Esercizi: Tendenza e periodicità

Osserva il grafico della seguente funzione che descrive l'altezza di una cabina di una ruota panoramica rispetto alla sua posizione centrale nel tempo. Determina il suo periodo $T$ e, sapendo che lo schema si ripete indefinitamente, calcola il valore della funzione nell'istante $x = 22$.

Sapendo che una funzione $f(x)$ è periodica di periodo $T = 6$ e che, nel primo ciclo, assume il valore $f(2) = 5$, qual è il valore di $f(20)$?

Il seguente grafico mostra l'evoluzione della temperatura di una tazza di caffè appena servita nel tempo. A quale valore tende la temperatura quando il tempo avanza indefinitamente? Come si chiama in matematica la retta orizzontale a cui si avvicina la curva?

Data la seguente tabella di valori di una funzione $g(x)$ ottenuta con un foglio di calcolo, quale pensi sia il suo andamento quando la variabile indipendente $x$ tende a $+\infty$?

Togliamo una lattina di bibita dal frigorifero a $4^\circ\text{C}$ e la lasciamo sul tavolo del soggiorno, dove la temperatura ambiente si mantiene costante a $23^\circ\text{C}$. A quale temperatura tenderà la bibita se la lasciamo lì per diversi giorni senza aprirla?

Classifica i seguenti fenomeni della vita reale a seconda che corrispondano a funzioni periodiche o non periodiche:

• L'altezza di una persona nel corso di tutta la sua vita.

• Il movimento della lancetta dei minuti di un orologio da parete.

• Il saldo disponibile su un conto corrente nel corso dell'anno.

• Il ciclo delle fasi della Luna.

Una funzione periodica ha periodo $T = 5$. Se conosciamo i suoi valori nel primo ciclo: $f(1) = 3$, $f(2) = 7$, $f(3) = 0$, $f(4) = -2$ e $f(5) = 1$, calcola in modo ragionato il valore di $f(14)$.

Il tempo $t$ (in ore) necessario per svuotare il serbatoio di irrigazione di un'azienda agricola dipende dal numero di pompe idrauliche identiche $n$ collegate contemporaneamente, secondo la funzione $t(n) = \frac{120}{n}$. A quale valore tende il tempo di svuotamento se il numero di pompe utilizzate tende a infinito?

Una boa oceanografica situata al largo della costa di Genova registra l'altezza del moto ondoso mediante una funzione periodica di periodo $T = 6\text{ secondi}$. Nel primo ciclo, tra $t = 0\text{ s}$ e $t = 6\text{ s}$, le altezze registrate sono le seguenti: $f(1) = 1{,}8\text{ m}$; $f(2) = 2{,}5\text{ m}$; $f(3) = 1{,}2\text{ m}$; $f(4) = 0{,}4\text{ m}$; $f(5) = 0{,}8\text{ m}$. Il tecnico tirocinante, Davide, deve trovare l'altezza dell'onda nell'istante $t = 81\text{ s}$. Per farlo, divide $81$ per $6$ con la calcolatrice e ottiene $13{,}5$. Davide conclude nella sua relazione: «Poiché il risultato è $13{,}5$, la boa si trova in un valore intermedio, quindi calcolo la media aritmetica tra $f(13)$ e $f(5)$».\na) Individua l'errore concettuale commesso da Davide nell'interpretare il quoziente decimale della calcolatrice nel contesto di una funzione periodica.\nb) Correggi il ragionamento applicando la divisione euclidea tra interi (quoziente e resto) per determinare a quale istante preciso del ciclo fondamentale $[0, 6)$ corrisponde esattamente il secondo $t = 81\text{ s}$.\nc) A partire dalla tua deduzione, indica il valore esatto dell'altezza dell'acqua in $t = 81\text{ s}$.

In un laboratorio di controllo qualità a Pisa, un pezzo metallico appena temprato viene inserito in una cella di raffreddamento. La temperatura del pezzo (in $^\circ\text{C}$) in funzione del tempo trascorso $t$ (in ore) segue un modello del tipo:\n$$T(t) = A \cdot (0{,}65)^t + C$$\nSi sa che nell'istante in cui il pezzo viene inserito ($t = 0\text{ h}$) la sua temperatura è di $320^\circ\text{C}$ e che, se venisse lasciato nella cella indefinitamente ($t \to \infty$), la sua temperatura tenderebbe a stabilizzarsi sulla temperatura di regime della cella frigorifera, che si mantiene costante a $18^\circ\text{C}$.\na) Deduci in modo motivato il valore delle costanti $A$ e $C$ a partire dai dati forniti sull'andamento a lungo termine e sul valore iniziale.\nb) Scrivi la formula definitiva di $T(t)$ e determina l'equazione dell'asintoto orizzontale della funzione, spiegando quale significato fisico ha tale retta nel processo industriale.

