Altri tipi di equazioni

Risolvi la seguente equazione biquadratica effettuando la sostituzione $x^2 = t$:

$x^4 - 10x^2 + 9 = 0$

Trova tutte le soluzioni reali della seguente equazione biquadratica incompleta raccogliendo a fattor comune:

$2x^4 - 32x^2 = 0$

Si vuole costruire un'equazione biquadratica della forma $x^4 + bx^2 + c = 0$ che soddisfi contemporaneamente due condizioni:

1. Le sue uniche soluzioni reali devono essere $x = 3$ e $x = -3$.

2. Applicando la sostituzione $t = x^2$, l'equazione di secondo grado risultante nella variabile $t$ deve avere due soluzioni reali distinte: $t_1$ e $t_2$.

1. a) Ragiona su quale segno e quale valore numerico esatto deve avere una delle soluzioni di $t$ e quale segno deve avere obbligatoriamente l'altra soluzione perché non fornisca altre radici reali per l'incognita $x$.
2. b) Scegli un valore numerico per quella seconda soluzione di $t$ e scrivi l'equazione biquadratica completa $x^4 + bx^2 + c = 0$ che ne risulta, verificando che soddisfi le condizioni richieste.

Risolvi la seguente equazione biquadratica e indica chiaramente quali sono le sue soluzioni reali e perché le altre vengono scartate:

$x^4 - 2x^2 - 8 = 0$

L'area di un rettangolo è $6 \text{ cm}^2$. Sapendo che la sua base misura $x^2 + 2$ cm e la sua altezza $x^2 - 3$ cm, imposta un'equazione biquadratica per trovare il valore di $x$ (con $x > 0$) e determina le dimensioni reali del rettangolo.

La distanza $d$ (in metri) che percorre un'auto da quando preme il freno fino a fermarsi si può approssimare con la formula $d = \frac{v^2}{20}$, dove $v$ è la velocità in m/s. Se un'auto lascia segni di frenata lunghi $45$ m, a che velocità viaggiava?

La diagonale di una cornice rettangolare di legno misura $\sqrt{10}$ cm. Se uno dei suoi lati misura $x$ cm e l'altro misura $\frac{3}{x}$ cm, imposta un'equazione razionale, trasformala in un'equazione biquadratica e calcola le dimensioni della cornice.

Risolvi la seguente equazione razionale moltiplicando tutti i termini per $x$ per eliminare il denominatore:

$\frac{12}{x} = x - 4$

Trova il valore di $x$ che verifica la seguente semplice equazione razionale:

$\frac{x+3}{x-1} = 2$

Risolvi la seguente equazione razionale riducendo allo stesso denominatore. Presta particolare attenzione alle possibili soluzioni che annullano qualche denominatore:

$\frac{x}{x-2} + \frac{3}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}$

Un ciclista va in un paese vicino a una velocità di $20 \text{ km/h}$ e torna per la stessa strada a una velocità di $x \text{ km/h}$. La velocità media dell'intero percorso di andata e ritorno è data dalla formula $v_m = \frac{2 \cdot 20 \cdot x}{20 + x}$. Se la velocità media totale è stata $24 \text{ km/h}$, imposta un'equazione razionale e calcola la velocità di ritorno $x$.

Considera l'equazione razionale $\frac{12}{x} - \frac{12}{x + 2} = 1$.

1. a) Prima di operare, fai una stima ragionata per cercare una soluzione positiva $x > 0$:

• Se $x = 2$, calcola a mente il valore di $\frac{12}{x} - \frac{12}{x + 2}$ e confrontalo con $1$.

• Se $x = 6$, calcola a mente il valore della stessa espressione e confrontalo con $1$.

• Sulla base di queste due prove, deduci e giustifica tra quali due numeri interi deve trovarsi la soluzione positiva.

1. b) Risolvi formalmente l'equazione eliminando i denominatori mediante il minimo comune multiplo, verifica se la tua stima è confermata e determina tutte le soluzioni reali dell'equazione, indicando quali valori di $x$ erano esclusi fin dall'inizio.

