Composizione, invertibilità e trasformazioni dei grafici
Sul tuo smartphone scatti una foto e poi applichi un filtro: il risultato dipende dall'ordine delle due operazioni? E se volessi tornare alla foto originale, potresti sempre farlo? In matematica succede lo stesso con le funzioni: si possono comporre, e a volte si possono annullare con la funzione inversa. In questa pagina impari a farlo e a trasformare i grafici.
Funzioni composte
Una funzione è una "macchina": entra $x$, esce $f(x)$. Se l'uscita di una macchina diventa l'ingresso di un'altra, otteniamo una funzione composta.
Il dominio di $f \circ g$ è l'insieme degli $x$ che stanno nel dominio di $g$ e tali che $g(x)$ sta nel dominio di $f$.
Date $f(x) = 2x + 1$ e $g(x) = x^2$, calcola $(f \circ g)(x)$ e $(g \circ f)(x)$ e il loro valore per $x = 3$.
Date $f(x) = 2x + 1$ e $g(x) = x^2$, calcola $(f \circ g)(x)$ e $(g \circ f)(x)$ e il loro valore per $x = 3$.
Date $f(x) = \sqrt{x - 1}$ e $g(x) = x^2 - 5$, determina il dominio di $f\circ g$ e di $g\circ f$ e scrivi le espressioni delle due composte semplificate.
Date $f(x) = \sqrt{x - 1}$ e $g(x) = x^2 - 5$, determina il dominio di $f\circ g$ e di $g\circ f$ e scrivi le espressioni delle due composte semplificate.
Iniettiva, suriettiva, biunivoca
Per tornare indietro serve che da ogni risultato si risalga a un solo $x$.
Nel grafico: una funzione è iniettiva se ogni retta orizzontale lo taglia al massimo una volta; è suriettiva se ogni retta orizzontale $y=k$, con $k$ nel codominio, lo taglia almeno una volta.
Data la funzione $f(x) = x^2$ con dominio $\mathbb{R}$ e codominio $\mathbb{R}$, stabilisci se è iniettiva e se è suriettiva, motivando la risposta con un controesempio.
Data la funzione $f(x) = x^2$ con dominio $\mathbb{R}$ e codominio $\mathbb{R}$, stabilisci se è iniettiva e se è suriettiva, motivando la risposta con un controesempio.
Sia $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ la funzione $f(x) = x^3 + x$. a) Dimostra che $f$ è strettamente crescente. b) Deduci che è biunivoca e spiega perché il grafico di…
Sia $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ la funzione $f(x) = x^3 + x$.
- a) Dimostra che $f$ è strettamente crescente.
- b) Deduci che è biunivoca e spiega perché il grafico di $f^{-1}$ è simmetrico a quello di $f$ rispetto alla retta $y = x$.
La funzione inversa
Il grafico di $f^{-1}$ si ottiene da quello di $f$ con una simmetria rispetto alla bisettrice $y=x$: il punto $(a;b)$ diventa $(b;a)$. Per questo scambiare i ruoli di $x$ e $y$ è proprio ciò che serve per calcolarla.
Determina la funzione inversa di $f(x) = 3x - 5$ e verifica che $f^{-1}(f(2)) = 2$.
Determina la funzione inversa di $f(x) = 3x - 5$ e verifica che $f^{-1}(f(2)) = 2$.
Data $f(x) = \dfrac{x+1}{x-2}$, determina il dominio, la funzione inversa $f^{-1}$ e il suo dominio.
Data $f(x) = \dfrac{x+1}{x-2}$, determina il dominio, la funzione inversa $f^{-1}$ e il suo dominio.
Sia $f(x) = x^2 - 4x + 5$. a) Determina il più grande intervallo del tipo $[a, +\infty)$ su cui $f$ è iniettiva. b) Su tale intervallo determina l'inversa e il suo…
Sia $f(x) = x^2 - 4x + 5$.
- a) Determina il più grande intervallo del tipo $[a, +\infty)$ su cui $f$ è iniettiva.
- b) Su tale intervallo determina l'inversa e il suo dominio.
Trasformazioni dei grafici
Dal grafico di $y=f(x)$ si ottengono molti altri grafici senza rifare i calcoli.
| Funzione | Trasformazione del grafico di $f$ |
|---|---|
| $y=f(x)+k$ | traslazione verticale di $k$ |
| $y=f(x-h)$ | traslazione orizzontale di $h$ verso destra |
| $y=-f(x)$ | simmetria rispetto all'asse $x$ |
| $y=f(-x)$ | simmetria rispetto all'asse $y$ |
| $y=\lvert f(x)\rvert$ | la parte sotto l'asse $x$ si ribalta sopra |
Il motivo: $-f(x)$ cambia il segno di ogni ordinata; $f(-x)$ prende in $x$ il valore che $f$ ha in $-x$; $\lvert f(x)\rvert$ rende positive tutte le ordinate.
Dato il grafico di $f(x) = x^2 - 2x - 3$, descrivi come si ottengono da esso i grafici di: a) $y = -f(x)$ b) $y = f(-x)$ c) $y = |f(x)|$ Disegna poi $y = |f(x)|$…
Dato il grafico di $f(x) = x^2 - 2x - 3$, descrivi come si ottengono da esso i grafici di:
- a) $y = -f(x)$
- b) $y = f(-x)$
- c) $y = |f(x)|$
Disegna poi $y = |f(x)|$ indicando intersezioni con gli assi e vertice.
Trova per quali valori di $k$ l'equazione $|x^2 - 4x + 3| = k$ ha esattamente quattro soluzioni reali distinte. Giustifica con l'analisi del grafico di $y=|x^2-4x+3|$.
Trova per quali valori di $k$ l'equazione $|x^2 - 4x + 3| = k$ ha esattamente quattro soluzioni reali distinte. Giustifica con l'analisi del grafico di $y=|x^2-4x+3|$.
Vuoi sapere se filtro e foto dell'inizio si possono "annullare"? Sì, se i filtri sono biunivoci: allora esiste l'inversa. Un filtro che rende tutto bianco, invece, non è iniettivo e non si può invertire.
In sintesi
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$(f\circ g)(x)=f(g(x))$: prima $g$, poi $f$. L'ordine conta e il dominio richiede $x\in D_g$ con $g(x)\in D_f$.
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Iniettiva: valori diversi a punti diversi; suriettiva: l'immagine è tutto il codominio; biunivoca: entrambe.
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L'inversa esiste se $f$ è biunivoca: si ricava $x$ da $y=f(x)$ e si scambiano i nomi. Il suo grafico è simmetrico a quello di $f$ rispetto a $y=x$.
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Una funzione non iniettiva si rende invertibile restringendo il dominio a un intervallo di monotonia.
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Trasformazioni: $f(x)+k$, $f(x-h)$, $-f(x)$, $f(-x)$, $\lvert f(x)\rvert$.