La famosa ruota panoramica "London Eye" ha un diametro di circa $120\text{ m}$. I passeggeri salgono sulle cabine nel punto più basso, che si trova praticamente a livello del suolo ($0\text{ m}$). La ruota gira a velocità costante e impiega esattamente $30\text{ minuti}$ per compiere un giro completo. Qual è il periodo della funzione che descrive l'altezza di una cabina rispetto al tempo? A che altezza si troverà un passeggero dopo $45\text{ minuti}$ dalla salita, se non è sceso?

La concentrazione di un antibiotico nel sangue di un paziente (misurata in $\text{mg/L}$) dopo $t$ ore dalla somministrazione è data dall'espressione matematica $C(t) = \frac{15t}{t^2 + 5}$. Calcola la concentrazione dopo $2\text{ ore}$, dopo $10\text{ ore}$ e dopo $100\text{ ore}$. A partire da questi risultati, qual è la tendenza della concentrazione a lungo termine?

Il seguente grafico mostra un elettrocardiogramma (ECG) semplificato di un paziente a riposo. Determina il periodo della funzione in secondi e, a partire da questo dato, calcola la frequenza cardiaca del paziente espressa in battiti al minuto (bpm).

La tabella delle maree di un porto peschereccio indica che la prima alta marea del giorno avviene alle 04:00 di notte e la successiva bassa marea alle 10:15 del mattino. Supponendo che il livello del mare si comporti come una funzione periodica in cui salita e discesa durano lo stesso tempo, qual è il suo periodo in ore e minuti? A che ora esatta avverrà la successiva alta marea?

Una piccola fabbrica di scarpe sportive ha costi fissi giornalieri di $800\text{ \euro}$ (affitto, luce, assicurazioni) e produrre ogni paio di scarpe ha un costo di materiali di $5\text{ \euro}$. Il costo medio per scarpa quando si producono $x$ paia al giorno è dato dalla funzione $C_m(x) = \frac{800 + 5x}{x}$. Calcola il costo medio se in un giorno si producono $10$, $100$ e $5000$ scarpe. A quale valore tende il costo medio se il volume di produzione tende a infinito?

La popolazione di una specie protetta in una riserva naturale è stata modellizzata mediante la funzione $P(t) = \frac{6000}{1 + 4 \cdot 0,75^t}$, dove $t$ è il tempo trascorso in anni dall'inizio dello studio. Qual era la popolazione iniziale nell'anno $t=0$? A quale valore tende la popolazione a lungo termine quando $t \to +\infty$? Questo limite ha senso dal punto di vista ecologico?

Un faro marittimo di segnalazione emette un lampo di luce intensa che dura esattamente $2\text{ secondi}$, seguito da un periodo di buio totale di $7\text{ secondi}$, ripetendo questo ciclo ininterrottamente. Se il faro si accende per la prima volta nella notte alle 22:00:00, qual è il periodo di questa funzione luminosa? La luce sarà accesa o spenta alle 22:01:15?

Osserva il seguente grafico che rappresenta il livello dell'acqua (in metri) in un serbatoio industriale automatizzato nel tempo (in minuti). Determina il periodo della funzione e calcola quale sarà il livello esatto dell'acqua al minuto $t = 86$.

Il livello dell'acqua nella laguna di Venezia oscilla periodicamente a causa delle maree, completando un ciclo ogni $12\text{ ore}$. Nell'alta marea, alle $t = 0\text{ h}$ e alle $t = 12\text{ h}$, l'acqua raggiunge la sua quota massima di $4{,}5\text{ m}$. Nella bassa marea, a metà ciclo ($t = 6\text{ h}$), il livello scende fino alla quota minima di $1{,}5\text{ m}$.\na) Senza applicare formule complesse, fai una stima ragionata di tra quali due valori si troverà l'altezza della marea dopo $t = 27\text{ ore}$ dall'inizio e determina se in quell'istante l'acqua starà salendo o scendendo. Giustifica la tua stima deducendo quanti cicli completi saranno trascorsi e in quale punto del ciclo si trova quell'istante.\nb) Sapendo che l'altezza è modellizzata dalla funzione $h(t) = 3 + 1{,}5 \cdot \cos\left(\dfrac{\pi}{6} t\right)$ (con l'angolo in radianti), calcola il valore esatto di $h(27)$ e verifica se la tua stima iniziale era corretta e coerente con il risultato numerico.

