Esercizi: Rappresentazione di funzioni

Un tassista fa pagare uno scatto iniziale di $3$ € e $1,5$ € per ogni chilometro percorso. Scrivi l'espressione algebrica della funzione che mette in relazione il costo della corsa con i chilometri percorsi.

Determina le coordinate del vertice e l'equazione dell'asse di simmetria della parabola $f(x) = x^2 - 6x + 5$.

Indica quali sono gli asintoti verticale e orizzontale della funzione di proporzionalità inversa $f(x) = \frac{2}{x-3} + 4$.

In un quiz a domande, i punti accumulati raddoppiano a ogni turno superato. Se inizi con $100$ punti, scrivi la funzione esponenziale $P(r)$ che fornisce i punti in funzione del numero di turni $r$ superati.

Data la funzione definita a tratti $f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$, calcola i valori numerici di $f(-2)$, $f(0)$ e $f(3)$.

Determina il dominio della funzione irrazionale $f(x) = \sqrt{2x - 8}$.

Una retta passa per i punti $(-3, -4)$ e $(0, 4)$. Determina il suo coefficiente angolare, la sua ordinata all'origine e la sua espressione algebrica.

Determina il dominio della funzione logaritmica $f(x) = \log_3(x - 5)$.

Marco deve rappresentare la funzione razionale $f(x) = \dfrac{3}{x-2} + 4$. Sul suo quaderno scrive: «Poiché il denominatore si annulla in $x = 2$, l'asintoto orizzontale è $x = 2$. E poiché la costante sommata alla fine è $4$, l'asintoto verticale è $y = 4$. Quindi il grafico non può intersecare nessuno dei due assi coordinati». Individua i due errori concettuali commessi da Marco, spiega con parole tue perché confonde il comportamento degli asintoti e correggi la sua analisi determinando le equazioni corrette di entrambi gli asintoti e le coordinate del punto di intersezione con l'asse $Y$.

Determina l'espressione algebrica di una funzione quadratica della forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ che soddisfi contemporaneamente queste tre condizioni geometriche: ha il vertice nel punto $V(3, 4)$, interseca l'asse delle ordinate (asse $Y$) nel punto $(0, -5)$ e ha la concavità rivolta verso il basso. Spiega passo dopo passo come ricavi i coefficienti $a$, $b$ e $c$ a partire dalla simmetria della parabola e dalle proprietà del vertice, senza limitarti a risolvere meccanicamente un sistema di tre equazioni in tre incognite.

Il guadagno della vendita delle magliette della festa di fine anno, in euro, è dato dalla funzione $B(x) = -2x^2 + 120x - 1000$, dove $x$ è il numero di magliette vendute in centinaia. Quante magliette devono vendere per massimizzare il guadagno e qual è tale guadagno massimo?

Il grafico seguente mostra la velocità di un ciclista in funzione del tempo. Determina l'espressione algebrica della funzione definita a tratti che la rappresenta.

Il noleggio di un autobus per una gita scolastica costa $600$ €. Scrivi la funzione $C(x)$ che determina il costo per studente in funzione del numero di studenti $x$ che partecipano. Se all'ultimo momento si ritirano $5$ studenti, scrivi la nuova funzione del costo per studente e trova quanto pagherà ciascuno se originariamente dovevano partecipare $30$ studenti.

Si investono $5000$ € in un deposito bancario che offre un interesse composto annuo del $4\%$. Scrivi la funzione esponenziale che modellizza il capitale accumulato dopo $t$ anni e calcola il capitale disponibile dopo $5$ anni.

Il tempo $t$ (in secondi) che un oggetto lasciato cadere da un'altezza $h$ (in metri) impiega per arrivare a terra si approssima con la funzione irrazionale $t(h) = \sqrt{\frac{2h}{9,8}}$. Calcola il dominio della funzione in questo contesto e determina il tempo che impiega a cadere un oggetto lasciato da $4,9$ metri di altezza.

