Esercizi: Composizione, invertibilità e trasformazioni dei grafici

Date $f(x) = 2x + 1$ e $g(x) = x^2$, calcola $(f \circ g)(x)$ e $(g \circ f)(x)$ e il loro valore per $x = 3$.

Determina la funzione inversa di $f(x) = 3x - 5$ e verifica che $f^{-1}(f(2)) = 2$.

Data la funzione $f(x) = x^2$ con dominio $\mathbb{R}$ e codominio $\mathbb{R}$, stabilisci se è iniettiva e se è suriettiva, motivando la risposta con un controesempio.

Data $f(x) = \dfrac{x+1}{x-2}$, determina il dominio, la funzione inversa $f^{-1}$ e il suo dominio.

Dato il grafico di $f(x) = x^2 - 2x - 3$, descrivi come si ottengono da esso i grafici di:

1. a) $y = -f(x)$
2. b) $y = f(-x)$
3. c) $y = |f(x)|$

Disegna poi $y = |f(x)|$ indicando intersezioni con gli assi e vertice.

Sia $f(x) = x^2 - 4x + 5$.

1. a) Determina il più grande intervallo del tipo $[a, +\infty)$ su cui $f$ è iniettiva.
2. b) Su tale intervallo determina l'inversa e il suo dominio.

Sia $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ la funzione $f(x) = x^3 + x$.

1. a) Dimostra che $f$ è strettamente crescente.
2. b) Deduci che è biunivoca e spiega perché il grafico di $f^{-1}$ è simmetrico a quello di $f$ rispetto alla retta $y = x$.

Date $f(x) = \sqrt{x - 1}$ e $g(x) = x^2 - 5$, determina il dominio di $f\circ g$ e di $g\circ f$ e scrivi le espressioni delle due composte semplificate.

Trova per quali valori di $k$ l'equazione $|x^2 - 4x + 3| = k$ ha esattamente quattro soluzioni reali distinte. Giustifica con l'analisi del grafico di $y=|x^2-4x+3|$.