Un rapporto dell'Istituto Nazionale di Statistica (ISTAT) analizza lo spopolamento in un piccolo comune rurale dell'Appennino. A partire dall'anno 2020 ($t = 0$), il numero di abitanti censiti segue la seguente funzione con tendenza:\n$$P(t) = 540 \cdot (0{,}8)^t + 360$$\ndove $t$ è il tempo trascorso in anni e $P(t)$ rappresenta la popolazione totale.\na) Qual era la popolazione del comune nell'anno 2020 e quanti abitanti sono previsti per l'anno 2023?\nb) Analizza la tendenza della popolazione a lunghissimo termine ($t \to \infty$). Giustifica matematicamente verso quale valore si stabilizza la popolazione, basandoti sul comportamento della base $0{,}8$ elevata a esponenti sempre più grandi, e indica l'equazione dell'asintoto orizzontale.\nc) Un titolo di giornale locale afferma: «Se la tendenza demografica non cambia, questo comune finirà per restare completamente deserto con $0$ abitanti». Confuta matematicamente questa affermazione basandoti sul concetto di asintoto orizzontale del modello.

Il seguente grafico mostra l'altezza di una persona che pratica bungee jumping nel tempo, legata all'oscillazione della corda elastica. Analizza il grafico e rispondi: qual è il "periodo" temporale approssimativo tra i primi due rimbalzi? Si può considerare una funzione strettamente periodica? A quale valore tende l'altezza della persona quando il tempo tende a infinito e cosa rappresenta fisicamente quel valore?

I profitti mensili di una startup (in migliaia di euro) dalla sua creazione sono dati dalla funzione razionale $B(x) = \frac{ax + 50}{x + 2}$, dove $x$ è il numero di mesi trascorsi. Se sappiamo che nel mese iniziale ($x=0$) il profitto è stato di $25\text{ mil \euro}$ e che, a lungo termine, gli studi di mercato indicano che i profitti tendono a stabilizzarsi a $120\text{ mil \euro}$ al mese, determina il valore esatto del parametro $a$ e calcola il profitto previsto per il mese $8$.

In uno stabilimento industriale automatizzato, la macchina A richiede una sosta di manutenzione ogni $45\text{ minuti}$ e la macchina B richiede una sosta ogni $60\text{ minuti}$. Se entrambe le macchine ricevono manutenzione simultanea alle 08:00 del mattino, a che ora coinciderà di nuovo esattamente la manutenzione? Se definiamo una funzione matematica che vale $1$ quando entrambe le macchine sono ferme contemporaneamente e $0$ nel resto del tempo, qual è il periodo di tale funzione?

Un serbatoio da $500\text{ L}$ inizialmente vuoto viene riempito con un rubinetto che eroga $20\text{ L/min}$ per $15\text{ minuti}$. Esattamente in quel momento, il rubinetto si chiude e si apre una valvola di scarico che svuota il serbatoio a un ritmo costante di $50\text{ L/min}$ finché non è completamente vuoto; a quel punto la valvola si chiude, il rubinetto si apre e il ciclo ricomincia. Disegna mentalmente il grafico del volume d'acqua in funzione del tempo. Qual è il periodo completo di questo processo? Quale volume esatto di acqua ci sarà nel serbatoio al minuto $100$?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Sia $f(x)$ una funzione definita nell'intervallo $[0, 4)$ mediante l'espressione algebrica $f(x) = x^2 - 2x$. Sappiamo inoltre che la funzione è periodica di periodo $T = 4$ per qualsiasi valore di $x \ge 0$, e che vale $f(x+4) = f(x)$. Basandoti su queste proprietà, calcola passo dopo passo il valore esatto di $f(2019)$.

La temperatura interna di un motore industriale in funzione (misurata in $^\circ\text{C}$) segue la legge matematica $T(t) = 90 - \frac{120}{t + 2}$, dove $t$ è il tempo trascorso in ore dall'accensione. Qual è la temperatura al momento dell'avviamento del motore? A quale temperatura massima tende se il motore funziona ininterrottamente per settimane? Quanto tempo esatto deve trascorrere perché la temperatura interna raggiunga $85^\circ\text{C}$?

