Diagrammi di dispersione e correlazione

Osserva i seguenti diagrammi di dispersione rappresentati di seguito. Identifica in ciascun caso se la correlazione è positiva, negativa o nulla.

Associa ciascuna delle seguenti coppie di variabili al tipo di diagramma di dispersione che ti aspetteresti di ottenere (crescente, decrescente o senza forma definita):

1. a) Il numero di chilometri percorsi da un'auto e il carburante che rimane nel serbatoio.
2. b) L'altezza di un gruppo di adolescenti e il loro voto nel compito di Italiano.
3. c) Le ore di allenamento di un atleta e il suo record personale nei 100 metri piani.
4. d) La temperatura esterna in estate e il consumo di energia dei condizionatori.

Un gruppo di ricercatori vuole studiare se esiste una relazione tra il tempo settimanale che gli adolescenti dedicano agli schermi per il tempo libero (televisione, cellulare o console) e il loro rendimento scolastico. A tale scopo hanno selezionato un campione di 8 studenti e raccolto i seguenti dati:

1. a) Rappresenta sul quaderno il diagramma di dispersione associato a questa distribuzione bidimensionale (ore di schermo sull'asse orizzontale e voto medio sull'asse verticale).

1. b) Osservando il tuo grafico, che tipo di correlazione sembra esistere tra le due variabili (diretta o inversa)? Giustifica se ritieni che la relazione sia forte o debole.

Osserva il seguente diagramma di dispersione che rappresenta la relazione tra le ore di allenamento settimanale ($X$) e i punti segnati in una stagione da un gruppo di giocatori di basket ($Y$).

Basandoti sulla forma della nuvola di punti, rispondi:

1. a) La relazione è diretta o inversa?
2. b) Come valuteresti l'intensità della correlazione: forte o debole?
3. c) Quale segno ti aspetti che abbia la covarianza $\sigma_{xy}$ per questi dati?

Confrontiamo due diagrammi di dispersione rappresentati nei grafici seguenti. Entrambi mostrano una relazione diretta tra le variabili.

1. a) In quale dei due grafici i punti sono più vicini a una possibile retta di regressione?
2. b) Quale dei due avrà un coefficiente di correlazione $r$ più vicino a $1$?
3. c) Se nel grafico A il valore di $r$ è $1$, quale valore ragionevole (tra $0$ e $1$) potresti assegnare al grafico B?

Sono stati misurati il peso ($X$) e l'altezza ($Y$) dei giocatori di una squadra di basket. Il diagramma di dispersione mostra una forma molto allungata e stretta che segue una direzione crescente.

Che cosa ci indica il fatto che la nuvola sia "stretta" riguardo all'intensità della correlazione? Come chiameremmo la relazione tra peso e altezza in questo caso (diretta o inversa)?

Dati i seguenti quattro diagrammi di dispersione associati a diversi fenomeni sociali, assegna in modo argomentato a ciascuno uno di questi coefficienti di correlazione: $r_1 = 0,95$, $r_2 = -0,80$, $r_3 = 0,05$ e $r_4 = -0,10$.

Argomenta la tua scelta basandoti sulla dispersione rispetto a una possibile retta e sul verso dell'inclinazione dei punti.

Il verso della relazione tra due variabili ci indica come varia una quando cambia l'altra. Determina se esiste una correlazione positiva, una correlazione negativa o se le variabili sono incorrelate nei seguenti casi:

1. a) Il numero di assenze a scuola e il voto finale dell'anno.
2. b) Il numero di scarpe di una persona e la sua media in Matematica.
3. c) La temperatura esterna in estate e il consumo di energia dei condizionatori.
4. d) Gli anni di anzianità di un telefono cellulare e il suo prezzo di rivendita sul mercato dell'usato.

La covarianza $\sigma_{xy}$ ci informa sul verso della variazione congiunta di due variabili. Senza eseguire tutti i calcoli complessi, osserva i seguenti dati che mettono in relazione la temperatura di una bibita ($X$, in $^\circ C$) e il tempo che è stata fuori dal frigorifero ($Y$, in minuti):

1. a) Al passare del tempo, la temperatura tende ad aumentare o a diminuire?
2. b) In base alla risposta precedente, giustifica se la covarianza sarà positiva, negativa o nulla.

Il coefficiente di correlazione di Pearson, $r$, è una misura adimensionale che varia in un intervallo determinato. Tra i seguenti valori, indica quali non sono possibili per un coefficiente di correlazione e spiega perché:

1. a) $r = 0,85$
2. b) $r = -1,2$
3. c) $r = 2,5$
4. d) $r = -0,4$
5. e) $r = 0$

Indica se le seguenti affermazioni sui diagrammi di dispersione sono vere o false:

1. a) Se tutti i punti della nuvola si trovano esattamente su una retta crescente, la correlazione è perfetta e positiva ($r = 1$).
2. b) Una nuvola di punti di forma circolare indica una correlazione molto forte.
3. c) In un diagramma di dispersione, la variabile indipendente si rappresenta sempre sull'asse delle ordinate ($Y$).
4. d) Il diagramma di dispersione permette di visualizzare rapidamente se esiste una relazione tra due variabili numeriche.

