Studiare una funzione

Data una funzione il cui grafico è formato da due tratti continui:

• Il primo tratto va dal punto $(-3, 2)$ (incluso) al punto $(1, 4)$ (escluso), e ha un massimo relativo in $(-1, 5)$.

• Il secondo tratto va dal punto $(1, -1)$ (incluso) al punto $(8, 3)$ (incluso), e ha un minimo relativo in $(4, -2)$.

Determina il suo dominio e il suo codominio.

Il grafico che mostra l'evoluzione del numero di spettatori settimanali (in migliaia) di un film appena uscito nel tempo (in settimane) parte dal punto $(0, 10)$, cresce fino a $(5, 80)$, rimane costante tra la settimana $5$ e la $7$, decresce fino a $(10, 30)$ e rimane costante tra la settimana $10$ e la $12$, dove termina in $(12, 30)$. Studia il dominio e il codominio nel contesto del problema, e indica in quali intervalli il pubblico cresce, decresce o rimane costante.

Calcola il dominio della funzione irrazionale $f(x) = \sqrt{2x - 8}$.

Trova il dominio della funzione razionale $f(x) = \frac{x - 1}{x^2 - 4x - 5}$.

Trova i punti di intersezione con gli assi coordinati della funzione $f(x) = \frac{3x - 6}{x + 2}$.

Marco deve studiare i punti di intersezione con gli assi della funzione razionale $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$. Nel suo compito scrive il seguente procedimento:

«1. Intersezione con l'asse $Y$: calcolo $f(0) = \frac{0^2 - 4}{0 - 2} = \frac{-4}{-2} = 2$, quindi il grafico interseca nel punto $(0, 2)$.

1. Intersezioni con l'asse $X$: risolvo $f(x) = 0 \implies x^2 - 4 = 0 \implies x = 2$ e $x = -2$. Quindi il grafico interseca l'asse $X$ in due punti: $(2, 0)$ e $(-2, 0)$».

1. a) Individua l'errore concettuale commesso da Marco: quale passo fondamentale dello schema di studio di una funzione ha omesso prima di cercare le intersezioni e perché questa dimenticanza invalida una delle sue conclusioni?
2. b) Determina il dominio reale della funzione $f(x)$ e scrivi l'elenco corretto dei punti di intersezione che esistono davvero.
3. c) A partire da quanto sopra, ragiona se nel punto $x = 2$ esiste un asintoto verticale o se la funzione presenta un altro comportamento, semplificando la formula per $x \neq 2$.

Determina analiticamente se la funzione $f(x) = x^4 - 5x^2 + 3$ è pari, dispari o priva di simmetria.

Studia la simmetria della funzione $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ e calcola i suoi punti di intersezione con gli assi coordinati.

Per studiare se la funzione razionale $g(x) = \frac{x^3}{x^2 - 9}$ presenta qualche tipo di simmetria (pari, dispari o nessuna), tre studenti propongono strade diverse:

• Alba propone di verificarlo con valori numerici: calcolare coppie di immagini di valori opposti come $g(1)$ e $g(-1)$, $g(2)$ e $g(-2)$, $g(4)$ e $g(-4)$, e controllare se coincidono o cambiano di segno.

• Bruno propone di applicare la definizione algebrica formale: sostituire $x$ con $-x$, calcolare l'espressione di $g(-x)$, semplificarla e confrontarla direttamente con $g(x)$ e con $-g(x)$.

• Carlo propone di scomporre la funzione: analizzare separatamente che il numeratore è una funzione dispari e il denominatore è una funzione pari, e dedurre la simmetria complessiva applicando una regola dei segni analoga a quella della moltiplicazione e della divisione tra numeri.

1. a) Analizza con spirito critico i tre metodi: quale o quali costituiscono una dimostrazione matematica valida per tutti i numeri del dominio e quale serve solo come indizio o verifica sperimentale?
2. b) Applica il metodo algebrico di Bruno per dimostrare con rigore quale simmetria possiede $g(x)$.
3. c) Spiega in dettaglio in che modo il risultato sulla simmetria ti permette di dimezzare il lavoro nello studio degli asintoti verticali e del segno della funzione nel suo dominio.

A partire dal seguente grafico, indica gli intervalli di monotonia (crescenza e decrescenza) e le coordinate dei suoi estremi relativi.

Esprimi la funzione con valore assoluto $f(x) = |2x - 4|$ come funzione definita a tratti e determina i suoi intervalli di crescenza e decrescenza.

Calcola il tasso di variazione medio (TVM) della funzione $f(x) = 2x^2 - 3x$ nell'intervallo $[-1, 2]$.

