Tasso di variazione, tasso di variazione medio e tasso di crescita

La seguente tabella mostra la temperatura $T$ (in $^{\circ}C$) di una reazione chimica in funzione del tempo $t$ (in minuti).

• Per $t = 0$, $T = 15$

• Per $t = 1$, $T = 18$

• Per $t = 2$, $T = 24$

• Per $t = 3$, $T = 32$

• Per $t = 4$, $T = 45$

• Per $t = 5$, $T = 60$

Calcola il Tasso di Variazione (TV) e il Tasso di Variazione Medio (TVM) nell'intervallo $[2, 5]$.

Data la funzione affine $f(x) = 4x - 5$, calcola il suo tasso di variazione medio negli intervalli $[-2, 1]$ e $[3, 6]$. Quale conclusione puoi trarre sul tasso di variazione medio delle funzioni lineari?

Calcola il tasso di variazione medio della funzione quadratica $f(x) = x^2 - 6x + 8$ nell'intervallo $[1, 4]$.

Il grafico mostra la crescita di una pianta, dove $h(t)$ è l'altezza in centimetri e $t$ il tempo in settimane. A partire dal grafico, calcola il tasso di variazione medio dell'altezza nell'intervallo $[1, 4]$.

Un ciclista percorre una distanza data dalla funzione $d(t) = 3t^2 + 2t$, dove $d$ è misurata in metri e $t$ in secondi. Trova la velocità media del ciclista, che equivale al tasso di variazione medio della posizione, tra gli istanti $t = 2$ e $t = 5$.

Sapendo che il tasso di variazione medio di una funzione $f(x)$ nell'intervallo $[2, 6]$ è uguale a $5$, e che $f(2) = 7$, determina il valore di $f(6)$.

Il seguente grafico mostra il numero di spettatori $V(t)$, in migliaia, delle trasmissioni di un torneo di e-sports durante i primi $5$ mesi della stagione. Calcola il tasso di variazione medio negli intervalli $[1, 3]$ e $[3, 5]$. Interpreta il significato dei segni ottenuti in ciascun caso.

Considera la funzione quadratica $f(x) = x^2 - 3x + 2$. Calcola il tasso di variazione medio nell'intervallo $[2, 5]$ e usa questo valore per scrivere l'equazione della retta secante al grafico di $f(x)$ che passa per i punti di ascissa $x = 2$ e $x = 5$.

Calcola il tasso di variazione medio della funzione di proporzionalità inversa $f(x) = \frac{24}{x}$ nell'intervallo $[2, 8]$.

Il saldo $S$ (in euro) di un conto di risparmio in funzione del tempo $t$ (in mesi) è dato dall'espressione $S(t) = 150 + 25t$. Determina il tasso di variazione medio nell'intervallo $[0, 6]$ e interpreta il risultato numerico nel contesto del problema.

Il numero di utenti attivi di un'applicazione per smartphone è passato da $2000$ a $2500$ nel corso di un mese. Calcola il tasso di crescita espresso in percentuale.

Matteo analizza l'evoluzione della popolazione residente di un comune della provincia di Belluno tra gli anni 2015 ($t = 0$) e 2023 ($t = 8$). Il numero di abitanti censiti è passato da $2\,400$ a $3\,000$. Per calcolare il ritmo medio di cambiamento annuo, Matteo scrive nel suo compito:

E afferma nella sua conclusione: «Il comune è cresciuto a un ritmo medio di $0,25$ abitanti all'anno».

1. a) Individua l'errore concettuale commesso da Matteo e spiega quale grandezza ha calcolato in realtà al posto del tasso di variazione medio.
2. b) Correggi la sua risoluzione calcolando il vero tasso di variazione medio (TVM) nell'intervallo $[0, 8]$, indicandone e interpretandone le unità di misura.
3. c) Considera il risultato errato di Matteo ($0,25$) e interpreta quale informazione fornisce se è espresso come tasso di crescita percentuale (TC).

Il valore di un'automobile si deprezza secondo la funzione $V(t) = 24000 \cdot 0,85^t$, dove $t$ sono gli anni trascorsi dall'acquisto e $V(t)$ il prezzo in euro. Calcola il tasso di crescita percentuale nel primo anno (intervallo $[0, 1]$) e spiega il significato pratico del suo segno.

Il prezzo di un prodotto tecnologico era di $800$ € al momento del lancio. Due mesi dopo, il suo prezzo è sceso a $640$ €. Supponendo un modello di decrescita lineare, calcola il tasso di variazione medio mensile e il tasso di crescita percentuale totale in quei due primi mesi.