In statistica è fondamentale distinguere tra una relazione che si può calcolare con una formula esatta e una che mostra soltanto una tendenza. Indica se la relazione tra le seguenti coppie di variabili è funzionale o statistica (correlazione):

1. a) Il numero di ore che uno studente del terzo anno di liceo passa giocando ai videogiochi e il suo voto nel compito di Economia.
2. b) La lunghezza del lato di un quadrato e il suo perimetro.
3. c) I litri di benzina che si mettono in un'auto e l'importo totale da pagare al distributore.
4. d) L'altezza di un adolescente e il suo peso corporeo.

Date le seguenti coppie di variabili, indica per quali di esse avrebbe senso costruire un diagramma di dispersione per analizzarne la relazione. Giustifica la tua decisione in ciascun caso:

1. Il nome degli alunni della classe e la loro altezza.

2. Il numero di ore di studio e il voto in un compito.

3. Il colore degli occhi e il genere di una persona.

4. Il prezzo di un'auto usata e i suoi chilometri percorsi.

La seguente tabella mostra la distanza percorsa ($X$, in km) e il tempo impiegato ($Y$, in min) da un ciclista nelle sue uscite di allenamento:

1. a) Disegna il diagramma di dispersione.
2. b) Traccia a mano libera la retta che meglio si adatta ai punti (retta di regressione).
3. c) Utilizzando la retta che hai disegnato, stima quanto tempo impiegherebbe il ciclista a percorrere 45 km. Ritieni che questa stima sia affidabile?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

È stato condotto uno studio sulla relazione tra il numero di libri letti all'anno ($X$) e il punteggio in un test di comprensione del testo ($Y$) in un gruppo di studenti. Il diagramma di dispersione risultante è mostrato di seguito:

1. a) Indica se esiste una dipendenza funzionale o una dipendenza statistica. Spiega la differenza tra i due concetti usando questo esempio.
2. b) Classifica la correlazione in base al suo segno e alla sua intensità (forte, moderata o debole).
3. c) Potremmo affermare che "leggere più libri causa necessariamente un voto migliore"? Spiega la differenza tra correlazione e causalità.

Un biologo misura l'altezza di una specie di pianta esotica ($Y$, in cm) in funzione della quantità di fertilizzante azotato applicato ($X$, in mg). Osserva che, all'inizio, l'altezza aumenta rapidamente con il fertilizzante, ma a partire da una certa quantità la pianta si satura e l'altezza si stabilizza o addirittura diminuisce leggermente a causa della tossicità.

1. Analizza il diagramma di dispersione e stabilisci se un modello di regressione lineare sarebbe adeguato a descrivere questa relazione in tutto il dominio di $X$.

2. Se il biologo calcola il coefficiente di correlazione di Pearson per tutti i dati e ottiene un valore vicino a $0$, significa che le variabili sono indipendenti? Giustifica la risposta basandoti sulla forma della nuvola.

È stato ottenuto il seguente diagramma di dispersione che mette in relazione il consumo mensile di energia elettrica di un'abitazione ($X$, in kWh) con la temperatura media esterna di quel mese ($Y$, in $^\circ C$).

1. Descrivi la relazione tra le variabili. È una relazione lineare in tutto il suo intervallo?

2. Giustifica perché il coefficiente di determinazione $R^2$ per un adattamento lineare sarebbe molto basso nonostante esista una relazione evidente tra le variabili.

3. Proponi un modo per suddividere lo studio di questo diagramma di dispersione in modo da poter applicare efficacemente tecniche di regressione lineare.

Spiega in modo argomentato perché i seguenti dati non potrebbero essere rappresentati correttamente mediante un diagramma di dispersione nel contesto della statistica bidimensionale:

Si sospetta che esista una relazione tra il numero di assenze a scuola ($X$) e il voto finale del trimestre ($Y$). I dati di una classe sono stati rappresentati nel seguente diagramma:

Nel grafico compare un punto di colore rosso che si discosta chiaramente dalla tendenza generale del gruppo. Come si chiama questo tipo di punti in statistica e che cosa potrebbe significare in questo contesto reale?

Un influencer analizza la relazione tra il numero di ore che dedica al montaggio di un video ($X$) e il numero di "like" che riceve nelle prime 24 ore ($Y$, in migliaia). Dopo aver pubblicato 10 video, ottiene un diagramma di dispersione molto stretto e crescente, tranne per un video che, dopo sole 1 ora di montaggio, ha ottenuto un numero enorme di "like" a causa di una sfida virale.