La posizione di un oggetto in moto rettilineo è data dalla funzione $e(t) = 5t^2 + 2t$, dove $e$ è lo spazio in metri e $t$ il tempo in secondi. Calcola la velocità media (tasso di variazione medio) negli intervalli $[1, 3]$ e $[3, 5]$, e indica in quale intervallo l'oggetto si è mosso più velocemente.

La variazione del livello di un bacino idrico $v$ (in metri rispetto al suo livello medio) in funzione del mese $x$ dell'anno è data dalla funzione $v(x) = -0,5x^2 + 10x - 18$. Determina in quale mese il livello del bacino è più alto, a quanto ammonta tale differenza massima rispetto al livello medio e in quali mesi il bacino si trova esattamente al livello medio ($v = 0$).

Dai dati registrati da una stazione meteorologica situata sull'altopiano in un giorno autunnale sereno, la temperatura $T$ (in gradi Celsius, °C) nel corso delle $24$ ore del giorno è modellizzata dalla funzione quadratica:

$T(t) = -0,05 \cdot (t - 15)^2 + 14$, dove $t$ è il tempo trascorso in ore dalla mezzanotte ($0 \leq t \leq 24$).

1. a) Giustifica quale sia il dominio di definizione di questa funzione in base al contesto fisico del problema.
2. b) Senza derivare, a partire dalla forma con il vertice della parabola, individua con ragionamento l'intervallo di ore in cui la temperatura aumenta, quello in cui diminuisce e le coordinate complete $(t, T)$ dell'estremo relativo (massimo giornaliero).
3. c) Calcola il tasso di variazione medio (TVM) della temperatura nel tratto della mattina compreso tra le ore $t = 7$ e le ore $t = 11$. Interpreta il significato reale del segno e delle unità di misura della grandezza ottenuta.
4. d) Imposta e risolvi l'equazione necessaria per stabilire se in qualche momento della giornata si sono raggiunti i $0$ °C (intersezioni con l'asse orizzontale delle ore).

Un proiettile viene lanciato verso l'alto e segue una traiettoria descritta dalla funzione $h(t) = -5t^2 + 20t + 25$, dove $h$ è l'altezza in metri e $t$ il tempo in secondi dal lancio. Determina il dominio della funzione limitato alla durata reale del volo (fino all'impatto con il suolo), l'altezza da cui è stato lanciato, l'altezza massima che raggiunge e il tempo totale di volo.

Studia la continuità della seguente funzione definita a tratti nel punto $x = 1$:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x \leq 1 \\ 4 - x & \text{si } x > 1 \end{cases}$

Data la seguente funzione definita a tratti, studia il suo dominio, la sua continuità, le intersezioni con gli assi e gli intervalli di monotonia:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{si } x < 0 \\ 2x - 4 & \text{si } 0 \leq x < 4 \\ 4 & \text{si } x \geq 4 \end{cases}$

A partire dalla funzione quadratica $f(x) = x^2 - 4x$, ottieni l'espressione analitica come funzione a tratti di $g(x) = |x^2 - 4x|$. Rappresenta mentalmente la situazione e determina gli intervalli di concavità e convessità di $g(x)$.

Individua le equazioni dell'asintoto verticale e dell'asintoto orizzontale della funzione $f(x) = \frac{5}{x - 3} + 2$.

Considera la funzione razionale $f(x) = \frac{6x - 2}{2x + 1}$.

1. a) Prima di eseguire qualsiasi calcolo preciso, fai una stima: quando i valori di $x$ diventano estremamente grandi (per esempio, $x$ vicino a un milione), i termini noti ($-2$ e $+1$) influiscono appena sul risultato. Tenendo conto di ciò, a quale semplice valore numerico pensi che si avvicineranno le immagini $f(x)$? Quale retta sospetti che sia l'asintoto orizzontale?
2. b) Verifica numericamente se la tua stima era corretta calcolando con esattezza i valori di $f(10)$, $f(100)$ e $f(1\,000)$ (arrotonda a tre cifre decimali se necessario).
3. c) A partire dalle tue verifiche, deduci l'equazione dell'asintoto orizzontale sia per $x \to +\infty$ sia per $x \to -\infty$, e spiega quale informazione visiva fornisce questo asintoto sull'andamento della curva agli estremi del foglio.

Determina le equazioni degli asintoti verticali e orizzontali della funzione $f(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}$.

La funzione razionale $f(x) = \frac{ax + b}{x + c}$ passa per il punto $(0, 1)$, ha un asintoto verticale nella retta $x = 2$ e un asintoto orizzontale nella retta $y = 3$. Imposta un sistema di equazioni e trova i valori dei parametri $a$, $b$ e $c$.

