Esercizi: Schemi e regolarità

Osserva le seguenti sequenze numeriche e scrivi i due termini successivi di ciascuna, spiegando la regola che seguono:

• $5,\ 9,\ 13,\ 17,\ \ldots$

• $2,\ 6,\ 18,\ 54,\ \ldots$

• $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ \ldots$

Un lavoretto consiste nel costruire triangoli in catena con degli stuzzicadenti, come mostrato nella figura.

• Quanti stuzzicadenti servono per costruire la figura 4?

• E per la figura 5?

La successione $a_n$ ha termine generale $a_n = 4n - 1$. Calcola i termini $a_1$, $a_5$ e $a_{20}$.

Una successione parte da $7$ e ogni termine si ottiene sommando $6$ al precedente. Scrivi i suoi primi cinque termini e calcola il termine che occupa il posto $10$.

Osserva la sequenza di figure formate da punti nell'immagine.

• Quanti punti avrà la figura 4? E la figura 5?

• Che relazione c'è tra il numero della figura e la quantità di punti?

La successione di Fibonacci inizia così: $1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ \ldots$; ogni termine si ottiene sommando i due precedenti. Scrivi i quattro termini successivi.

Martina inizia l'anno scolastico con $10\ \text{€}$ nel suo salvadanaio e, da quel momento, mette da parte $3\ \text{€}$ ogni settimana.

• Scrivi la sequenza del denaro accumulato alla fine di ciascuna delle prime cinque settimane.

• Quanto denaro avrà alla fine della settimana $12$?

Osserva la sequenza $1,\ -2,\ 3,\ -4,\ 5,\ -6,\ \ldots$

• Scrivi i tre termini successivi.

• Qual è il termine che occupa il posto $25$? È positivo o negativo?

Lucia osserva uno schema di torri costruite con blocchi quadrati: la torre 1 ha 5 blocchi, la torre 2 ha 8 blocchi e la torre 3 ha 11 blocchi. Accorgendosi che a ogni passo si aggiungono 3 blocchi, afferma: «Poiché a ogni tappa si sommano 3 blocchi e la prima ne ha 5, il termine generale che dà il totale dei blocchi della torre $n$ è $a_n = 3 \cdot n + 5$».

1. a) Calcola i valori che la formula di Lucia fornisce per $n = 1$, $n = 2$ e $n = 3$, e confrontali con i blocchi reali di ciascuna torre.
2. b) Individua l'errore di ragionamento che commette Lucia nel mettere in relazione la parte fissa dello schema con la parte che aumenta a ogni passo.
3. c) Deduci l'espressione corretta del termine generale $a_n$ a partire dalla scomposizione strutturale della figura (individuando quanti blocchi fissi ci sono e quanti se ne aggiungono in base al numero del passo) e verifica che coincida con i tre casi noti.

Un principio chiave nello studio delle regolarità è che pochi termini iniziali non determinano un'unica successione.

1. a) Scrivi i primi quattro termini della successione il cui termine generale è $a_n = 2^n$.
2. b) Progetta il termine generale o il criterio di formazione di un'altra successione diversa, $b_n$, che soddisfi esattamente le due condizioni seguenti: che condivida con $a_n$ i primi tre valori ($b_1 = 2$, $b_2 = 4$ e $b_3 = 8$), ma che il suo quarto termine sia strettamente diverso ($b_4 \neq 16$).
3. c) Basandoti su questo esempio, spiega perché verificare che una formula funziona per $n = 1$, $n = 2$ e $n = 3$ non serve come dimostrazione matematica che sia valida per ogni $n \in \mathbb{N}$.

Un'impresa edile impila blocchi formando scale, come mostrato nella figura.

• Conta i blocchi delle figure 1, 2 e 3 e calcola quanti blocchi avrà la figura 4.

• Quanti blocchi avrà la figura 10?

• Scrivi un'espressione generale per il numero di blocchi della figura $n$. (Suggerimento: unisci ogni scala con la sua simmetrica per formare un rettangolo.)

