Esercizi: Studiare una funzione

Data una funzione il cui grafico è formato da due tratti continui:

• Il primo tratto va dal punto $(-3, 2)$ (incluso) al punto $(1, 4)$ (escluso), e ha un massimo relativo in $(-1, 5)$.

• Il secondo tratto va dal punto $(1, -1)$ (incluso) al punto $(8, 3)$ (incluso), e ha un minimo relativo in $(4, -2)$.

Determina il suo dominio e il suo codominio.

Calcola il tasso di variazione medio (TVM) della funzione $f(x) = 2x^2 - 3x$ nell'intervallo $[-1, 2]$.

Trova i punti di intersezione con gli assi coordinati della funzione $f(x) = \frac{3x - 6}{x + 2}$.

Determina analiticamente se la funzione $f(x) = x^4 - 5x^2 + 3$ è pari, dispari o priva di simmetria.

A partire dal seguente grafico, indica gli intervalli di monotonia (crescenza e decrescenza) e le coordinate dei suoi estremi relativi.

Calcola il dominio della funzione irrazionale $f(x) = \sqrt{2x - 8}$.

Studia la continuità della seguente funzione definita a tratti nel punto $x = 1$:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x \leq 1 \\ 4 - x & \text{si } x > 1 \end{cases}$

Individua le equazioni dell'asintoto verticale e dell'asintoto orizzontale della funzione $f(x) = \frac{5}{x - 3} + 2$.

Marco deve studiare i punti di intersezione con gli assi della funzione razionale $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$. Nel suo compito scrive il seguente procedimento:

«1. Intersezione con l'asse $Y$: calcolo $f(0) = \frac{0^2 - 4}{0 - 2} = \frac{-4}{-2} = 2$, quindi il grafico interseca nel punto $(0, 2)$.

1. Intersezioni con l'asse $X$: risolvo $f(x) = 0 \implies x^2 - 4 = 0 \implies x = 2$ e $x = -2$. Quindi il grafico interseca l'asse $X$ in due punti: $(2, 0)$ e $(-2, 0)$».

1. a) Individua l'errore concettuale commesso da Marco: quale passo fondamentale dello schema di studio di una funzione ha omesso prima di cercare le intersezioni e perché questa dimenticanza invalida una delle sue conclusioni?
2. b) Determina il dominio reale della funzione $f(x)$ e scrivi l'elenco corretto dei punti di intersezione che esistono davvero.
3. c) A partire da quanto sopra, ragiona se nel punto $x = 2$ esiste un asintoto verticale o se la funzione presenta un altro comportamento, semplificando la formula per $x \neq 2$.

Considera la funzione razionale $f(x) = \frac{6x - 2}{2x + 1}$.

1. a) Prima di eseguire qualsiasi calcolo preciso, fai una stima: quando i valori di $x$ diventano estremamente grandi (per esempio, $x$ vicino a un milione), i termini noti ($-2$ e $+1$) influiscono appena sul risultato. Tenendo conto di ciò, a quale semplice valore numerico pensi che si avvicineranno le immagini $f(x)$? Quale retta sospetti che sia l'asintoto orizzontale?
2. b) Verifica numericamente se la tua stima era corretta calcolando con esattezza i valori di $f(10)$, $f(100)$ e $f(1\,000)$ (arrotonda a tre cifre decimali se necessario).
3. c) A partire dalle tue verifiche, deduci l'equazione dell'asintoto orizzontale sia per $x \to +\infty$ sia per $x \to -\infty$, e spiega quale informazione visiva fornisce questo asintoto sull'andamento della curva agli estremi del foglio.

Il grafico che mostra l'evoluzione del numero di spettatori settimanali (in migliaia) di un film appena uscito nel tempo (in settimane) parte dal punto $(0, 10)$, cresce fino a $(5, 80)$, rimane costante tra la settimana $5$ e la $7$, decresce fino a $(10, 30)$ e rimane costante tra la settimana $10$ e la $12$, dove termina in $(12, 30)$. Studia il dominio e il codominio nel contesto del problema, e indica in quali intervalli il pubblico cresce, decresce o rimane costante.