Trova l'espressione analitica di una funzione razionale della forma $f(x) = \frac{a \cdot x + b}{x - c}$, dove $a$, $b$ e $c$ sono numeri reali da determinare, sapendo che soddisfa contemporaneamente le seguenti tre condizioni:

1. Il suo grafico presenta un asintoto verticale nella retta $x = 3$.

2. Interseca l'asse delle ascisse ($X$) nel punto $(-2, 0)$.

3. Quando i valori della variabile indipendente crescono senza limite ($x \to +\infty$), le immagini si avvicinano alla retta orizzontale di equazione $y = 4$.

1. a) Deduci passo dopo passo e in modo giustificato il valore dei coefficienti $a$, $b$ e $c$. Verifica che il numeratore della funzione ottenuta non si annulli in $x = 3$.
2. b) Trova il punto di intersezione del grafico con l'asse delle ordinate ($Y$).
3. c) Calcola il tasso di variazione medio (TVM) della funzione negli intervalli $[4, 5]$ e $[5, 8]$. Alla luce di questi risultati e dell'asintoto verticale trovato, stabilisci con un ragionamento se è possibile che la funzione abbia un massimo o un minimo relativo nell'intervallo $(3, +\infty)$ o se in esso la monotonia è costante.

Descrivi il comportamento della funzione $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 + 1}$ analizzando il suo dominio, le intersezioni con gli assi, la sua simmetria e i suoi asintoti orizzontali e verticali.

Dimostra analiticamente se la funzione $f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4}$ è simmetrica pari, dispari o nessuna delle due. Poi calcola le sue intersezioni con gli assi e determina le equazioni dei suoi asintoti verticali e orizzontali.

Disegna sul quaderno il grafico di una funzione $f(x)$ che soddisfi contemporaneamente tutte le seguenti condizioni:

• Il suo dominio è $\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$.

• È una funzione con simmetria dispari.

• Ha asintoti verticali in $x = -2$ e $x = 2$, e un asintoto orizzontale in $y = 0$.

• Presenta un massimo relativo nel punto $(-4, 1)$ e un minimo relativo in $(4, -1)$.

• Passa per l'origine degli assi.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In un triangolo isoscele di base $12$ cm e altezza $10$ cm si inscrive un rettangolo la cui base $x$ poggia sulla base del triangolo, come mostra la figura. Esprimi l'area del rettangolo in funzione della sua base $x$ e determina il dominio di questa funzione nel contesto geometrico del problema.

La concentrazione di un determinato farmaco nel sangue di un paziente, in mg/L, dopo $t$ ore dalla somministrazione è data dal modello $C(t) = \frac{10t}{t^2 + 1}$. Calcola il tasso di variazione medio nella prima ora (intervallo $[0, 1]$) e interpreta il risultato. Inoltre, stabilisci con un ragionamento matematico qual è la tendenza della concentrazione del farmaco a lungo termine (quando $t \to \infty$).

Una cooperativa agricola in Italia acquista una nuova confezionatrice tramite noleggio commerciale. La macchina comporta costi fissi mensili di $1\,200$ € (assicurazione e canone) e un costo variabile di $25$ € per ogni tonnellata di frutta lavorata. La funzione che esprime il costo medio unitario per tonnellata (in euro per tonnellata) lavorando $x$ tonnellate in un mese è:

$\bar{C}(x) = \frac{1\,200 + 25x}{x}$

1. a) Determina il dominio di definizione di $\bar{C}(x)$ nel contesto reale del problema e spiega perché i valori $x \leq 0$ non hanno senso operativo.
2. b) Analizza la tendenza e l'asintoto verticale della funzione quando la produzione si avvicina a zero da destra ($x \to 0^+$). Che interpretazione economica ha il fatto che il valore di $\bar{C}(x)$ cresca verso $+\infty$ quando si lavora una quantità minuscola di frutta?
3. c) Calcola analiticamente l'asintoto orizzontale della funzione per $x \to +\infty$. Stabilisci con un ragionamento se la cooperativa potrà mai ridurre il proprio costo medio al di sotto di $25$ € per tonnellata aumentando indefinitamente il volume di produzione.
4. d) Dimostra che la funzione è strettamente decrescente in tutto il suo dominio provando che $TVM[a, b] = -\frac{1\,200}{ab} < 0$ per ogni $0 < a < b$; poi valuta il TVM in due intervalli di uguale lunghezza ma di diversa scala di produzione (per esempio $[10, 30]$ e $[100, 120]$) e interpreta quale conclusione pratica deve trarre la direzione della cooperativa sull'ammortamento dei costi fissi.