Considera la successione $7,\ 12,\ 17,\ 22,\ \ldots$

• Trova il suo termine generale $a_n$.

• Verifica se $157$ è un termine della successione e, in caso affermativo, indica quale posto occupa.

• $200$ appartiene alla successione? Motiva la risposta.

La figura mostra come un quadrato di $4 \times 4$ punti può essere costruito aggiungendo strati a forma di «L».

1. a) Scrivi la somma rappresentata dalla figura a partire dal numero di punti di ciascuno strato e verifica il risultato.
2. b) Formula una congettura: a quanto è uguale la somma dei primi $n$ numeri dispari?
3. c) Verifica la tua congettura per $n = 6$.

L'anfiteatro di un liceo ha $12$ posti nella prima fila e ogni fila successiva ha $3$ posti in più della precedente.

• Scrivi il numero di posti delle prime quattro file.

• Determina il termine generale $a_n$ che dà i posti della fila $n$.

• Se l'anfiteatro ha $15$ file, quanti posti ha l'ultima fila?

Una successione è definita per ricorrenza così: $a_1 = 2$ e $a_n = 2\cdot a_{n-1} + 1$.

• Calcola i primi cinque termini.

• Confronta ogni termine con le potenze di $2$ ($2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \ldots$) e descrivi la regolarità che osservi.

• Alla luce della regolarità osservata, quale sarà il valore di $a_{10}$?

Osserva la successione $3,\ 6,\ 11,\ 18,\ 27,\ \ldots$

• Calcola le differenze tra termini consecutivi. Quale regolarità seguono queste differenze?

• Confronta i termini con i quadrati perfetti e determina il termine generale $a_n$.

• Calcola $a_{15}$.

In un torneo di padel del quartiere, ogni coppia gioca una volta contro ciascuna delle altre.

• Completa una tabella con il numero di partite del torneo se partecipano $2,\ 3,\ 4$ e $5$ coppie.

• Determina un'espressione generale per il numero di partite con $n$ coppie. (Suggerimento: ogni coppia gioca contro $n - 1$ avversari, ma in questo modo ogni partita viene contata due volte.)

• Quante partite si giocano se partecipano $12$ coppie?

Uno studente afferma che il termine generale della successione $2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \ldots$ è $a_n = 2n$. Indica se l'affermazione è vera o falsa, motiva la risposta e scrivi il termine generale corretto.

Su un lungomare si installano panchine continue assemblando moduli esagonali regolari di cemento in linea retta. Se si colloca un solo modulo esagonale isolato, i suoi 6 lati esterni restano liberi per sedersi. Se si uniscono due moduli in fila, condividono un lato comune interno (che resta inutilizzato), lasciando 10 lati liberi in totale. Se si uniscono tre moduli in fila, restano 14 lati liberi per sedersi.

1. a) Senza usare ancora formule, fai una stima intuitiva e motivata: se si uniscono 25 moduli esagonali di seguito, il numero totale di lati liberi sarà più vicino a 80, a 100 o a 150? Spiega su che cosa ti basi per scartare gli altri valori.
2. b) Modellizza la situazione ricavando il termine generale $L_n$ che determina il numero di lati liberi in funzione del numero $n$ di moduli uniti, separando algebricamente i lati che apportano le estremità da quelli che apporta ogni modulo intermedio.
3. c) Calcola il valore esatto di $L_{25}$, confrontalo con la tua stima precedente e valuta se il risultato numerico conferma che il tuo ragionamento iniziale era corretto.

Il servizio comunale di prestito di biciclette elettriche di una città amplia le sue installazioni lungo un viale. La prima stazione collocata dispone di 14 attacchi di ricarica. Per rispondere all'aumento previsto di utenti verso la periferia, il piano della mobilità stabilisce che ogni nuova stazione abbia 4 attacchi in più rispetto alla stazione immediatamente precedente (cioè la stazione 2 ha 18 attacchi, la 3 ne ha 22, ecc.).

