Parametri e retta di regressione

Il «baricentro» di una distribuzione bidimensionale è il punto formato dalle medie di entrambe le variabili, indicato con $(\bar{x}, \bar{y})$. Un gruppo di amici ha annotato il tempo che trascorre sui social network al giorno ($X$, in minuti) e le ore che dorme ogni notte ($Y$, in ore):

$(45, 9), (60, 8,5), (90, 8), (120, 7), (150, 6,5)$

Calcola le coordinate del baricentro di questa distribuzione.

In uno studio sulla prestazione fisica si misurano il numero di pulsazioni a riposo ($X$) e il tempo in secondi necessario per recuperare il ritmo normale dopo uno sforzo ($Y$). Si sa che la somma dei prodotti delle variabili è $\sum x_i y_i = 15200$, il numero di individui è $n = 10$, e le medie sono $\bar{x} = 70$ e $\bar{y} = 20$.

Utilizza la formula semplificata $\sigma_{xy} = \frac{\sum x_i y_i}{n} - \bar{x} \bar{y}$ per calcolare la covarianza. Che cosa indica il segno del risultato sulla relazione tra le pulsazioni e il tempo di recupero?

Una cineteca online vuole verificare se esiste una relazione tra il numero di capitoli di una saga cinematografica ($X$) e la valutazione media degli spettatori (su 10 punti, $Y$). Dopo aver analizzato 50 saghe si dispone dei seguenti parametri:

$\sum x_i = 150 \quad \sum y_i = 325 \quad \sum x_i^2 = 580 \quad \sum y_i^2 = 2200 \quad \sum x_i y_i = 940$

1. a) Calcola la covarianza $\sigma_{xy}$.
2. b) Interpreta il risultato ottenuto nel contesto del problema: le saghe più lunghe tendono ad avere valutazioni migliori o peggiori?

Uno studio sociologico analizza la relazione tra il numero di libri letti all'anno ($X$) e il punteggio in un test di agilità mentale ($Y$). La covarianza è $12,5$. Raddoppiando il numero di libri letti da tutti gli intervistati e sommando 5 punti a tutti nel test di agilità mentale, si chiede:

1. a) Spiega che cosa accade alla nuova covarianza $\sigma'_{xy}$.
2. b) Se il coefficiente di correlazione originale era $r = 0,75$, quale sarà il nuovo coefficiente $r'$ dopo le modifiche? Giustifica la risposta analiticamente.
3. c) L'attendibilità delle previsioni cambierà dopo queste modifiche dei dati?

Una nutrizionista studia la relazione tra i grammi di zucchero ($X$) e le chilocalorie ($Y$) di cinque tipi di barrette energetiche. Ha ottenuto i seguenti parametri marginali:

• Media dello zucchero: $\bar{x} = 12$ g

• Media dell'energia: $\bar{y} = 210$ kcal

• Deviazioni standard: $\sigma_x = 3$ g e $\sigma_y = 25$ kcal

• Covarianza: $\sigma_{xy} = 60$

Calcola il coefficiente di correlazione lineare ($r$) e interpreta se esiste una relazione forte tra le due variabili.

Osserva la seguente nuvola di punti che rappresenta la relazione tra l'investimento in pubblicità di 8 piccole imprese e i loro guadagni mensili (entrambi in migliaia di euro).

1. a) Giustifica, senza eseguire calcoli, se il segno della covarianza sarà positivo o negativo.
2. b) Scegli motivando quale dei seguenti valori potrebbe essere il coefficiente di correlazione di Pearson ($r$): $-0,85$; $0,12$; $0,91$; $1,5$.
3. c) Che cosa accadrebbe al valore di $r$ se decidessimo di esprimere i dati in euro anziché in migliaia di euro?

In un allenamento di basket si registrano la distanza dal canestro in metri ($X$) e il numero di canestri realizzati su 10 tentativi ($Y$) per un gruppo di giocatori. I dati riassuntivi sono:

$\bar{x} = 4,5 \text{ m} \quad \sigma_x = 1,2 \text{ m}$

$\bar{y} = 6 \text{ risposte corrette} \quad \sigma_y = 1,8 \text{ risposte corrette}$

$\sigma_{xy} = -1,944$

1. a) Calcola il coefficiente di correlazione di Pearson e interpreta la sua intensità e il suo verso.
2. b) Calcola il coefficiente di determinazione $r^2$ e spiega quale percentuale della variazione dei canestri realizzati è spiegata dalla distanza dal canestro.