Trova il dominio della funzione razionale $f(x) = \frac{x - 1}{x^2 - 4x - 5}$.

Studia la simmetria della funzione $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ e calcola i suoi punti di intersezione con gli assi coordinati.

La posizione di un oggetto in moto rettilineo è data dalla funzione $e(t) = 5t^2 + 2t$, dove $e$ è lo spazio in metri e $t$ il tempo in secondi. Calcola la velocità media (tasso di variazione medio) negli intervalli $[1, 3]$ e $[3, 5]$, e indica in quale intervallo l'oggetto si è mosso più velocemente.

Esprimi la funzione con valore assoluto $f(x) = |2x - 4|$ come funzione definita a tratti e determina i suoi intervalli di crescenza e decrescenza.

La variazione del livello di un bacino idrico $v$ (in metri rispetto al suo livello medio) in funzione del mese $x$ dell'anno è data dalla funzione $v(x) = -0,5x^2 + 10x - 18$. Determina in quale mese il livello del bacino è più alto, a quanto ammonta tale differenza massima rispetto al livello medio e in quali mesi il bacino si trova esattamente al livello medio ($v = 0$).

Determina le equazioni degli asintoti verticali e orizzontali della funzione $f(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}$.

Descrivi il comportamento della funzione $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 + 1}$ analizzando il suo dominio, le intersezioni con gli assi, la sua simmetria e i suoi asintoti orizzontali e verticali.

Dai dati registrati da una stazione meteorologica situata sull'altopiano in un giorno autunnale sereno, la temperatura $T$ (in gradi Celsius, °C) nel corso delle $24$ ore del giorno è modellizzata dalla funzione quadratica:

$T(t) = -0,05 \cdot (t - 15)^2 + 14$, dove $t$ è il tempo trascorso in ore dalla mezzanotte ($0 \leq t \leq 24$).

1. a) Giustifica quale sia il dominio di definizione di questa funzione in base al contesto fisico del problema.
2. b) Senza derivare, a partire dalla forma con il vertice della parabola, individua con ragionamento l'intervallo di ore in cui la temperatura aumenta, quello in cui diminuisce e le coordinate complete $(t, T)$ dell'estremo relativo (massimo giornaliero).
3. c) Calcola il tasso di variazione medio (TVM) della temperatura nel tratto della mattina compreso tra le ore $t = 7$ e le ore $t = 11$. Interpreta il significato reale del segno e delle unità di misura della grandezza ottenuta.
4. d) Imposta e risolvi l'equazione necessaria per stabilire se in qualche momento della giornata si sono raggiunti i $0$ °C (intersezioni con l'asse orizzontale delle ore).

Per studiare se la funzione razionale $g(x) = \frac{x^3}{x^2 - 9}$ presenta qualche tipo di simmetria (pari, dispari o nessuna), tre studenti propongono strade diverse:

• Alba propone di verificarlo con valori numerici: calcolare coppie di immagini di valori opposti come $g(1)$ e $g(-1)$, $g(2)$ e $g(-2)$, $g(4)$ e $g(-4)$, e controllare se coincidono o cambiano di segno.

• Bruno propone di applicare la definizione algebrica formale: sostituire $x$ con $-x$, calcolare l'espressione di $g(-x)$, semplificarla e confrontarla direttamente con $g(x)$ e con $-g(x)$.

• Carlo propone di scomporre la funzione: analizzare separatamente che il numeratore è una funzione dispari e il denominatore è una funzione pari, e dedurre la simmetria complessiva applicando una regola dei segni analoga a quella della moltiplicazione e della divisione tra numeri.

1. a) Analizza con spirito critico i tre metodi: quale o quali costituiscono una dimostrazione matematica valida per tutti i numeri del dominio e quale serve solo come indizio o verifica sperimentale?
2. b) Applica il metodo algebrico di Bruno per dimostrare con rigore quale simmetria possiede $g(x)$.
3. c) Spiega in dettaglio in che modo il risultato sulla simmetria ti permette di dimezzare il lavoro nello studio degli asintoti verticali e del segno della funzione nel suo dominio.