Sulla base di dati dell'Istituto Nazionale di Statistica (Istat), il prezzo medio al metro quadrato delle abitazioni in due regioni è evoluto nel modo seguente tra gli anni 2014 ($t = 0$) e 2024 ($t = 10$):

• In Calabria è passato da $800$ €/m$^2$ a $1\,200$ €/m$^2$.

• In Lombardia è passato da $2\,200$ €/m$^2$ a $3\,000$ €/m$^2$.

1. a) Modella l'evoluzione calcolando il tasso di variazione medio (TVM) del prezzo in ciascuna regione nel periodo $[0, 10]$. In quale delle due il prezzo è cresciuto a un ritmo annuo assoluto maggiore?
2. b) Calcola il tasso di crescita (TC) percentuale nello stesso decennio per entrambe le regioni. Quale ha subito un rincaro relativo maggiore rispetto al livello di partenza?
3. c) Due mezzi di informazione titolano la notizia in modo diverso: il quotidiano A pubblica «La Lombardia raddoppia il ritmo annuo di aumento del prezzo delle abitazioni rispetto alla Calabria», mentre il quotidiano B titola «Le abitazioni in Calabria rincarano nell'ultimo decennio a un ritmo percentuale molto superiore a quello della Lombardia». Spiega quale indicatore matematico (TVM o TC) sostiene ciascun titolo e argomenta perché nessuno dei due giornali sta mentendo.

Determina il valore del parametro $k$ affinché il tasso di crescita percentuale della funzione $f(x) = \frac{k}{x+2}$ nell'intervallo $[2, 8]$ sia esattamente del $-60\%$. Il risultato finale dipende dal valore iniziale di $k$? Motiva la risposta algebricamente.

Due amici confrontano la crescita dei loro canali video. Il canale A guadagna follower secondo il modello lineare $S_A(t) = 100t + 500$, e il canale B secondo il modello esponenziale $S_B(t) = 100 \cdot 1,5^t$ (dove $t$ è misurato in giorni e $S$ in follower). Calcola il tasso di crescita percentuale di entrambi i canali nell'intervallo $[2, 4]$ e determina quale dei due ha una crescita relativa maggiore in quel periodo.

Sia la funzione esponenziale $f(x) = 2^x$. Calcola il tasso di crescita percentuale negli intervalli $[1, 2]$, $[2, 3]$ e $[3, 4]$. A partire dai risultati ottenuti, dimostra algebricamente che per qualsiasi intervallo della forma $[n, n+1]$ (con $n \in \mathbb{N}$) il tasso di crescita percentuale di questa funzione è sempre costante.

La stazione meteorologica di Palermo registra in un giorno d'estate le seguenti temperature: alle $11:00$ ($t = 11$) il termometro segna $30\,^{\circ}\text{C}$ e alle $16:00$ ($t = 16$) raggiunge la temperatura massima del giorno con $42,5\,^{\circ}\text{C}$.

1. a) Prima di eseguire qualsiasi calcolo formale, fai una stima intuitiva e ragionata: pensi che la temperatura sia salita più o meno di $2\,^{\circ}\text{C}$ all'ora in media? Giustifica la risposta in una frase a partire dai dati grezzi.
2. b) Calcola il tasso di variazione (TV) e il tasso di variazione medio (TVM) della temperatura nell'intervallo $[11, 16]$, specificando le unità di misura di ciascun risultato.
3. c) Verifica se la tua stima iniziale era corretta confrontandola con il valore esatto del TVM e rispondi: questo valore medio significa che la temperatura è salita esattamente di tale quantità in ciascuna delle cinque ore dell'intervallo?

Le visualizzazioni di un video virale crescono secondo il modello matematico $N(t) = 100 \cdot 2^t$, dove $N$ è il numero di visualizzazioni in migliaia e $t$ è misurato in giorni. Calcola il tasso di variazione medio negli intervalli $[1, 3]$ e $[3, 5]$. Confronta i risultati e spiega che cosa indicano sul ritmo di crescita del video.

Ottieni l'espressione algebrica semplificata per il tasso di variazione medio della funzione $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$ nell'intervallo generico $[a, a+h]$, dove $h > 0$.

