Funzioni definite a tratti

Data la seguente funzione definita a tratti:

$f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2-3 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

Calcola il valore della funzione nei punti $x = -2$, $x = 0$ e $x = 3$.

Osserva il grafico della funzione $f(x)$ e determina il suo dominio e il suo codominio.

Un parcheggio in centro applica una tariffa di $2$ € per la prima ora di sosta (o frazione). Dalla prima ora in poi, fa pagare $1,50$ € per ogni ora aggiuntiva, calcolando il tempo extra in modo proporzionale ai minuti esatti di sosta. Scrivi la funzione definita a tratti $C(x)$ che rappresenta il costo totale in funzione delle ore $x$ in cui l'auto rimane nel parcheggio.

Associa la seguente descrizione alla struttura di una funzione definita a tratti: "Si accende un forno e la sua temperatura sale in modo costante per 10 minuti fino a raggiungere i 200 °C. Si mantiene a questa temperatura per 40 minuti per cuocere una pizza e, infine, si spegne, e la sua temperatura scende fino alla temperatura ambiente (20 °C) in modo costante in 30 minuti."

Scrivi gli intervalli di tempo che definirebbero i tre tratti della funzione temperatura $T(t)$.

Una compagnia di telefonia mobile offre una tariffa dati che funziona così: si paga una quota fissa mensile di $15$ € che include i primi $5$ GB di download. Se si supera tale limite, ogni gigabyte aggiuntivo (o frazione proporzionale) si paga $2$ €.

Scrivi la funzione $C(x)$ che rappresenta il costo mensile in funzione dei gigabyte $x$ consumati, e calcola quanto pagherà un cliente che ha consumato $3$ GB e un altro che ne ha consumati $8,5$ GB.

Trova il punto di rottura della seguente funzione e determina se è continua in tale punto:

$f(x) = \begin{cases} 3x-2 & \text{si } x < 2 \\ 5-x & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

Rappresenta graficamente sul tuo quaderno la seguente funzione definita a tratti:

$f(x) = \begin{cases} -2 & \text{si } x \le 1 \\ 2x-4 & \text{si } x > 1 \end{cases}$

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Determina il valore del parametro $k$ affinché la seguente funzione definita a tratti sia continua in tutto il suo dominio:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x \le 2 \\ kx + 3 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Data la funzione definita a tratti:

$f(x) = \begin{cases} -x^2+4x & \text{si } x < 3 \\ x-2 & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

Rappresentala graficamente e determina i suoi massimi e minimi relativi, se ne ha.

A partire dal grafico della funzione $g(x)$, determina la sua espressione analitica sapendo che è formata da due semirette.

A partire dal grafico della funzione $h(x)$, composta da un arco di parabola e da una semiretta, trova la sua espressione analitica.

Osserva il seguente grafico della funzione $p(x)$ e determina la sua espressione analitica completa. A partire da essa, indica il suo dominio, il suo codominio e classifica le discontinuità che presenta.

Esprimi la funzione valore assoluto $f(x) = |3x - 6|$ come funzione definita a tratti.

Per esprimere la funzione $g(x) = |2x - 6| + 1$ come funzione definita a tratti, Alberto scrive nel suo compito:

Alberto sostiene che il cambio di tratto avviene sempre in $x = 0$ perché lì i numeri passano da negativi a positivi.

1. a) Spiega con le dovute motivazioni l'errore concettuale di Alberto. Quale espressione deve realmente cambiare di segno per separare i tratti del valore assoluto e per quale valore di $x$ avviene il cambio?
2. b) Scrivi l'espressione corretta di $g(x)$ a tratti e verifica, calcolando i limiti laterali nel punto di cambio di tratto, che la funzione non presenta alcun salto (è continua).

Esprimi la funzione $f(x) = |x - 2| + 3x$ come funzione definita a tratti senza usare il valore assoluto e calcola i valori di $f(0)$ e $f(5)$.

Esprimi la funzione $f(x) = |x + 3| - |2x - 4|$ come funzione definita a tratti, eliminando i valori assoluti, e semplifica l'espressione di ciascuno dei tratti risultanti.

Un treno suburbano parte da una stazione e accelera in modo costante fino a raggiungere una velocità di $20$ m/s in $10$ secondi. Mantiene questa velocità di crociera per $30$ secondi e, infine, frena in modo uniforme fino a fermarsi completamente alla stazione successiva in $5$ secondi. Scrivi la funzione a tratti $v(t)$ che descrive la velocità del treno in funzione del tempo trascorso dalla partenza.

