Esercizi: Progressioni aritmetiche

Osserva le seguenti sequenze di numeri. Il tuo compito è individuare quali di esse sono progressioni aritmetiche.

Per quelle che lo sono, indica qual è la differenza ($d$) costante tra i loro termini e calcola il numero che occuperebbe la posizione successiva.

1. a) $5, 9, 13, 17, \dots$
2. b) $2, 4, 8, 16, \dots$
3. c) $20, 15, 10, 5, \dots$
4. d) $1, 1, 2, 3, 5, \dots$

In un supermercato stanno allestendo un'esposizione di lattine di pomodoro a forma di piramide triangolare piana contro una parete.

Nella fila superiore (la cima) mettono 1 lattina. Nella fila subito sotto mettono 2 lattine, nella terza fila 3 lattine, e così via, aumentando di una lattina per ogni livello che scendono.

Se la piramide è alta in tutto 8 file:

1. a) Scrivi la successione che rappresenta il numero di lattine in ogni fila.
2. b) Quante lattine ci saranno nell'ultima fila (quella della base)?

Data la seguente progressione aritmetica:

1. Individua il primo termine ($a_1$) e la differenza ($d$).

2. Utilizzando la formula del termine generale $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$, calcola il valore del termine che occupa la posizione 20 ($a_{20}$).

Ioana ha deciso di risparmiare per comprarsi una bicicletta nuova. Nel suo salvadanaio ha già 50 € che le hanno regalato per il compleanno. Ha deciso che, a partire dalla prossima settimana, metterà da parte 5 € della sua paghetta ogni settimana senza saltare.

1. a) Scrivi i risparmi totali che avrà Ioana alla fine della settimana 1, della settimana 2, della settimana 3 e della settimana 4.
2. b) Di che tipo di progressione si tratta e qual è la differenza?
3. c) Calcola quanto denaro avrà accumulato nella settimana 12.

Calcola la somma dei primi 15 termini di una progressione aritmetica sapendo che:

• Il primo termine è $a_1 = 3$.

• L'ultimo termine da sommare è $a_{15} = 45$.

Ricorda di utilizzare la formula della somma di una progressione aritmetica:

In un ristorante si uniscono dei tavoli quadrati per formare un lungo tavolo per una festa.

• Se si usa 1 tavolo isolato, ci stanno 4 persone (una per lato).

• Se si uniscono 2 tavoli, ci stanno 6 persone.

• Se si uniscono 3 tavoli, ci stanno 8 persone.

Osserva il disegno e rispondi:

1. a) Quante persone ci stanno se uniamo 4 tavoli?
2. b) Qual è la differenza costante di persone che ci stanno per ogni tavolo in più che aggiungiamo?
3. c) Calcola quante persone ci starebbero se unissimo una fila di 10 tavoli.

Trova il termine generale ($a_n$) delle seguenti progressioni aritmetiche date dai loro primi termini. Esprimilo nella forma più semplificata possibile (per esempio: $a_n = 3n + 2$).

1. a) $2, 4, 6, 8, \dots$
2. b) $5, 8, 11, 14, \dots$
3. c) $10, 8, 6, 4, \dots$

Una pianta di bambù cresce molto velocemente e in modo costante in condizioni controllate di laboratorio.

Il giorno 1, la pianta è alta 15 cm.

Il giorno 2, la pianta è alta 18 cm.

Sapendo che la sua crescita segue una progressione aritmetica:

1. a) Quanti centimetri cresce la pianta ogni giorno ($d$)?
2. b) Quanto sarà alta la pianta il giorno 7?

In una verifica di terza media si chiede di calcolare il termine che occupa la posizione 12 ($a_{12}$) nella progressione aritmetica decrescente: $18, 14, 10, 6, \dots$

Claudia la risolve sul quaderno nel modo seguente:

«La differenza è $d = 4$ perché i numeri vanno di 4 in 4.

Applico la formula del termine generale: $a_{12} = a_1 + 12 \cdot d = 18 + 12 \cdot 4 = 18 + 48 = 66$.»

1. a) Trova e spiega in dettaglio i due errori concettuali commessi da Claudia nella sua impostazione.
2. b) Correggi l'esercizio passo dopo passo calcolando il valore reale della differenza $d$ e il valore corretto del termine $a_{12}$.
3. c) Senza fare calcoli complessi, perché è evidente che il risultato ottenuto da Claudia ($66$) non ha alcun senso guardando i primi termini della successione?

Immagina di essere tu a progettare gli esercizi per una verifica scritta della tua classe. Devi inventare due progressioni aritmetiche diverse che rispettino una stessa condizione: in entrambe, l'ottavo termine deve valere esattamente 30 ($a_8 = 30$).