Una cisterna d'acqua per l'irrigazione si può riempire usando due rubinetti diversi. Il primo rubinetto impiega $x$ ore a riempirla da solo e il secondo rubinetto, che ha una portata minore, impiega $x+3$ ore. Se si aprono entrambi contemporaneamente, la cisterna si riempie in esattamente $2$ ore. Imposta un'equazione razionale e determina quanto impiega ciascun rubinetto separatamente.

Un gruppo di amici affitta una casa in campagna per il fine settimana per un totale di $120$ €. All'ultimo momento si aggiungono al viaggio altri $2$ amici, per cui ciascuno di quelli che dovevano partire inizialmente paga $3$ € in meno. Se $x$ è il numero iniziale di amici, imposta un'equazione razionale e scopri quanti amici sono andati alla fine nella casa in campagna.

Un treno regionale di Trenitalia effettua un viaggio di andata e ritorno tra due città distanti $60\text{ km}$. All'andata, a causa di una limitazione temporanea di velocità per lavori di manutenzione sulla linea, il treno viaggia a una velocità media di $v - 20\text{ km/h}$, dove $v$ è la sua velocità media abituale. Nel viaggio di ritorno, ormai senza restrizioni, viaggia alla sua velocità abituale $v\text{ km/h}$. Si sa che il viaggio di andata è durato esattamente 15 minuti ($0,25\text{ ore}$) in più del viaggio di ritorno.

1. a) Imposta un'equazione razionale che descriva la situazione a partire dalla relazione tra tempo, distanza e velocità, indicando il significato di ciascun termine e le restrizioni che la realtà fisica impone sul valore di $v$.
2. b) Risolvi l'equazione per calcolare il valore della velocità abituale $v$ e la velocità effettiva a cui ha viaggiato all'andata.
3. c) Calcola il tempo totale in cui il treno è stato in movimento durante l'intero percorso (andata e ritorno), esprimendo il risultato in ore e minuti.

Risolvi l'equazione irrazionale isolando il radicale ed elevando al quadrato entrambi i membri:

$\sqrt{3x + 4} = 5$

Determina i valori di $x$ che soddisfano la seguente equazione con radicali. Ricorda che devi verificare le soluzioni alla fine per scartare eventuali soluzioni false:

$\sqrt{x + 2} = x$

Daniele deve risolvere in classe l'equazione con radicali $\sqrt{2x + 5} = x - 5$. Per eliminare la radice, eleva al quadrato entrambi i membri e ottiene $2x + 5 = x^2 - 10x + 25$. Dopo aver semplificato e portato tutti i termini a un membro, arriva a $x^2 - 12x + 20 = 0$. Applica la formula risolutiva e trova due soluzioni: $x = 10$ e $x = 2$. Molto convinto, scrive nel compito che entrambe sono soluzioni dell'equazione iniziale.

1. a) Spiega quale proprietà logica viene meno elevando al quadrato entrambi i membri di un'uguaglianza e perché questo passaggio può introdurre «soluzioni false».
2. b) Senza risolvere di nuovo l'equazione quadratica, verifica numericamente i due valori nell'equazione originale $\sqrt{2x + 5} = x - 5$ e indica quale è l'unica soluzione valida, spiegando perché l'altra va scartata.

Risolvi l'equazione irrazionale isolando una delle radici ed elevando al quadrato. Ricorda di verificare la soluzione ottenuta:

$\sqrt{x+4} - \sqrt{x-1} = 1$

In un pezzo di lamiera a forma di triangolo rettangolo, un cateto misura $x$ cm, l'altro cateto misura $\sqrt{x+5}$ cm e l'ipotenusa misura $x+1$ cm. Imposta un'equazione irrazionale applicando il teorema di Pitagora, trova il valore di $x$ e calcola l'area del pezzo.