A partire dalla parabola base $y = x^2$ (in tratteggio), è stata eseguita una traslazione per ottenere la parabola in tratto continuo. Scrivi l'espressione algebrica della nuova parabola e indica il vettore di traslazione applicato.

Il livello di intensità sonora $L$, in decibel (dB), si calcola mediante la funzione logaritmica $L(I) = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$, dove $I$ è l'intensità del suono e $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ è la soglia di udibilità. Calcola il livello di intensità sonora di una conversazione normale la cui intensità è $I = 10^{-6} \text{ W/m}^2$.

L'altezza $h(t)$ in metri di una cabina di una ruota panoramica rispetto al suolo in funzione del tempo $t$ in minuti è data da $h(t) = 12 + 10\sin\left(\frac{\pi}{4}t\right)$. Qual è l'altezza massima e minima che raggiunge la ruota? Quanto tempo impiega a fare un giro completo?

In una gara di atletica scolastica in Italia, il lancio del peso di un'atleta descrive una traiettoria parabolica data dalla funzione $h(x) = -0,05x^2 + 0,6x + 1,8$, dove $x$ è la distanza orizzontale percorsa in metri e $h(x)$ è l'altezza dell'attrezzo dal suolo in metri.

1. a) Prima di calcolare con le formule, stima in modo ragionato tra quali valori interi si trova la distanza alla quale si raggiunge l'altezza massima e se la misura finale supererà i $14\text{ m}$, basandoti sul significato dell'ordinata all'origine e sulla rapidità con cui cambia la traiettoria.
2. b) Calcola con esattezza le coordinate del vertice e la gittata totale del lancio (intersezione con il suolo, $h(x) = 0$). Confronta i valori numerici ottenuti con le tue stime precedenti e valuta se il modello matematico è coerente con la realtà di questo sport.

Un'azienda pubblica di approvvigionamento idrico in Italia fattura il consumo domestico bimestrale per favorire il risparmio responsabile mediante una tariffa a scaglioni. La quota fissa del servizio è di $12$ € a bimestre. Il consumo di acqua viene fatturato secondo le seguenti regole:

• I primi $20\text{ m}^3$ consumati hanno un prezzo ridotto di $0,50$ € per ogni $\text{m}^3$.

• Per consumi superiori a $20\text{ m}^3$ e fino a un massimo di $50\text{ m}^3$, i primi $20\text{ m}^3$ si fatturano alla tariffa ridotta e ogni metro cubo aggiuntivo oltre i $20$ costa $1,20$ €.

• Ogni consumo che supera i $50\text{ m}^3$ si paga sommando gli scaglioni precedenti più $2,00$ € per ogni metro cubo oltre i $50\text{ m}^3$.

Scrivi l'espressione analitica della funzione a tratti $C(x)$ che mette in relazione il costo totale della fattura (in euro) in funzione dei metri cubi $x$ consumati. Spiega come calcoli i termini noti di ciascun tratto per garantire che la funzione sia continua e non si produca alcun salto ingiustificato nell'importo.

Esprimi la funzione $f(x) = |x^2 - 5x + 6|$ come funzione definita a tratti senza usare il valore assoluto. Indica in quali intervalli la funzione quadratica originale era negativa prima di applicare il valore assoluto.

La traiettoria di un proiettile descrive una parabola di equazione $y = ax^2 + bx + c$. Sapendo che il proiettile viene lanciato dal punto $(0, 3)$, raggiunge la sua altezza massima nel punto $(2, 7)$ e cade al suolo, determina l'espressione algebrica della parabola e trova a quale distanza orizzontale dal punto di lancio toccherà il suolo.

Il grafico mostra l'intersezione tra la retta $y = -x + 5$ e l'iperbole $y = \frac{4}{x}$. Calcola in modo analitico le coordinate esatte dei punti di intersezione $A$ e $B$.

La quantità di Carbonio-14 in un reperto fossile diminuisce in modo esponenziale secondo la funzione $N(t) = N_0 \cdot (0,5)^{\frac{t}{5730}}$, dove $N_0$ è la quantità iniziale e $t$ il tempo in anni. Se un osso conserva solo il $12,5\%$ del suo Carbonio-14 originale, quanti anni sono trascorsi?