La posizione di un oggetto in caduta libera è data da $e(t) = 5t^2$ (dove $e$ è misurata in metri e $t$ in secondi). Trova l'istante di tempo esatto $t > 1$ per cui la velocità media (che coincide con il tasso di variazione medio) nell'intervallo $[1, t]$ è esattamente di $25$ m/s.

Il volume d'acqua rimanente (in metri cubi) in un bacino di irrigazione agricola a Foggia, dopo l'apertura di una paratoia di scarico, è modellizzato dalla funzione $V(t) = 100 - 5t - t^2$, dove $t$ è il tempo in ore trascorso dall'apertura ($0 \le t \le 7$). Si vuole determinare la rapidità istantanea con cui esce l'acqua proprio all'istante $t = 2$ ore, e per farlo si propongono due procedimenti:

• Metodo A (Approssimazione numerica mediante TVM successive): Calcolare la TVM su intervalli di tempo sempre più piccoli a partire da $t = 2$, in particolare $[2; 2,5]$ e $[2; 2,1]$, e osservare la tendenza.

• Metodo B (Calcolo algebrico generico): Impostare l'espressione $\text{TVM}[2, 2+h] = \dfrac{V(2+h) - V(2)}{h}$ con un incremento generico $h > 0$, semplificare algebricamente la frazione e dedurre il valore quando $h$ tende a zero ($h \to 0$).

1. a) Applica il Metodo A: calcola le due TVM numeriche e formula una congettura sulla velocità istantanea di svuotamento dopo $2$ ore.
2. b) Applica il Metodo B: sviluppa $V(2+h)$, semplifica la frazione eliminando l'indeterminazione generata dalla variabile $h$ e ottieni il valore esatto quando $h \to 0$.
3. c) Confronta i due metodi e giustifica quale dei due fornisce una dimostrazione matematica rigorosa rispetto a un'intuizione e quale sarebbe più efficiente se un ingegnere dovesse programmare il calcolo della velocità istantanea per molti istanti diversi.

Determina il valore del parametro $a$ affinché il tasso di variazione medio della funzione quadratica $f(x) = ax^2 - 4x + 3$ nell'intervallo $[1, 5]$ sia esattamente uguale a $14$.

Da un ponte alto si lascia cadere un sasso. L'altezza $h$ (in metri) rispetto alla superficie dell'acqua in funzione del tempo $t$ (in secondi) è data dall'equazione $h(t) = 45 - 5t^2$. Calcola il tasso di variazione medio nell'intervallo $[1; 2,5]$. Quale grandezza fisica rappresenta questo valore e perché ha segno negativo?

Data la funzione con radicale $f(x) = \sqrt{2x - 3}$, trova il suo tasso di variazione medio negli intervalli $[2, 6]$ e $[6, 14]$.

Il volume $V$ (in litri) di acqua in un serbatoio industriale che si sta svuotando è dato dalla funzione $V(t) = 500 - 10t - t^2$, dove $t$ è misurato in minuti. Calcola il tasso di variazione medio negli intervalli $[0, 5]$ e $[5, 10]$. In quale intervallo di tempo il serbatoio si svuota più rapidamente?

Data la seguente funzione definita a tratti, calcola il tasso di variazione medio nell'intervallo $[1, 4]$.

$f(x) = \begin{cases} 3x + 1 & \text{si } x \le 2 \\ x^2 + 3 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Il livello dell'acqua di un bacino idrico (in ettometri cubi) durante i mesi estivi segue la funzione $N(t) = \frac{120}{t+1}$, dove $t$ è il numero di mesi trascorsi ($t=0$ è l'inizio di giugno, $t=1$ è l'inizio di luglio, ecc.). Calcola il tasso di variazione medio tra l'inizio di giugno e l'inizio di agosto ($t=2$) e il tasso di crescita percentuale nello stesso periodo.

Il costo totale di trasporto (in euro) fatturato da un'azienda di logistica in funzione della distanza della spedizione $x$ (misurata in decine di chilometri, con $x \ge 0$) è dato dalla funzione $C(x) = 0,5x^2 + 2x + 10$.

1. a) Un trasporto parte dalla sede centrale ($x = 0$) con destinazione un punto situato a una distanza sconosciuta $b$ decine di chilometri. Sapendo che il tasso di variazione medio del costo in quel tratto è stato di $5$ euro per decina di chilometri (cioè $\text{TVM}[0, b] = 5$), imposta l'equazione corrispondente e calcola il valore esatto di $b$.
2. b) Un altro cliente richiede un trasporto tra due magazzini situati nelle posizioni $x = 3$ e $x = k$ (con $k > 3$). Il cliente afferma che in quel tratto il tasso di variazione medio è stato di soli $3$ euro per decina di chilometri ($\text{TVM}[3, k] = 3$). Dimostra algebricamente che è impossibile trovare un valore $k > 3$ che soddisfi tale condizione e spiega geometricamente perché la forma della parabola impedisce un coefficiente angolare così basso in quella zona.