Un satellite meteorologico orbita attorno alla Terra in modo da passare esattamente sopra una stazione di tracciamento a terra ogni $4\text{ ore e } 15\text{ minuti}$. Se il primo passaggio della settimana sopra la stazione viene registrato un lunedì alle 02:30 di notte, quante volte passerà in totale sopra la stazione nel corso dell'intera settimana (fino a domenica alle 23:59)? In quale giorno e a che ora esatta sarà l'ultimo passaggio registrato in quella settimana?

Le vendite giornaliere stimate di due prodotti concorrenti, A e B, seguono le seguenti funzioni di tendenza al passare dei giorni $t$: $V_A(t) = 500 - \frac{1000}{t+1}$ e $V_B(t) = 600 - \frac{3000}{t+1}$. A quali valori limite tendono le vendite di ciascun prodotto a lungo termine? A partire da quale giorno $t$ le vendite del prodotto B superano definitivamente quelle del prodotto A?

Un sensore installato su un aerogeneratore di un parco eolico in Puglia registra le vibrazioni di una pala mediante una funzione periodica di periodo $T = 1{,}25\text{ secondi}$. Il team di manutenzione dispone soltanto della tabella dei dati del primo ciclo, corrispondente all'intervallo $[0; 1{,}25)\text{ secondi}$, e deve valutare lo stato della pala esattamente nell'istante $t = 253{,}5\text{ secondi}$. Due analisti propongono metodi diversi:\n- Metodo A (Quoziente decimale diretto): Dividere $253{,}5$ per $1{,}25$ con la calcolatrice ($253{,}5 : 1{,}25 = 202{,}8$), prendere la parte decimale $0{,}8$ e moltiplicarla per il periodo ($0{,}8 \cdot 1{,}25 = 1{,}0\text{ s}$) per individuare il punto all'interno del primo ciclo.\n- Metodo B (Raggruppamento dei cicli in interi esatti): Osservare che il periodo è frazionario ($T = \dfrac{5}{4}\text{ s}$), per cui ogni $4$ periodi completi trascorrono esattamente $4 \cdot 1{,}25 = 5\text{ secondi}$. Scomporre $253{,}5\text{ s}$ separando il maggior multiplo intero di $5\text{ s}$ per ridurre drasticamente il valore prima di eseguire la divisione finale.\na) Sviluppa entrambi i metodi passo dopo passo. Si ottiene in entrambi i casi lo stesso istante equivalente all'interno di $[0; 1{,}25)$? Qual è?\nb) Immagina ora che il sensore venga sostituito da un altro il cui periodo esatto è $T = \dfrac{4}{3}\text{ secondi}$ ($1{,}3333\dots\text{ s}$). Ragiona su quale dei due metodi risulterebbe rischioso a causa dell'arrotondamento dei decimali della calcolatrice e giustifica quale dovresti scegliere per garantire la massima precisione matematica.

Nel reparto di progettazione di una casa automobilistica a Torino si mette alla prova l'ammortizzazione di un veicolo che supera un dosso. Lo spostamento verticale della carrozzeria rispetto al telaio, $y(t)$ (in centimetri), oscilla su e giù raggiungendo creste successive ogni $0{,}5\text{ secondi}$, ma l'altezza di tali creste diminuisce rapidamente finché l'auto torna alla sua posizione di riposo ($y = 0$).\na) Un ingegnere tirocinante afferma: «Dato che l'auto sale e scende regolarmente ogni $0{,}5\text{ secondi}$, la funzione che descrive il movimento è periodica di periodo $T = 0{,}5\text{ s}$». Utilizza la rigorosa definizione matematica di funzione periodica, $f(t+T) = f(t)$ per ogni $t$ del suo dominio, per confutare la sua affermazione e dimostrare che un'oscillazione smorzata non può mai essere strettamente periodica.\nb) Costruisci una funzione $y(t)$ che modellizzi matematicamente questo comportamento soddisfacendo contemporaneamente le seguenti tre condizioni:\n 1. All'istante dell'impatto ($t = 0$), lo spostamento iniziale sia $y(0) = 8\text{ cm}$.\n 2. Contenga un fattore oscillatorio della forma $\cos(k \cdot t)$ il cui periodo sia $0{,}5\text{ secondi}$ (ricorda che il periodo di $\cos(kt)$ è $\dfrac{2\pi}{k}$).\n 3. La sua ampiezza decada verso la posizione di equilibrio mediante un fattore della forma $b^t$ con $0 < b < 1$, in modo che la funzione tenda a $0$ quando $t \to \infty$.\nVerifica algebricamente che la formula che hai progettato soddisfa $y(0) = 8$ e che il suo limite per $t \to \infty$ è effettivamente $0$.