Disequazioni di secondo grado, fratte e sistemi

Il segno del trinomio

Risolvere $ax^2 + bx + c > 0$ significa chiedersi: per quali $x$ la parabola $y = ax^2 + bx + c$ sta sopra l'asse $x$? Quindi la disequazione non richiede un calcolo nuovo: si legge il segno del trinomio sul grafico.

Per sapere come è fatta la parabola bastano due informazioni:

• il segno di $a$: se $a > 0$ la concavità è verso l'alto, se $a < 0$ verso il basso;

• il segno del discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$, che dice quante volte la parabola incontra l'asse $x$.

Prova a muovere i coefficienti e osserva come cambiano il segno di $a$, le intersezioni con l'asse $x$ e il segno del trinomio.

Il motivo è semplice: la parabola cambia segno solo quando attraversa l'asse $x$, cioè negli zeri. Se non lo attraversa, resta sempre dalla stessa parte.

Risolvere una disequazione di secondo grado

Il procedimento è sempre lo stesso: porta la disequazione nella forma $ax^2 + bx + c \gtrless 0$, calcola gli zeri (se ci sono), disegna lo schizzo della parabola, e leggi le soluzioni secondo il verso della disequazione.

Disequazioni fratte

Una disequazione fratta ha l'incognita al denominatore, per esempio $\dfrac{x+3}{x^2-4} \le 0$. Non si procede come con le equazioni: non si può eliminare il denominatore moltiplicando, perché non si sa se è positivo o negativo (e se è negativo il verso si inverte).

Si usa invece lo studio del segno:

1. porta tutto a sinistra e riduci a un'unica frazione $\dfrac{N(x)}{D(x)} \gtrless 0$;

2. studia il segno di $N$ e di $D$ separatamente (con la parabola, se sono di secondo grado);

3. riporta i segni in una tabella e applica la regola dei segni al quoziente;

4. ricorda le condizioni di esistenza: gli zeri di $D$ non sono mai soluzioni.

Sistemi di disequazioni

Un sistema di disequazioni cerca i valori di $x$ che verificano tutte le disequazioni insieme. Si risolve ciascuna disequazione separatamente e poi si intersecano le soluzioni, cioè si tengono solo i valori comuni. Il modo più sicuro è disegnare le soluzioni su rette parallele, con un tratto pieno dove la disequazione è verificata, cerchietto pieno se l'estremo è incluso e vuoto se è escluso.

Problemi con le disequazioni

Molte situazioni reali chiedono "quando" una quantità supera una soglia: un guadagno positivo, un'altezza minima, uno spazio di frenata massimo. Il procedimento è sempre quello dei problemi con le equazioni: incognita, disequazione, risoluzione, verifica nel contesto. L'ultima fase è importante: le soluzioni vanno confrontate con i valori che la situazione consente (per esempio $x \ge 0$ o $x$ intero).

Ed ecco la risposta al problema iniziale: $G(x) = -x^2 + 20x - 51 > 0$ equivale a $x^2 - 20x + 51 < 0$. Con $\Delta/4 = 100 - 51 = 49$ gli zeri sono $x = 10 \pm 7$, cioè $3$ e $17$. La pasticceria guadagna se vende più di 3 e meno di 17 vassoi; dato che i vassoi sono interi, da $4$ a $16$.

Con un parametro o con il valore assoluto

Il parametro

In una disequazione con un parametro $k$ non si cerca un insieme di $x$, ma i valori di $k$ per cui una proprietà è vera. La proprietà più frequente è "la disequazione è verificata per ogni $x \in \mathbb{R}$". Dalla prima sezione sai che, con $a > 0$, il trinomio è sempre positivo se e solo se la parabola non incontra l'asse $x$, cioè se $\Delta < 0$.

Il valore assoluto

Per risolvere una disequazione con valore assoluto si usano le equivalenze:

In sintesi

• Il segno di $ax^2 + bx + c$ si legge dalla parabola: dipende da $a$ e da $\Delta$. Con $\Delta > 0$ il segno è quello di $a$ fuori dagli zeri e opposto dentro; con $\Delta = 0$ è quello di $a$ tranne che nello zero; con $\Delta < 0$ è sempre quello di $a$.

• Per ogni disequazione di secondo grado: forma $\gtrless 0$, zeri, schizzo, lettura (attenzione agli estremi inclusi o esclusi).

• Una disequazione fratta si porta a $\dfrac{N}{D} \gtrless 0$ e si risolve con la tabella dei segni; gli zeri del denominatore sono sempre esclusi. Non si moltiplica per un denominatore di segno ignoto.

• Un sistema si risolve intersecando le soluzioni di ciascuna disequazione.

• Nei problemi, verifica che le soluzioni abbiano senso nel contesto. Con un parametro e "per ogni $x$" si impone $\Delta < 0$ (con $a > 0$).

• $|A| < B$ equivale a $-B < A < B$; $|A| > B$ a $A < -B$ oppure $A > B$.