1. a) Costruisci una prima progressione che sia crescente e la cui differenza sia un numero pari ($d > 0$). Indica il valore che hai scelto per $d$, calcola il suo primo termine $a_1$ e scrivi l'espressione semplificata del suo termine generale $a_n$.
2. b) Costruisci una seconda progressione che sia decrescente ($d < 0$) e il cui primo termine sia maggiore di 50 ($a_1 > 50$). Mostra i valori scelti per $d$ e $a_1$, e scrivi il suo termine generale $a_n$.
3. c) Verifica numericamente in entrambe le progressioni che, sostituendo $n = 8$ nelle tue formule, si ottiene esattamente 30.

Data la successione aritmetica formata dai numeri: $7, 11, 15, 19, \dots$

1. a) Scrivi la formula del termine generale $a_n$.
2. b) Calcola il valore del termine che occupa la posizione 30 ($a_{30}$).
3. c) Determina quale posizione occupa il numero $127$ in questa successione.

In una progressione aritmetica sappiamo che il terzo termine ($a_3$) vale $12$ e l'ottavo termine ($a_8$) vale $27$.

Calcola la differenza $d$ della progressione e scrivi il valore del primo termine $a_1$.

Saverio sta risparmiando per comprarsi una bicicletta nuova. La prima settimana mette da parte $25$ € nel salvadanaio. Si è proposto di aumentare ogni settimana la somma che mette da parte di $2,50$ € rispetto alla settimana precedente. Cioè, la seconda settimana mette da parte $27,50$ €, la terza $30$ €, e così via.

Se mantiene questo ritmo:

1. a) Quanto denaro dovrà mettere nel salvadanaio la settimana numero 12?
2. b) Quanto denaro avrà accumulato in totale alla fine della settimana 12?

Un auditorium ha le poltrone disposte a forma di trapezio. La prima fila (quella più vicina al palco) ha $15$ posti. Ogni fila successiva ha $2$ posti in più della precedente.

Se l'auditorium ha in tutto $20$ file:

1. a) Quanti posti ha l'ultima fila?
2. b) Qual è la capacità totale (numero totale di poltrone) dell'auditorium?

Calcola la somma di tutti i multipli di $3$ compresi tra $100$ e $200$.

Le misure dei quattro angoli di un quadrilatero formano una progressione aritmetica. Sapendo che l'angolo più piccolo misura $60^{\circ}$, calcola la misura degli altri tre angoli.

Ricorda: La somma degli angoli interni di un quadrilatero è sempre $360^{\circ}$.

In un magazzino stanno impilando dei tubi in PVC formando una struttura triangolare. Nella fila inferiore (la base) hanno messo $18$ tubi. Nella fila immediatamente superiore ne hanno messi $17$, in quella successiva $16$, e così via fino a completare la pila con un unico tubo in cima.

1. a) Quante file di tubi sono state impilate in tutto?
2. b) Quanti tubi ci sono in totale nella struttura?

Vogliamo collocare $5$ pali di segnalazione lungo una strada rettilinea che unisce due paesi situati rispettivamente al chilometro $10$ e al chilometro $28$. I pali devono essere collocati tra i due paesi in modo che la distanza tra un palo e l'altro sia sempre la stessa, e uguale anche alla distanza dal primo paese al primo palo e dall'ultimo palo al secondo paese.

Calcola in quale punto chilometrico esatto deve essere collocato ciascuno dei $5$ pali.

Per preparare la tradizionale corsa di San Silvestro (10 km) a Roma, Matteo pianifica un allenamento di 14 giorni consecutivi. Il primo giorno corre $3\text{ km}$, e ogni giorno decide di aumentare la distanza percorsa di $0,5\text{ km}$ rispetto al giorno precedente ($a_1 = 3$, $d = 0,5$).

1. a) Stima: Prima di calcolare qualsiasi cosa con formule esatte, stima mentalmente se la distanza totale accumulata nei 14 giorni supererà $80\text{ km}$. Per motivare la tua stima, pensa alla distanza approssimativa che correrà a metà del piano (per esempio, il giorno 7) e moltiplicala per i 14 giorni. Spiega perché questo prodotto approssima bene la somma totale.
2. b) Calcola: Determina la distanza esatta che correrà l'ultimo giorno ($a_{14}$) e, applicando la formula della somma di una progressione aritmetica $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$, calcola i chilometri totali che avrà percorso alla fine dei 14 giorni.
3. c) Verifica e valuta: Confronta la tua stima iniziale con il risultato esatto. La tua previsione era corretta? Quale relazione matematica c'è tra il valore del giorno intermedio e la media tra il primo e l'ultimo termine $\frac{a_1 + a_{14}}{2}$?