1. a) Come si chiama tecnicamente quel punto che si allontana dalla tendenza generale della nuvola?
2. b) Se l'influencer decide di eliminare questo dato particolare dal suo studio, che cosa accadrebbe al valore assoluto del coefficiente di correlazione $r$? Aumenterebbe o diminuirebbe? Giustifica la risposta.
3. c) La relazione tra le variabili diventerebbe più o meno lineare dopo aver eliminato quel punto?

In uno studio di demografia urbana si rappresentano sull'asse $X$ la densità di popolazione (ab/$km^2$) e sull'asse $Y$ il prezzo medio dell'affitto ($€/m^2$). Il diagramma di dispersione ottenuto presenta una struttura molto particolare: due gruppi di punti chiaramente distinti ("cluster"). Il gruppo 1 corrisponde ai quartieri periferici e il gruppo 2 ai quartieri del centro storico.

1. Se all'interno di ciascun gruppo preso separatamente la correlazione è positiva e forte, ma considerando tutti i punti insieme la nuvola sembra non avere una tendenza chiara, quali problemi incontreremmo cercando di calcolare un unico coefficiente di correlazione di Pearson per tutta la città?

2. Spiega come l'esistenza di variabili qualitative nascoste (come il tipo di quartiere) possa "ingannare" l'interpretazione di un diagramma di dispersione bidimensionale.

Un gruppo di ricercatori analizza la relazione tra il tempo settimanale dedicato ai videogiochi di strategia (variabile $X$, in ore) e il punteggio ottenuto in un test di ragionamento logico (variabile $Y$, da 0 a 100). I dati di 10 adolescenti mostrano una correlazione lineare positiva molto forte, a eccezione di un individuo che dedica 25 ore settimanali e ottiene solo 10 punti nel test.

Basandoti sulla rappresentazione grafica:

1. Spiega in modo argomentato come il punto $P$ influisce sul valore del coefficiente di correlazione di Pearson $r$ e sul coefficiente angolare della futura retta di regressione.

2. Se eliminassimo il punto $P$, potremmo affermare che esiste una relazione di causalità tra il giocare ai videogiochi e il ragionamento logico? Giustifica la risposta analizzando la natura delle variabili.

Considera un diagramma di dispersione con una correlazione lineare positiva molto forte ($r = 0,98$). Supponiamo di trasformare tutti i valori della variabile $X$ mediante l'operazione $X' = X + 50$ e tutti i valori della variabile $Y$ mediante $Y' = 3 \cdot Y$.

1. Descrivi quali cambiamenti subirebbe la nuvola di punti nel piano (traslazione, deformazione, cambio di scala).

2. Stabilisci, senza eseguire calcoli, se il nuovo coefficiente di correlazione $r'$ sarà maggiore, minore o uguale all'originale $r$.

3. L'affidabilità delle previsioni cambierebbe se usassimo il nuovo diagramma trasformato? Spiega perché.

Si studia la relazione tra l'investimento in pubblicità sui social network ($X$, in migliaia di euro) e il numero di nuovi iscritti ($Y$, in centinaia) per due diverse applicazioni mobili, "App A" e "App B". I diagrammi di dispersione ottenuti mostrano che entrambe hanno un investimento medio di $\bar{x} = 5$ e un numero medio di iscritti di $\bar{y} = 12$. Tuttavia, l'App A presenta una nuvola molto dispersa di forma circolare, mentre l'App B presenta una nuvola molto stretta e allungata con pendenza negativa.

1. Disegna uno schizzo di entrambi i diagrammi di dispersione nello stesso sistema di assi, distinguendoli con colori o simboli.

2. Confronta i coefficienti di correlazione $r_A$ e $r_B$. In quale caso è più affidabile fare una previsione del numero di iscritti basandosi sull'investimento?

3. Che cosa significherebbe, nel contesto del marketing, che l'App B abbia una pendenza negativa?

Uno psicologo dello sport studia la relazione tra il livello di attivazione pre-partita (ansia, variabile $X$) e il rendimento nei tiri liberi dei giocatori di basket (percentuale di realizzazione, variabile $Y$). La letteratura suggerisce che esista un "livello ottimale" di attivazione: se è molto basso, il giocatore è apatico; se è molto alto, è bloccato.

1. Disegna un diagramma di dispersione ipotetico che rifletta questa situazione (nota come legge di Yerkes-Dodson).

2. Se un analista di dati calcolasse la covarianza $s_{xy}$ di questa nuvola e ottenesse un valore vicino a zero, sarebbe corretto concludere che il livello di ansia non influisce sul rendimento? Giustifica la risposta analizzando la geometria del diagramma che hai disegnato.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.