Distanza tra punti, punto medio e distanza punto-retta
Giulia e Marco si incontrano in una piazza di una città con le strade a griglia. Lei è all'incrocio $(1; 2)$, lui all'incrocio $(7; 10)$, con le unità in centinaia di metri. A che distanza in linea retta si trovano? E dove possono vedersi a metà strada? Alla fine della pagina avremo la risposta, e anche un modo per misurare la distanza da una strada qualsiasi, non solo orizzontale o verticale.
Distanza tra due punti
Se due punti hanno la stessa ordinata, la distanza è la differenza delle ascisse in valore assoluto. Se sono in posizione generica, basta costruire un triangolo rettangolo con i cateti paralleli agli assi: il segmento $AB$ è l'ipotenusa, quindi si usa il teorema di Pitagora.
Il quadrato elimina il segno: non importa quale punto si scelga come primo.
Calcola la distanza tra i punti $A(-1, 2)$ e $B(4, 14)$ e le coordinate del punto medio del segmento $AB$.
Calcola la distanza tra i punti $A(-1, 2)$ e $B(4, 14)$ e le coordinate del punto medio del segmento $AB$.
Dati $A(0, 0)$, $B(6, 2)$ e $C(2, 6)$, verifica che il triangolo $ABC$ è isoscele e calcolane perimetro e area.
Dati $A(0, 0)$, $B(6, 2)$ e $C(2, 6)$, verifica che il triangolo $ABC$ è isoscele e calcolane perimetro e area.
Punto medio di un segmento
Il punto medio $M$ di $AB$ è equidistante dagli estremi e sta sul segmento. Le sue coordinate sono le medie delle coordinate degli estremi: a metà strada in orizzontale e a metà strada in verticale.
Per Giulia e Marco: $M\left(\frac{1+7}{2}; \frac{2+10}{2}\right) = M(4; 6)$. Possono vedersi in $(4; 6)$, a $500$ m ciascuno.
La formula si usa anche al contrario: se conosci $M$ e un estremo, trovi l'altro risolvendo $x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$ e $y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$.
Il punto $M(3, -1)$ è il punto medio del segmento $AB$ con $A(7, 2)$. Determina le coordinate di $B$.
Il punto $M(3, -1)$ è il punto medio del segmento $AB$ con $A(7, 2)$. Determina le coordinate di $B$.
Dimostra con la geometria analitica che le diagonali di un parallelogramma di vertici $A(0,0)$, $B(a,0)$, $C(a+b,c)$, $D(b,c)$ si incontrano nel loro punto medio, e…
Dimostra con la geometria analitica che le diagonali di un parallelogramma di vertici $A(0,0)$, $B(a,0)$, $C(a+b,c)$, $D(b,c)$ si incontrano nel loro punto medio, e determina per quali valori di $a, b, c$ il parallelogramma è un rombo.
Asse di un segmento e luoghi geometrici
L'asse del segmento $AB$ è il luogo geometrico dei punti equidistanti da $A$ e da $B$: è la retta perpendicolare ad $AB$ passante per il punto medio. Si può scrivere in due modi.
Metodo 1 (retta): trova $M$, il coefficiente angolare $m_{AB}$, poi $m = -\frac{1}{m_{AB}}$ e usa $y - y_M = m(x - x_M)$.
Metodo 2 (luogo): imponi $PA = PB$ per $P(x; y)$ e, per evitare le radici, uguaglia i quadrati $PA^2 = PB^2$.
Lo stesso metodo 2 serve per ogni luogo definito da una condizione sulle distanze: si scrive la condizione con $P(x; y)$, si eleva al quadrato e si riconosce la curva. Per esempio $PA = 2\,PB$ diventa $PA^2 = 4\,PB^2$, un'equazione in $x^2 + y^2$: è una circonferenza.
Per trovare centro e raggio, porta l'equazione nella forma $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ e completa i quadrati fino a ottenere $(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = r^2$: allora il centro è $C(\alpha; \beta)$ e il raggio è $r$ (con $r^2 > 0$).
Determina l'equazione dell'asse del segmento di estremi $A(1, 5)$ e $B(5, -1)$ e calcola la distanza dell'origine da tale asse.
Determina l'equazione dell'asse del segmento di estremi $A(1, 5)$ e $B(5, -1)$ e calcola la distanza dell'origine da tale asse.
Determina il luogo dei punti $P(x, y)$ tali che $PA = 2\,PB$ con $A(0,0)$ e $B(3,0)$. Riconosci la curva ottenuta e individuane centro e raggio.
Determina il luogo dei punti $P(x, y)$ tali che $PA = 2\,PB$ con $A(0,0)$ e $B(3,0)$. Riconosci la curva ottenuta e individuane centro e raggio.
Distanza di un punto da una retta
La distanza di $P$ da una retta $r$ è la lunghezza del segmento $PH$, con $H$ piede della perpendicolare da $P$ a $r$: è la distanza minima tra $P$ e i punti di $r$.
Perché funziona? Il numeratore misura "di quanto" $P$ non soddisfa l'equazione; il vettore $(a; b)$ è perpendicolare alla retta e ha lunghezza $\sqrt{a^2 + b^2}$, che normalizza il risultato. Il valore assoluto serve perché una distanza non è negativa. La retta va scritta in forma implicita.
Area di un triangolo. Presa $AB$ come base, l'altezza relativa a $C$ è $d(C, AB)$, quindi $\text{Area} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot d(C, AB)$.
Rette parallele. I punti a distanza $k$ da $r$ formano due rette parallele a $r$, una per parte. Quindi se cerchi i punti di una retta $s$ a distanza $k$ da $r$ ottieni di solito due punti; se $s \parallel r$ ne ottieni infiniti o nessuno.
Calcola la distanza del punto $P(2, 3)$ dalla retta di equazione $3x + 4y - 5 = 0$.
Calcola la distanza del punto $P(2, 3)$ dalla retta di equazione $3x + 4y - 5 = 0$.
Calcola l'area del triangolo di vertici $A(1, 1)$, $B(7, 3)$, $C(4, 8)$ usando la distanza di $C$ dalla retta $AB$.
Calcola l'area del triangolo di vertici $A(1, 1)$, $B(7, 3)$, $C(4, 8)$ usando la distanza di $C$ dalla retta $AB$.
Determina i punti della retta $y = x + 1$ che hanno distanza $\sqrt{2}$ dalla retta $x - y - 3 = 0$ e spiega il risultato geometricamente.
Determina i punti della retta $y = x + 1$ che hanno distanza $\sqrt{2}$ dalla retta $x - y - 3 = 0$ e spiega il risultato geometricamente.