Secondo i dati dei servizi meteorologici, in un'atmosfera stabile la temperatura diminuisce in modo approssimativamente costante di $0,65\,^\circ\text{C}$ ogni $100\text{ m}$ di aumento di altitudine (gradiente termico verticale). In una giornata primaverile serena, alle 11:00 si registra una temperatura di $14,2\,^\circ\text{C}$ in un paese di montagna delle Alpi, situato a $1500\text{ m}$ di altitudine. Si stabiliscono punti di controllo altimetrici ogni $100\text{ m}$ di salita verso la vetta: il punto 1 è a $1500\text{ m}$ ($a_1 = 14,2$), il punto 2 a $1600\text{ m}$, il punto 3 a $1700\text{ m}$, ecc.

1. a) Modella la temperatura dei punti di controllo come una progressione aritmetica: individua il valore della differenza $d$ e scrivi la formula del termine generale $a_n$ in funzione del numero del punto di controllo $n$.
2. b) Il rifugio si trova a un'altitudine di $2500\text{ m}$. Quale numero di punto di controllo $n$ gli corrisponde e quale temperatura si registrerà lì alla stessa ora?
3. c) Su questo stesso versante, a quale altitudine esatta si raggiungerebbe la temperatura di congelamento ($0\,^\circ\text{C}$)? Giustifica con un ragionamento se questa quota coincide esattamente con uno dei punti di controllo della progressione o si trova tra due di essi.

Un parco avventura vuole installare una nuova teleferica da divertimento. Il progetto della struttura forma un triangolo rettangolo come mostrato nella figura. L'ingegnere ha stabilito che le lunghezze dei tre lati del triangolo (la base a terra, il palo verticale e il cavo della teleferica) devono formare una progressione aritmetica.

Se sappiamo che la differenza di tale progressione è $6\text{ m}$ (cioè ogni lato misura 6 metri più del precedente), calcola:

1. La lunghezza di ciascuno dei tre lati.

2. La lunghezza totale di cavo e materiale necessaria per formare il perimetro del triangolo.

(Suggerimento: Ricorda il teorema di Pitagora $a^2 + b^2 = c^2$ e imposta i lati in funzione della differenza).

In un magazzino di forniture idrauliche, i tubi in PVC vengono impilati formando una struttura trapezoidale per risparmiare spazio e mantenere l'equilibrio.

Nella fila inferiore (la base) ci sono 35 tubi. Nella fila superiore (la cima) ci sono 5 tubi. Ogni fila ha un tubo in meno rispetto alla fila immediatamente sotto.

1. Quante file è alta la pila?

2. Quanti tubi in PVC sono immagazzinati in totale in questa struttura?

Gli angoli interni di un pentagono convesso (poligono di 5 lati) sono in progressione aritmetica.

Sappiamo che la somma degli angoli interni di un poligono si calcola con la formula $(n-2) \cdot 180^{\circ}$, dove $n$ è il numero di lati. Se l'angolo minore del pentagono misura $72^{\circ}$:

1. Calcola la differenza $d$ della progressione.

2. Determina quanto misura l'angolo maggiore.

3. Scrivi la misura dei cinque angoli.

Una ciclista si sta allenando per una gara e segue un piano di allenamento progressivo di 14 giorni.

Il piano stabilisce che ogni giorno deve percorrere una determinata distanza, aumentandola di una quantità fissa di chilometri rispetto al giorno precedente.

Sappiamo che:

• Il terzo giorno ($a_3$) ha percorso 24 km.

• L'ultimo giorno ($a_{14}$) ha percorso 79 km.

Rispondi motivando:

1. Quanti chilometri ha percorso il primo giorno?

2. Qual è l'incremento giornaliero di distanza ($d$)?

3. Calcola la distanza totale accumulata che avrà percorso alla fine dei 14 giorni di allenamento.

Tre numeri formano una progressione aritmetica. Sappiamo che la loro somma è uguale a 33 e che il loro prodotto è uguale a 1287.

Imposta un sistema di equazioni utilizzando le proprietà delle progressioni aritmetiche (puoi chiamare i termini $x-d$, $x$ e $x+d$ per semplificare) e trova il valore di questi tre numeri.

La platea di un auditorium musicale ha la forma di un trapezio isoscele. A causa di questa forma, ogni fila ha più posti della precedente.

• La prima fila (la più vicina al palco) ha 20 poltrone.

• L'auditorium ha in tutto 780 poltrone.

• Ogni fila ha 2 poltrone in più della fila immediatamente precedente.