La bolletta della luce di un'abitazione ha un termine fisso di $10$ € mensili. Inoltre, i primi $100$ kWh consumati si pagano a $0,12$ €/kWh. Se si superano i $100$ kWh, l'eccesso di consumo si paga a $0,15$ €/kWh. Scrivi la funzione $F(x)$ che dà l'importo totale della bolletta in funzione dei kWh $x$ consumati.

In un paese fittizio, l'imposta sul reddito si calcola così: sui primi $10\,000$ € di reddito non si pagano imposte ($0$%). Sulla parte eccedente $10\,000$ € e fino a $20\,000$ €, si paga il $10$%. Sulla parte eccedente $20\,000$ €, si paga il $20$%.

Scrivi la funzione definita a tratti $I(x)$ che calcola l'imposta da pagare in funzione del reddito $x$.

Un teatro offre un prezzo d'ingresso di $10$ € se partecipano al massimo $50$ persone. Per incentivare la presenza di gruppi numerosi, per ogni persona che eccede $50$, il prezzo del biglietto per tutti i partecipanti si riduce di $0,10$ €.

Scrivi la funzione degli incassi totali del teatro $I(x)$ in funzione del numero di partecipanti $x$ (come funzione a tratti) e determina quante persone devono partecipare affinché il teatro ottenga l'incasso massimo possibile.

In una località italiana, la bolletta bimestrale dell'acqua per uso domestico è suddivisa in tre scaglioni di consumo per incentivare il risparmio idrico:

• Scaglione 1 (consumo base): fino a $15\text{ m}^3$, si paga una quota fissa di servizio di $6$ € più $0,50$ € per ogni metro cubo consumato.

• Scaglione 2 (consumo medio): tra $15\text{ m}^3$ e $30\text{ m}^3$, i primi $15\text{ m}^3$ si pagano secondo lo scaglione 1 e il volume restante che eccede $15\text{ m}^3$ si fattura a $1,20$ € per ogni metro cubo aggiuntivo.

• Scaglione 3 (consumo elevato): per consumi superiori a $30\text{ m}^3$, i primi $30\text{ m}^3$ si pagano secondo gli scaglioni precedenti e ogni metro cubo aggiuntivo oltre $30\text{ m}^3$ costa $2,50$ €.

1. a) Modella la bolletta scrivendo la funzione $C(x)$ (costo in euro) in funzione del volume $x$ di acqua consumato (in $\text{m}^3$), indicando l'espressione algebrica semplificata per ciascuno dei tre scaglioni: $[0, 15]$, $(15, 30]$ e $(30, +\infty)$.
2. b) Verifica analiticamente mediante i corrispondenti limiti laterali se la funzione $C(x)$ è continua nei punti di cambio di scaglione ($x = 15$ e $x = 30$).
3. c) Quale problema di equità si produrrebbe per gli utenti se l'azienda applicasse direttamente l'intero volume a $1,20$ €/$\text{m}^3$ non appena il consumo superasse $15\text{ m}^3$?

Si vuole progettare il profilo verticale di una rampa per skateboard formata da due tratti che si raccordano nella coordinata orizzontale $x = 2$:

La rampa deve rispettare rigorosamente le seguenti condizioni di progetto:

1. Per $x < 2$, il tratto $f_1(x)$ è una funzione affine (retta) il cui grafico passa per il punto $(-1, 0)$.

2. Per $x \ge 2$, il tratto $f_2(x)$ è una funzione quadratica (parabola) il cui vertice si trova nel punto $(4, 1)$.

3. La pista non può avere gradini: la funzione deve essere continua in $x = 2$, e l'altezza in tale punto di unione è esattamente $f(2) = 5$.

1. a) Trova l'espressione algebrica della parabola $f_2(x)$ a partire dalla forma del suo vertice, $y = a(x - x_v)^2 + y_v$, e dal punto di unione $(2, 5)$.
2. b) Trova l'espressione algebrica della retta $f_1(x)$ determinando il suo coefficiente angolare a partire dai punti per cui deve passare.
3. c) Scrivi la funzione $f(x)$ completa con i suoi domini e verifica formalmente, calcolando $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ e $\lim_{x \to 2^+} f(x)$, che non esiste discontinuità in $x = 2$.

Determina i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché la funzione $f(x)$ sia continua in $x=1$ e passi per il punto $(4, 9)$.

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + b & \text{si } x < 1 \\ 3x - 2 & \text{si } 1 \le x \le 3 \\ ax - b & \text{si } x > 3 \end{cases}$

Una volta trovati $a$ e $b$, verifica matematicamente se la funzione risulta continua anche in $x=3$.

Trova analiticamente i punti di intersezione tra la funzione definita a tratti $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{si } x < 0 \\ -2x + 4 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$ e la retta $y = x + 2$.