1. a) Definisci mediante una formula per ricorrenza il numero di attacchi $a_n$ della stazione $n$, indicando esplicitamente il termine iniziale $a_1$ e la relazione che permette di ottenere $a_n$ a partire da $a_{n-1}$.
2. b) Ricava il termine generale esplicito $a_n$ che permette di calcolare direttamente quanti attacchi avrà una qualsiasi stazione $n$ senza dover calcolare tutte le stazioni intermedie.
3. c) Il comune riceve uno stanziamento chiuso di esattamente 70 attacchi per dotare una sola stazione del viale. Imposta l'equazione corrispondente con il termine generale e risolvila per verificare se esisterà una stazione che usa esattamente quei 70 attacchi o se avanzerà del materiale; interpreta il risultato nel contesto del problema.

La mensa di un campeggio unisce tavoli quadrati in fila per far sedere i partecipanti, come mostrato nella figura.

• Quante persone possono sedersi se si uniscono $4$ tavoli?

• Determina il termine generale che dà il numero di commensali con $n$ tavoli.

• Alla cena di chiusura partecipano $42$ persone. Quanti tavoli bisogna unire, come minimo, perché ci stiano tutti?

Due compagni discutono sul termine generale della successione che comincia con $2,\ 4,\ 8,\ \ldots$

• Aitana dice che è $a_n = 2^n$.

• Bruno dice che può essere $b_n = n^2 - n + 2$.

• Verifica che entrambe le espressioni generano i primi tre termini.

• Calcola il quarto termine secondo ciascuna delle due espressioni. Coincidono?

• Trai le conclusioni: i primi tre termini di una successione ne determinano il termine generale in modo unico?

Osserva la successione di frazioni $\frac{1}{2},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{4},\ \frac{4}{5},\ \ldots$

• Determina il suo termine generale $a_n$.

• Calcola $a_{10}$ e $a_{100}$ con tre cifre decimali.

• I termini crescono sempre di più, ma può qualche termine diventare maggiore di $1$? Motiva la risposta osservando l'espressione del termine generale.

Zenone di Elea (V secolo a. C.) si interrogava sulle somme infinite. Immagina un quadrato di lato $1$ di cui si colora la metà; poi la metà della parte rimanente; poi la metà di quel che resta, e così via.

• Scrivi la frazione del quadrato che è stata colorata dopo ciascuno dei primi quattro passi.

• Determina il termine generale $s_n$ della frazione colorata dopo $n$ passi. (Suggerimento: osserva che a ogni passo resta da colorare $\frac{1}{2^n}$ del quadrato.)

• Se il processo continuasse indefinitamente, a quale valore si avvicinerebbe la superficie colorata?

Nel suo libro Liber Abaci (1202), Leonardo da Pisa, noto come Fibonacci, pose questo problema: una coppia di conigli appena nata impiega un mese a diventare adulta; da allora, ogni mese ha una nuova coppia di cuccioli, che a loro volta seguono la stessa regola. Nessun coniglio muore.

• Partendo da una sola coppia appena nata, completa una tabella con il numero di coppie alla fine di ciascuno dei primi sei mesi.

• Scrivi la legge di ricorrenza che segue la successione.

• Quante coppie ci saranno dopo $10$ mesi?

Il triangolo di Tartaglia (o di Pascal) si costruisce mettendo degli uno sui bordi e riempiendo ogni casella interna con la somma delle due che ha sopra:

• Somma i numeri di ciascuna delle cinque righe e scrivi la sequenza di queste somme.

• Determina il termine generale di questa sequenza.

• Quanto vale la somma dei numeri della riga $12$?

I numeri triangolari sono $1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15,\ \ldots$ (punti che formano un triangolo) e i quadrati sono $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ \ldots$

• Verifica con i primi quattro casi che ogni numero quadrato (a partire da $4$) è la somma di due numeri triangolari consecutivi.

