolo lungo un percorso in funzione del tempo $t$ (in minuti). Indica gli intervalli di tempo in cui il veicolo accelera (velocità crescente), frena (velocità decrescente) o mantiene una velocità costante. Qual è la velocità massima raggiunta nel percorso e per quanto tempo viene mantenuta?

Considera la funzione definita mediante un valore assoluto $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$. Sapendo che la parabola interna $y = x^2 - 6x + 5$ interseca l'asse delle ascisse in $x=1$ e $x=5$, esprimi $f(x)$ come funzione definita a tratti senza usare il simbolo di valore assoluto. Poi trova le coordinate dei tre estremi relativi di $f(x)$ e indica i suoi intervalli di monotonia.

Considera la funzione definita a tratti: $f(x) = 3 - x^2$ se $x \le 1$, e $f(x) = 4x - 2$ se $x > 1$. Due studenti discutono se esista un estremo relativo nel punto di raccordo $x = 1$: Sergio calcola i vertici di ciascun tratto separatamente; poiché il primo tratto ha il vertice in $x = 0$ e il secondo è una retta senza vertice, afferma che in $x = 1$ non può esserci alcun estremo. Giulia propone di verificare prima se la funzione è continua in $x = 1$ e poi di analizzare il segno della crescita immediatamente a sinistra e a destra di $x = 1$. a) Quale dei due metodi è matematicamente rigoroso? Spiega con precisione l'errore del metodo di Sergio a partire dalla definizione di estremo relativo in un intorno. b) Applica il metodo valido per classificare, motivando, che cosa accade in $x = 1$ (massimo relativo, minimo relativo o nessuno dei due).

Progetta l'espressione analitica completa di una funzione a tratti $g(x)$, continua in tutto $\mathbb{R}$, formata esclusivamente da due rette (funzioni lineari affini) della forma: $g(x) = m_1 x + n_1$ se $x < 3$, e $g(x) = m_2 x + n_2$ se $x \ge 3$, che soddisfi contemporaneamente le seguenti tre condizioni: 1) In $x = 3$ la funzione raggiunge un massimo relativo di valore $g(3) = 4$. 2) Il tasso di variazione medio nell'intervallo $[-1, 3]$ è esattamente $2$. 3) A destra di $x = 3$ la funzione decresce il doppio più velocemente di quanto cresce alla sua sinistra. Calcola in modo motivato i coefficienti $m_1$, $n_1$, $m_2$ e $n_2$. Infine, spiega perché in $x = 3$ compare un massimo relativo nonostante nessuna funzione lineare o affine abbia di per sé estremi relativi.

Il grafico seguente non rappresenta una funzione $f(x)$ qualsiasi, ma rappresenta il valore del suo tasso di variazione istantaneo (o ritmo di crescita) in ogni punto $x$. Cioè, se il grafico mostrato si trova sopra l'asse X, la funzione originale $f(x)$ cresce; se si trova sotto, decresce. A partire da questo grafico, deduci in quali intervalli la funzione originale $f(x)$ è crescente e decrescente. In quale valore esatto di $x$ $f(x)$ raggiungerà un estremo relativo? Giustifica se si tratta di un massimo o di un minimo.