Utilizzando le formule della somma di una progressione aritmetica ($S_n$), imposta un'equazione di secondo grado per scoprire quante file ($n$) ha in tutto l'auditorium.

Si vuole installare un guardrail di sicurezza lungo una strada rettilinea. I paletti del guardrail devono essere collocati a distanze regolari formando una progressione aritmetica.

Sappiamo che:

• Il paletto numero 11 si trova al punto chilometrico 5,4.

• La distanza tra il paletto numero 5 e il paletto numero 20 è di 450 metri ($0,45\text{ km}$).

Calcola:

1. La distanza di separazione tra un paletto e l'altro (differenza della progressione).

2. In quale punto chilometrico sarà collocato il primo paletto.

Un'azienda tecnologica offre a un ingegnere due tipi di contratto salariale per un progetto di 5 anni (60 mesi):

• Opzione A: Uno stipendio iniziale di $1500\text{ €}$ mensili, con un aumento di $20\text{ €}$ ogni mese rispetto al mese precedente (progressione aritmetica mensile).

• Opzione B: Uno stipendio fisso di $24.000\text{ €}$ il primo anno, con un aumento annuale di $3.000\text{ €}$ ogni anno successivo (progressione aritmetica annuale).

Calcola il totale del denaro guadagnato nei 5 anni completi con ciascuna opzione e determina qual è la più conveniente dal punto di vista economico per l'ingegnere. (Nota: nell'opzione A devi sommare 60 termini; nell'opzione B devi sommare 5 termini annuali).

In una progressione aritmetica non conosciamo né il primo termine né la differenza, ma sappiamo che il sesto termine è 19 ($a_6 = 19$) e il quindicesimo termine è 64 ($a_{15} = 64$). Dobbiamo trovare il termine che occupa la posizione 40 ($a_{40}$).

Due studenti di terza media propongono due strategie diverse:

• Metodo di Sergio: Impostare il sistema di due equazioni in due incognite formato da $a_1 + 5d = 19$ e $a_1 + 14d = 64$, risolverlo per trovare $a_1$ e $d$, e poi calcolare $a_{40} = a_1 + 39d$.

• Metodo di Laura: Rendersi conto che per passare dal termine 6 al 15 si fanno 9 passi: $a_{15} = a_6 + 9d$. Ricavare $d$ direttamente da quest'unica equazione e, successivamente, calcolare $a_{40}$ procedendo da $a_{15}$ con la formula $a_{40} = a_{15} + (40 - 15) \cdot d$, senza calcolare $a_1$.

1. a) Risolvi il problema seguendo i passaggi del metodo di Sergio fino a trovare $a_{40}$.
2. b) Risolvi il problema seguendo i passaggi del metodo di Laura e verifica se si arriva alla stessa soluzione.
3. c) Confronta i due metodi: quale ritieni più efficiente e con minor rischio di commettere errori di calcolo? Giustifica la tua risposta.
4. d) Se il problema chiedesse inoltre di calcolare la somma dei primi 40 termini ($S_{40}$), il metodo di Laura sarebbe ancora più breve oppure l'impostazione di Sergio risulterebbe vantaggiosa? Spiega perché.

Un'azienda di consegna di pacchi urbana a Roma rinnova la propria flotta con furgoni elettrici con un contratto di noleggio a lungo termine di 24 mesi (2 anni). Il primo mese di utilizzo, un furgone percorre $3200\text{ km}$ ($a_1 = 3200$). A causa del progressivo invecchiamento delle batterie e della manutenzione, l'azienda ipotizza che ogni mese il furgone percorra una quantità fissa di chilometri in meno rispetto al mese precedente, descrivendo una progressione aritmetica decrescente di differenza $d$.

1. a) L'azienda stabilisce che, per redditività logistica, i chilometri dell'ultimo mese del contratto (mese 24) non debbano essere inferiori a $2050\text{ km}$ ($a_{24} \ge 2050$). Determina qual è la massima riduzione mensile ammissibile (il valore limite della differenza $d$).
2. b) Supponendo che la riduzione mensile sia esattamente la differenza limite trovata nel punto precedente, calcola la distanza totale accumulata che il furgone avrà percorso durante i 24 mesi del contratto ($S_{24}$).
3. c) In una riunione della direzione, un responsabile propone un obiettivo commerciale alternativo: «Mantenendo la partenza di $3200\text{ km}$ nel mese 1, dobbiamo far sì che il furgone accumuli un totale di almeno $80\,000\text{ km}$ nei 24 mesi, permettendo che i chilometri diminuiscano di mese in mese ($d < 0$)». Dimostra matematicamente, a partire dalle proprietà della somma di una progressione aritmetica, se la proposta di questo responsabile è possibile o matematicamente irrealizzabile.