• Scrivi questa proprietà con un'uguaglianza algebrica usando i termini generali $T_n = \frac{n\cdot(n + 1)}{2}$ e $C_n = n^2$, e dimostrala.

• Illustra con un disegno di punti perché la proprietà è vera per $C_4 = 16$.

La congettura di Collatz, proposta nel 1937 e ancora non dimostrata, parte da un qualsiasi numero naturale e applica questa regola: se il numero è pari, si divide per $2$; se è dispari, si moltiplica per $3$ e si somma $1$. La congettura afferma che si arriva sempre a $1$.

• Applica la regola partendo da $7$ e scrivi la sequenza completa fino ad arrivare a $1$.

• Fai lo stesso partendo da $11$.

• Verifica la congettura per tre numeri scelti da te, uno dei quali maggiore di $50$. Pensi che verificare molti casi dimostri che la congettura è vera? Commenta la tua risposta.

Per l'illuminazione decorativa di un auditorium si progetta un pannello triangolare di lampadine: la prima fila ha 1 lampadina, la seconda fila ha 2 lampadine, la terza ha 3 lampadine, e così via fino alla fila $n$, che contiene $n$ lampadine. Si vuole calcolare il numero totale di lampadine, $T_n$, che compongono una struttura triangolare di $n$ file.

Due tecnici propongono metodi diversi per risolvere l'incarico:

• Marco suggerisce una relazione per ricorrenza: prendere $T_1 = 1$ e $T_n = T_{n-1} + n$, calcolando fila per fila in modo cumulativo.

• Elena propone un metodo geometrico: raddoppiare mentalmente la figura con un altro triangolo identico e capovolto per formare insieme un rettangolo di dimensioni $n \times (n+1)$ lampadine, calcolando $T_n$ come la metà del totale di quel rettangolo.

1. a) Sviluppa algebricamente la proposta di Elena per ottenere l'espressione esplicita di $T_n$ in funzione di $n$.
2. b) Applica entrambi i metodi per calcolare quante lampadine servono in un pannello di $n = 60$ file e verifica se entrambi portano allo stesso risultato.
3. c) Confronta criticamente le due alternative: se il comune dispone di un lotto di 1830 lampadine e ti chiede di scoprire quante file esatte avrà il pannello che si può costruire, quale dei due metodi è più efficace e diretto per rispondere? Giustifica anche in quale scenario di progettazione o di programmazione passo dopo passo l'impostazione di Marco risulterebbe più pratica di quella di Elena.

Un'azienda di telecomunicazioni installa una rete di ripetitori in un parco tecnologico. Per garantire la sicurezza del collegamento in caso di possibili guasti, ogni ripetitore deve essere collegato a tutti gli altri mediante un canale diretto di fibra ottica indipendente.

• Con 2 ripetitori serve 1 canale diretto.

• Con 3 ripetitori servono 3 canali diretti.

• Con 4 ripetitori servono 6 canali diretti.

• Con 5 ripetitori servono 10 canali diretti.

Un installatore osserva questi quattro dati e afferma: «Poiché la regolarità vale per 2, 3, 4 e 5 ripetitori, congetturo che la formula per $n$ ripetitori sia $C_n = \dfrac{n^2 - n}{2}$, ma non posso essere sicuro che non fallisca quando avremo 30 ripetitori».

1. a) Dimostra algebricamente che la congettura è vera per qualsiasi numero naturale $n \ge 2$: ragiona su quanti canali partono da ciascuno dei $n$ ripetitori e giustifica con chiarezza perché è indispensabile dividere per 2 la moltiplicazione ottenuta.
2. b) A partire dalla tua dimostrazione, spiega la differenza tra una verifica numerica di casi particolari e una dimostrazione algebrica rigorosa di una regolarità per ogni $n$.
3. c) Se il budget tecnico assegnato permette di finanziare al massimo 136 canali di fibra ottica, imposta un'equazione di secondo grado e calcola il numero massimo di ripetitori che possono essere completamente interconnessi tra loro senza superare il limite economico.