Se il coefficiente di determinazione di una distribuzione bidimensionale è $R^2 = 0,81$, calcola il valore del coefficiente di correlazione $r$ (supponendo che la relazione sia diretta) e spiega quale percentuale della variazione della variabile $Y$ è spiegata dalla variabile $X$.

Un'applicazione di musica in streaming analizza la relazione tra l'età dei suoi utenti ($X$) e il numero di artisti diversi che ascoltano al mese ($Y$). Per un campione di $n = 10$ utenti si conoscono le seguenti sommatorie:

1. Calcola il coefficiente di correlazione di Pearson.

2. Determina il coefficiente di determinazione $R^2$ e interpreta il suo significato: quale percentuale della variazione del numero di artisti ascoltati è spiegata dall'età dell'utente?

Si analizza la relazione tra il prezzo di un biglietto aereo ($X$) e l'anticipo con cui lo si acquista in giorni ($Y$). Si sa che la correlazione è $r = -0,82$.

Se le deviazioni standard sono $\sigma_x = 45 \text{ €}$ e $\sigma_y = 12 \text{ giorni}$, e le medie sono $\bar{x} = 150 \text{ €}$ e $\bar{y} = 25 \text{ giorni}$:

1. a) Calcola la covarianza della distribuzione.
2. b) Calcola la retta di regressione di $X$ su $Y$ per stimare il prezzo del biglietto in funzione dei giorni di anticipo.
3. c) Quale prezzo si stimerebbe per un biglietto acquistato con 40 giorni di anticipo?

È stata studiata la relazione tra la spesa settimanale per l'alimentazione di una famiglia ($X$) e il suo reddito settimanale ($Y$), entrambi in euro. Sono stati ottenuti i seguenti dati:

$\bar{x} = 180, \quad \sigma_x^2 = 900, \quad \bar{y} = 600, \quad \sigma_y^2 = 2500, \quad \sigma_{xy} = 1200$

1. a) Trova l'equazione della retta di regressione di $Y$ su $X$.
2. b) Se una famiglia spende 250 € per l'alimentazione, quale sarebbe il suo reddito stimato secondo il modello?
3. c) Questa previsione è attendibile? Giustifica la risposta calcolando il coefficiente di correlazione.

È stata condotta un'indagine sul numero di figli ($X$) e sul numero di camere da letto dell'abitazione ($Y$) in un condominio. I risultati sono presentati nella seguente tabella delle frequenze congiunte (tabella a doppia entrata):

1. Ottieni le distribuzioni marginali di $X$ e $Y$.

2. Calcola la media marginale dei figli ($\bar{x}$) e la media marginale delle camere da letto ($\bar{y}$).

3. Esiste dipendenza tra le due variabili? Motiva la risposta osservando le frequenze della tabella.

Un agricoltore osserva che la produzione del suo raccolto di arance dipende dalle ore di sole ricevute durante la fase di maturazione. Le rette di regressione ottenute da dati storici sono:

Retta di $Y$ su $X$: $y = 0,85x + 12$

Retta di $X$ su $Y$: $x = 0,92y - 4$

1. a) Determina il baricentro $(\bar{x}, \bar{y})$ della distribuzione.
2. b) Calcola il coefficiente di correlazione di Pearson a partire dai coefficienti angolari delle due rette di regressione.

Le due rette di regressione di una variabile bidimensionale sono:

• Retta di $Y$ su $X$: $y = 0,85x + 12,4$

• Retta di $X$ su $Y$: $x = 0,72y + 5,1$

Sapendo che la varianza della variabile $X$ è $s_x^2 = 16$, calcola:

1. Il coefficiente di correlazione di Pearson $r$.

2. La covarianza $s_{xy}$ della distribuzione.

3. Le coordinate del baricentro $(\bar{x}, \bar{y})$.

Data una distribuzione bidimensionale, si è verificato che le deviazioni standard di entrambe le variabili sono uguali ($s_x = s_y$).

1. a) Dimostra algebricamente che, in questo caso, il coefficiente di correlazione lineare coincide con il coefficiente angolare della retta di regressione di $Y$ su $X$.

1. b) Se la retta di regressione di $Y$ su $X$ è $y = 0,6x + 2$, qual è il coefficiente di determinazione?

1. c) Quale sarebbe il coefficiente angolare della retta di regressione di $X$ su $Y$ in queste condizioni?

Date le rette di regressione $y = -2x + 10$ e $x = -0,4y + 4$, stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false, dimostrandolo mediante il calcolo dei parametri corrispondenti:

1. a) La correlazione tra le variabili è positiva perché entrambi i coefficienti angolari hanno lo stesso segno.