Risolvi la seguente equazione irrazionale che contiene due radicali. Dovrai elevare al quadrato due volte. Verifica le soluzioni ottenute alla fine del procedimento:

$\sqrt{2x+3} - \sqrt{x-2} = 2$

Risolvi la seguente equazione esponenziale esprimendo entrambi i membri come potenze della stessa base:

$3^{2x-1} = 27$

Trova il valore di $x$ nell'equazione logaritmica applicando direttamente la definizione di logaritmo:

$\log_2(x + 5) = 3$

Il numero di membri di un server Discord segue la formula esponenziale $N = 500 \cdot 2^{t/3}$, dove $t$ è il tempo trascorso in mesi. Quanti mesi devono trascorrere perché il server raggiunga esattamente $4000$ membri?

Il livello di intensità sonora $L$ in decibel (dB) si calcola mediante l'espressione logaritmica $L = 10 \log\left(\frac{I}{10^{-12}}\right)$, dove $I$ è l'intensità acustica in $\text{W/m}^2$. Calcola l'intensità $I$ di un suono prodotto dal traffico intenso, sapendo che il suo livello è $80 \text{ dB}$.

Per risolvere le equazioni esponenziali si usano di solito due strategie principali: raccogliere a fattor comune o effettuare una sostituzione del tipo $u = a^x$. Osserva queste due equazioni:

(1) $2^{x + 3} - 2^x = 56$

(2) $4^x - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$

1. a) Risolvi l'equazione (1) raccogliendo a fattor comune la potenza $2^x$ nel membro di sinistra e giustifica perché questo percorso è più diretto rispetto a una sostituzione.
2. b) Spiega perché il metodo del raccoglimento a fattor comune non è applicabile direttamente all'equazione (2) (facendo attenzione alla presenza del termine noto e alle basi delle potenze).
3. c) Risolvi l'equazione (2) utilizzando la sostituzione $u = 2^x$, indicando chiaramente le soluzioni finali per l'incognita $x$.

Il valore di un investimento finanziario (in migliaia di euro) segue l'andamento $V(t) = 4^t - 6 \cdot 2^t + 10$, dove $t$ è il tempo in anni dall'inizio dell'investimento. In quali istanti $t$ il valore dell'investimento è esattamente di $2$ mila euro? (Suggerimento: usa le proprietà delle potenze ed esegui il cambio di variabile $u = 2^t$).

La magnitudo di un terremoto nella scala Richter è data da $M = \log(A) - \log(A_0)$, dove $A$ è l'ampiezza massima delle onde sismiche registrate e $A_0$ è un'ampiezza di riferimento standard. Se in un terremoto di magnitudo $M_1 = 3$ l'ampiezza è stata $A_1$, e in un altro terremoto più forte l'ampiezza è stata $A_2 = 100 \cdot A_1$, qual è stata la magnitudo $M_2$ di questo secondo terremoto? Applica le proprietà dei logaritmi per dimostrarlo passo dopo passo.

Risolvi la seguente equazione logaritmica applicando le proprietà dei logaritmi (somma di logaritmi) e verifica il risultato per scartare le soluzioni che generano argomenti negativi:

$\log(x+2) + \log(x-1) = 1$

Si vuole costruire un'equazione logaritmica della forma $\log(x + a) + \log(x + 1) = \log(b)$, dove $a$ e $b$ sono costanti reali fissate, in modo che accada quanto segue:

• Applicando le proprietà dei logaritmi e trasformando l'uguaglianza in un'equazione polinomiale di secondo grado, le soluzioni algebriche di tale equazione siano esattamente $x = 5$ e $x = -3$.

• Tuttavia, verificando nell'equazione logaritmica originale, il valore $x = -3$ deve essere scartato (perché non appartiene al dominio di definizione), così che $x = 5$ sia l'unica soluzione valida.

1. a) A partire dalle relazioni tra le radici e i coefficienti di un polinomio di secondo grado, deduci i valori numerici obbligati delle costanti $a$ e $b$.
2. b) Spiega con precisione l'apparente paradosso: perché il valore $x = -3$ verifica l'equazione polinomiale ottenuta ma risulta inammissibile nell'equazione logaritmica di partenza?
3. c) Verifica che, con i valori di $a$ e $b$ ottenuti, il valore $x = 5$ soddisfa pienamente l'equazione logaritmica iniziale.