Angoli, corde, tangenti e misure

Lunghezza della circonferenza e area del cerchio

Prendi una ruota, un cerchio di carta, un piatto: misura il bordo con uno spago e dividilo per il diametro. Otterrai sempre un numero vicino a $3{,}14$, qualunque sia la grandezza del cerchio. Questo rapporto costante si chiama $\pi$.

La prima formula segue dalla definizione di $\pi$, perché $C = \pi d = \pi \cdot 2r$. Per la seconda, Archimede approssimava il cerchio con poligoni regolari inscritti e circoscritti con sempre più lati: il loro perimetro e la loro area si avvicinano a $2\pi r$ e a $\pi r^2$. Quando scrivi «in funzione di $\pi$» lascia il simbolo $\pi$ nel risultato: è il valore esatto, mentre $3{,}14$ è solo un'approssimazione.

Angoli al centro e alla circonferenza

Un angolo al centro ha il vertice nel centro $O$. Un angolo alla circonferenza ha il vertice su un punto $V$ della circonferenza e i lati secanti (o tangenti) la circonferenza. Entrambi insistono su un arco, quello compreso tra i lati.

Conseguenze, tutte da ricordare:

• Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono congruenti (hanno tutti la metà dello stesso angolo al centro).

• Un angolo alla circonferenza che insiste su una semicirconferenza è retto: infatti l'angolo al centro corrispondente è piatto ($180^\circ$) e la sua metà è $90^\circ$. Quindi un triangolo inscritto con un lato uguale al diametro è rettangolo.

Perché il teorema è vero? Nel caso in cui il centro stia dentro l'angolo, traccia il raggio $OV$. I triangoli $OVA$ e $OVB$ sono isosceli (due lati sono raggi). L'angolo esterno in $O$ di un triangolo è la somma dei due angoli interni non adiacenti, uguali tra loro nel triangolo isoscele, quindi ciascun angolo al centro è il doppio dell'angolo in $V$ corrispondente. Sommando le due parti si ottiene $\widehat{AOB} = 2\,\widehat{AVB}$.

Quadrilateri inscritti

Un quadrilatero è inscritto se i suoi vertici stanno su una circonferenza.

Corde e distanza dal centro

Una corda è un segmento che unisce due punti della circonferenza; il diametro è la corda più lunga. La distanza di una corda dal centro è la lunghezza del segmento perpendicolare condotto da $O$ alla corda.

Perché? Il triangolo $OAB$ è isoscele ($OA = OB = r$): l'altezza $OM$ relativa alla base è anche mediana. Nel triangolo rettangolo $OMB$ vale il teorema di Pitagora: $MB^2 = r^2 - d^2$.

Tangenti

Una retta e una circonferenza possono essere secanti (2 punti in comune), tangenti (1 punto) o esterne (nessuno). Il caso tangente è il più ricco di proprietà.

Perché? I triangoli $OT_1P$ e $OT_2P$ sono rettangoli, hanno l'ipotenusa $OP$ in comune e i cateti $OT_1 = OT_2 = r$. Sono quindi congruenti, dunque $PT_1 = PT_2$. Il segmento $OP$ è anche bisettrice dell'angolo $\widehat{T_1 P T_2}$.

Quadrilateri circoscritti

Un quadrilatero è circoscritto a una circonferenza se i suoi lati sono tutti tangenti ad essa.

Tangente comune a due circonferenze

Due circonferenze tangenti esternamente (cioè con un solo punto in comune, una fuori dall'altra) hanno la distanza tra i centri $d = R + r$. Una tangente comune esterna le tocca in $T_1$ e $T_2$. Traccia da $O'$ (centro della più piccola) la parallela a $T_1T_2$ fino a incontrare $OT_1$ in $H$: $O'T_2T_1H$ è un rettangolo e $OH = R - r$. Nel triangolo rettangolo $OHO'$:

Triangolo rettangolo: circonferenza circoscritta e inscritta

Ogni triangolo ha una circonferenza circoscritta (centro nel circocentro, intersezione degli assi dei lati) e una inscritta (centro nell'incentro, intersezione delle bisettrici). Nel triangolo rettangolo i raggi si calcolano facilmente.

Perché? L'angolo retto $\widehat{C}$ è un angolo alla circonferenza: insiste su un arco di $180^\circ$, perciò l'ipotenusa $AB$ è un diametro (teorema visto sopra, letto al contrario).

Perché? Il raggio verso i due cateti forma, con i cateti stessi e i raggi, un quadrato di lato $r$ che ha un vertice nell'angolo retto. I segmenti di tangente dal vertice retto valgono quindi $r$; dai vertici $A$ e $B$ valgono $b - r$ e $a - r$. L'ipotenusa è somma dei suoi due segmenti di tangente: $c = (b - r) + (a - r)$, da cui $r = \frac{a+b-c}{2}$.

In sintesi

• $C = 2\pi r$ e $A = \pi r^2$; $\pi$ è il rapporto tra circonferenza e diametro. Vuoi 500 giri? Dipende dal raggio: la ruota da $30$ cm li compie in $942$ m.

• Un angolo alla circonferenza è la metà dell'angolo al centro sullo stesso arco; sulla semicirconferenza è retto.

• Un quadrilatero è inscrivibile se e solo se gli angoli opposti sono supplementari.

• La perpendicolare dal centro a una corda la dimezza: $AB = 2\sqrt{r^2 - d^2}$.

• La tangente è perpendicolare al raggio; i due segmenti di tangente da un punto esterno sono uguali; in un quadrilatero circoscritto vale $AB + CD = BC + AD$.

• Tangente comune esterna di due circonferenze tangenti esternamente: $2\sqrt{Rr}$. Triangolo rettangolo: $R = c/2$, $r = (a + b - c)/2$.

Vuoi allenarti ancora? Ecco altri esercizi sull'argomento.