1. b) Il baricentro della distribuzione è il punto $(3, 4)$.

1. c) Le variabili hanno una dipendenza funzionale perfetta.

1. d) La varianza di $Y$ è maggiore della varianza di $X$.

In uno studio sul mercato immobiliare di una città costiera sono state ottenute le equazioni delle due rette di regressione che mettono in relazione il prezzo di vendita degli appartamenti, $Y$ (in centinaia di migliaia di euro), con la loro superficie, $X$ (in metri quadrati):

• Retta di $Y$ su $X$: $y = 0,012x + 0,5$

• Retta di $X$ su $Y$: $x = 65y - 20$

Nella figura puoi vedere le due rette rappresentate.

Determina, motivando la risposta:

1. a) Il baricentro della distribuzione $(\bar{x}, \bar{y})$.

1. b) Il coefficiente di correlazione lineare di Pearson, $r$, e interpreta il suo segno e la sua intensità.

1. c) Se un appartamento ha una superficie di $120$ $m^2$, quale sarebbe il suo prezzo stimato? Questa stima è attendibile? Giustifica la risposta utilizzando il coefficiente di determinazione.

In una scuola di lingue è stata osservata la relazione tra le ore settimanali di studio personale ($X$) e il punteggio nell'esame finale ($Y$) di un gruppo di allievi. La tabella delle frequenze congiunte è la seguente, in cui sono stati persi tre valori ($a, b, c$):

1. a) Calcola i valori di $a, b$ e $c$.
2. b) Determina la distribuzione marginale della variabile $Y$ e calcola la sua media e la sua varianza.
3. c) Calcola la media del punteggio nell'esame ($Y$) condizionata al fatto che gli allievi studino $5$ ore settimanali ($X=5$).

Un sociologo studia la relazione tra l'età di emancipazione dei giovani ($X$) e il livello di reddito pro capite della loro regione ($Y$). Rappresentando la nuvola di punti, osserva che il baricentro è $G(28, 1400)$. Una delle rette di regressione è $y = -50x + 2800$. Sapendo che la varianza dell'età è $s_x^2 = 9$ e la varianza del reddito è $s_y^2 = 360.000$:

1. a) Calcola la covarianza $s_{xy}$ e il coefficiente di correlazione lineare.
2. b) Ottieni l'equazione della retta di regressione di $X$ su $Y$.
3. c) Determina l'angolo formato dalle due rette di regressione. Questo angolo, da solo, permette di affermare che la correlazione è forte? Giustifica la risposta confrontandolo con il valore di $r$.

Due variabili $X$ e $Y$ hanno deviazioni standard marginali $s_x = 4$ e $s_y = 6$. Si sa che le due rette di regressione sono perpendicolari tra loro.

1. a) Qual è il valore della covarianza $s_{xy}$ e del coefficiente di correlazione $r$?
2. b) Che cosa implica questo risultato per la capacità predittiva del modello lineare?
3. c) Se aggiungessimo alla distribuzione un nuovo punto $(x, y)$ coincidente esattamente con il baricentro, cambierebbe il valore del coefficiente di correlazione? Motiva la risposta.

Le altezze di un campione di coppie (uomo, donna) sono state organizzate nella seguente tabella a doppia entrata (dati in cm):

Utilizzando i valori centrali delle classi:

1. a) Calcola la covarianza della distribuzione.
2. b) Calcola il coefficiente di correlazione di Pearson.
3. c) In questo campione esiste una relazione forte tra le altezze dei membri della coppia?

È stata svolta una prova di recupero di Matematica. Si osserva che la relazione tra i voti della prima prova ($X$) e quelli della seconda ($Y$) segue una tendenza lineare. Si sa che:

• $\bar{x} = 4$; $\bar{y} = 6$

• Le due rette di regressione si intersecano formando un angolo molto piccolo, e il prodotto dei coefficienti di regressione, $b_{yx}\cdot b_{xy}$ (quello di $Y$ su $X$ e quello di $X$ su $Y$), è $0,81$.

• Entrambi i coefficienti di regressione sono positivi.

1. a) Trova il coefficiente di correlazione di Pearson e indica quale percentuale del voto della seconda prova è spiegata dal voto della prima.

1. b) Se la deviazione standard di $X$ è la metà di quella di $Y$, ottieni l'equazione della retta di regressione di $Y$ su $X$.

1. c) Se uno studente ha preso $2$ nella prima prova, quale voto si stima per la seconda?