Scomposizione, divisione e regola di Ruffini

Scomporre in fattori

Scomporre un polinomio significa scriverlo come prodotto di polinomi di grado più basso. È come scrivere $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$: i fattori sono i «mattoni» del polinomio. Procedi sempre in quest'ordine:

1. raccoglimento totale: metti in evidenza il fattore comune a tutti i termini;

2. prodotti notevoli: riconosci differenza di quadrati, quadrato di binomio, ecc.;

3. trinomio $x^2 + sx + p$: cerca due numeri di somma $s$ e prodotto $p$;

4. raccoglimento parziale: se i termini sono quattro, raggruppali a coppie.

Perché funziona? Ogni schema è un prodotto notevole letto «al contrario»: se sviluppi $(x+m)(x+n)$ ottieni $x^2 + (m+n)x + mn$.

Torniamo al giardino: $x^2 + 5x + 6$ è un trinomio con $s = 5$ e $p = 6$. I numeri cercati sono $2$ e $3$, quindi $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$.

Divisione tra polinomi

Come con i numeri interi, dividere $A(x)$ per $B(x)$ significa trovare un quoziente $Q(x)$ e un resto $R(x)$ tali che

Se $R(x) = 0$ si dice che $A$ è divisibile per $B$. Come per i numeri ($17 = 5 \cdot 3 + 2$), il resto è ciò che «avanza».

Teorema del resto e regola di Ruffini

Quando il divisore è $x - a$ la divisione si semplifica molto. Il resto ha grado minore di $1$, quindi è un numero $r$:

Se sostituisci $x = a$, il termine $(x - a)$ si annulla e resta $P(a) = r$.

Per dividere per $x - a$ si usa la regola di Ruffini, una tabella che evita di riscrivere le potenze di $x$.

Dove cercare le radici? Se il polinomio ha coefficienti interi, le radici razionali sono del tipo $\dfrac{p}{q}$ con $p$ divisore del termine noto e $q$ divisore del coefficiente di grado massimo. Nei polinomi con coefficiente $1$ davanti alla $x$ di grado massimo, basta provare i divisori del termine noto.

Il grafico mostra la stessa idea: le radici di $P$ sono le ascisse in cui la curva incontra l'asse $x$. Nel polinomio $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ sono $1$, $2$, $3$.

Frazioni algebriche

Una frazione algebrica è un quoziente di polinomi, come $\dfrac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4}$. Come per le frazioni numeriche, il denominatore non può essere zero: le condizioni di esistenza (C.E.) escludono i valori di $x$ che lo annullano.

Per semplificare:

1. scomponi numeratore e denominatore;

2. scrivi le C.E. (il denominatore iniziale, scomposto, diverso da zero);

3. semplifica i fattori uguali.

Per sommare o sottrarre serve un denominatore comune (il minimo comune multiplo dei denominatori scomposti) e poi si opera sui numeratori.

Equazioni e disequazioni di grado superiore

Scomporre serve a risolvere. Il motivo è la legge di annullamento del prodotto: un prodotto è zero se e solo se almeno un fattore è zero. Se $P(x) = (x - a)(x - b)(x - c)$, allora $P(x) = 0$ ha soluzioni $a$, $b$, $c$.

Per una disequazione $P(x) \ge 0$ si studia il segno di ogni fattore e si applica la regola dei segni al prodotto, con una tabella.

Le equazioni biquadratiche $ax^4 + bx^2 + c = 0$ si risolvono anche con la sostituzione $t = x^2$, oppure scomponendo come un trinomio. Ad esempio $x^4 - 10x^2 + 9 = (x^2 - 1)(x^2 - 9)$, con soluzioni $\pm 1$ e $\pm 3$.

Guarda il grafico di $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$: le soluzioni di $P(x) \ge 0$ sono gli intervalli in cui la curva sta sopra l'asse $x$ o lo tocca.

In sintesi

• Per scomporre procedi in ordine: raccoglimento totale, prodotti notevoli, trinomio $x^2 + sx + p$, raccoglimento parziale. Fermati quando i fattori non sono più scomponibili.

• Dividere $A$ per $B$ vuol dire trovare $Q$ e $R$ con $A = B \cdot Q + R$ e grado di $R$ minore del grado di $B$.

• Teorema del resto: dividendo per $x - a$ il resto è $P(a)$. Se $P(a) = 0$, $x - a$ è un fattore. La regola di Ruffini calcola quoziente e resto con una tabella.

• Nelle frazioni algebriche: scomponi, scrivi le C.E., semplifica i fattori; per somme e differenze usa un denominatore comune.

• Equazioni di grado alto: scomponi e usa la legge di annullamento del prodotto. Disequazioni: tabella dei segni dei fattori.

Torna all'inizio: il giardino di Giulia, di area $x^2 + 5x + 6$, ha lati $x + 2$ e $x + 3$ metri.