Un agricoltore dispone di $120$ metri di recinzione per recintare un terreno rettangolare adiacente a un fiume rettilineo. Sapendo che non deve recintare il lato che dà sul fiume, scrivi la funzione che fornisce l'area del terreno in funzione della larghezza $x$ perpendicolare al fiume. Quali dimensioni massimizzano l'area e qual è l'area massima?

Data la funzione di proporzionalità inversa $f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}$, determina l'espressione della sua funzione inversa $f^{-1}(x)$. Verifica analiticamente che gli asintoti verticali e orizzontali si scambiano tra $f(x)$ e $f^{-1}(x)$.

Determina i valori dei parametri $a$, $b$ e $c$ della funzione razionale $f(x) = \frac{ax + 2}{bx + c}$ sapendo che ha un asintoto verticale in $x = 1$, un asintoto orizzontale in $y = 3$ e passa per il punto $(2, 8)$.

Il costo mensile della bolletta dell'acqua in un comune si calcola mediante una funzione definita a tratti: una quota fissa di $10$ € che comprende i primi $15 \text{ m}^3$, un costo di $0,5$ € per $\text{m}^3$ aggiuntivo per il consumo tra $15 \text{ m}^3$ e $30 \text{ m}^3$, e un costo di $1,2$ € per ogni $\text{m}^3$ che supera i $30 \text{ m}^3$. Scrivi l'espressione analitica della funzione costo $C(x)$ in funzione dei metri cubi totali consumati $x$.

Per rappresentare con precisione la funzione quadratica $f(x) = 2x^2 - 12x + 10$ e determinarne l'asse di simmetria e il vertice, due studenti sostengono strategie diverse:

• Irene propone di trasformare l'espressione algebrica completando il quadrato fino a ottenere la forma canonica $f(x) = a(x - p)^2 + q$.

• Sergio propone di risolvere prima l'equazione $2x^2 - 12x + 10 = 0$ con la formula risolutiva, fare la media delle due radici per collocare l'asse di simmetria nel punto medio e sostituire quell'ascissa nella funzione per trovare il vertice.

1. a) Applica passo dopo passo entrambi i metodi per trovare le coordinate del vertice e l'asse di simmetria.
2. b) Confronta i due percorsi: quali vantaggi e svantaggi ha ciascuno? Giustifica in quale situazione concreta (ad esempio, in base al segno del discriminante dell'equazione) il metodo di Sergio non è più applicabile direttamente nell'insieme dei numeri reali, mentre il procedimento di Irene continua a funzionare senza alcun ostacolo.

Una boa oceanografica installata al largo delle coste della Sardegna monitora le oscillazioni delle maree. L'altezza del livello del mare $h(t)$ (in metri) rispetto a un fondale di riferimento segue un comportamento periodico di periodo $T = 12\text{ h}$. Durante un ciclo di base $t \in [0, 12]$, l'altezza è modellizzata mediante due tratti parabolici:

• Tratto di bassa marea (attorno al livello minimo), per $t \in [0, 6]$: $h(t) = a(t - 3)^2 + 1$.

• Tratto di alta marea (attorno al livello massimo), per $t \in [6, 12]$: $h(t) = -a(t - 9)^2 + k$.

Dai registri del porto si sa che il livello del mare varia in modo continuo (senza salti bruschi), che la bassa marea minima è $1\text{ m}$ e che l'alta marea massima è $5\text{ m}$.

1. a) Ricava i valori esatti dei parametri $a$ e $k$. Giustifica il tuo ragionamento a partire dalle coordinate dei vertici e dalla condizione di continuità nell'istante di cambio di tratto ($t = 6\text{ h}$).
2. b) Senza dover definire nuove formule per tempi successivi, determina con ragionamento l'altezza del mare negli istanti $t = 27\text{ h}$ e $t = 66\text{ h}$ basandoti esclusivamente sulla proprietà formale di periodicità $h(t + T) = h(t)$.