La distanza di frenata $d$ (in metri) di un veicolo in funzione della sua velocità $v$ (in km/h) è modellizzata dalla funzione $d(v) = 0,005v^2 + 0,2v$. Calcola il tasso di variazione medio negli intervalli $[40, 60]$ e $[100, 120]$. Spiega con un ragionamento perché l'incremento medio della distanza di frenata è molto maggiore alle alte velocità.

Il grafico mostra la distanza dal punto di partenza $d(t)$ in km di un ciclista nel corso di un allenamento di $5$ ore. Calcola il tasso di variazione medio nell'intero intervallo $[0, 5]$ e giustifica, analizzando il grafico, in quale intervallo di un'ora il ciclista ha raggiunto la maggiore velocità istantanea.

Sia la funzione definita a tratti:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - kx & \text{si } x < 3 \\ 2x + k & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

Determina il valore del parametro $k$ sapendo che il tasso di variazione medio di $f(x)$ nell'intervallo $[1, 5]$ è uguale a $4$.

Il numero di follower $S$ (in migliaia) di un canale di video in funzione del numero di video pubblicati $x$ segue il modello $S(x) = \frac{120x}{x + 10}$. Calcola il tasso di variazione medio negli intervalli $[10, 20]$ e $[40, 50]$. Interpreta, a partire dai risultati ottenuti, il fenomeno per cui ogni nuovo video porta sempre meno nuovi follower.

Un rettangolo è inscritto in un triangolo rettangolo di base $10$ cm e altezza $8$ cm, con due dei suoi lati appoggiati sui cateti. L'area del rettangolo in funzione della sua base $x$ è data dall'espressione $A(x) = x(8 - 0,8x)$. Calcola il tasso di variazione medio dell'area negli intervalli $[2, 4]$ e $[6, 8]$. Interpreta il cambio di segno del tasso di variazione medio in questo contesto geometrico.

Data la funzione razionale $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x}$, calcola e confronta il tasso di variazione medio negli intervalli $[1, 2]$ e $[-2, -1]$. Giustifica analiticamente perché si ottiene lo stesso risultato utilizzando la simmetria dispari della funzione.

Una funzione $f(x)$ ha la proprietà che il suo tasso di variazione medio in qualsiasi intervallo $[a, b]$ è sempre costante e uguale a $-4$. Se si sa che il grafico della funzione passa per il punto $(3, 10)$, determina l'espressione analitica di $f(x)$ e calcola il valore esatto di $f(8)$.

La potenza generata (in megawatt, MW) durante le prime ore di una burrasca da un parco eolico segue il modello lineare $P_1(t) = 2t + 4$, mentre una centrale idroelettrica modulabile che si avvia durante la stessa burrasca segue il modello quadratico $P_2(t) = t^2 - 2t + 4$, dove $t$ è misurato in ore ($0 \le t \le 6$).

1. a) Verifica che nell'intervallo complessivo $[0, 4]$ entrambi gli impianti presentano esattamente lo stesso tasso di variazione medio ($\text{TVM}[0, 4] = 2\text{ MW/h}$). Ragiona se ciò significa che entrambi hanno aumentato la produzione allo stesso ritmo in ogni momento; per farlo, analizza il comportamento reale di $P_2(t)$ tra $t = 0$ e $t = 1$ e confrontalo con quello della retta secante.
2. b) Determina algebricamente per quale istante $b > 2$ il tasso di crescita della centrale idroelettrica nell'intervallo $[0, b]$ è esattamente del $200\,\%$ ($\text{TC}_2[0, b] = 2$). Calcola la TVM in quel tratto e spiega come si relazionano la TVM, la TC e il valore iniziale $P_2(0)$.
3. c) Si vuole scoprire da quale momento l'incremento orario dell'idroelettrica supera nettamente quello eolico. Imposta e risolvi una disequazione con i tassi di variazione medi in un intervallo generico di un'ora $[a, a+1]$ per determinare da quale ora $a$ vale $\text{TVM}_2[a, a+1] - \text{TVM}_1[a, a+1] > 3\text{ MW/h}$.