Data la seguente funzione definita a tratti, studia il suo dominio, la sua continuità, le intersezioni con gli assi e gli intervalli di monotonia:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{si } x < 0 \\ 2x - 4 & \text{si } 0 \leq x < 4 \\ 4 & \text{si } x \geq 4 \end{cases}$

In un triangolo isoscele di base $12$ cm e altezza $10$ cm si inscrive un rettangolo la cui base $x$ poggia sulla base del triangolo, come mostra la figura. Esprimi l'area del rettangolo in funzione della sua base $x$ e determina il dominio di questa funzione nel contesto geometrico del problema.

La funzione razionale $f(x) = \frac{ax + b}{x + c}$ passa per il punto $(0, 1)$, ha un asintoto verticale nella retta $x = 2$ e un asintoto orizzontale nella retta $y = 3$. Imposta un sistema di equazioni e trova i valori dei parametri $a$, $b$ e $c$.

La concentrazione di un determinato farmaco nel sangue di un paziente, in mg/L, dopo $t$ ore dalla somministrazione è data dal modello $C(t) = \frac{10t}{t^2 + 1}$. Calcola il tasso di variazione medio nella prima ora (intervallo $[0, 1]$) e interpreta il risultato. Inoltre, stabilisci con un ragionamento matematico qual è la tendenza della concentrazione del farmaco a lungo termine (quando $t \to \infty$).

Disegna sul quaderno il grafico di una funzione $f(x)$ che soddisfi contemporaneamente tutte le seguenti condizioni:

• Il suo dominio è $\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$.

• È una funzione con simmetria dispari.

• Ha asintoti verticali in $x = -2$ e $x = 2$, e un asintoto orizzontale in $y = 0$.

• Presenta un massimo relativo nel punto $(-4, 1)$ e un minimo relativo in $(4, -1)$.

• Passa per l'origine degli assi.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

A partire dalla funzione quadratica $f(x) = x^2 - 4x$, ottieni l'espressione analitica come funzione a tratti di $g(x) = |x^2 - 4x|$. Rappresenta mentalmente la situazione e determina gli intervalli di concavità e convessità di $g(x)$.

Un proiettile viene lanciato verso l'alto e segue una traiettoria descritta dalla funzione $h(t) = -5t^2 + 20t + 25$, dove $h$ è l'altezza in metri e $t$ il tempo in secondi dal lancio. Determina il dominio della funzione limitato alla durata reale del volo (fino all'impatto con il suolo), l'altezza da cui è stato lanciato, l'altezza massima che raggiunge e il tempo totale di volo.

Dimostra analiticamente se la funzione $f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4}$ è simmetrica pari, dispari o nessuna delle due. Poi calcola le sue intersezioni con gli assi e determina le equazioni dei suoi asintoti verticali e orizzontali.

Trova l'espressione analitica di una funzione razionale della forma $f(x) = \frac{a \cdot x + b}{x - c}$, dove $a$, $b$ e $c$ sono numeri reali da determinare, sapendo che soddisfa contemporaneamente le seguenti tre condizioni:

1. Il suo grafico presenta un asintoto verticale nella retta $x = 3$.

2. Interseca l'asse delle ascisse ($X$) nel punto $(-2, 0)$.

3. Quando i valori della variabile indipendente crescono senza limite ($x \to +\infty$), le immagini si avvicinano alla retta orizzontale di equazione $y = 4$.

1. a) Deduci passo dopo passo e in modo giustificato il valore dei coefficienti $a$, $b$ e $c$. Verifica che il numeratore della funzione ottenuta non si annulli in $x = 3$.
2. b) Trova il punto di intersezione del grafico con l'asse delle ordinate ($Y$).
3. c) Calcola il tasso di variazione medio (TVM) della funzione negli intervalli $[4, 5]$ e $[5, 8]$. Alla luce di questi risultati e dell'asintoto verticale trovato, stabilisci con un ragionamento se è possibile che la funzione abbia un massimo o un minimo relativo nell'intervallo $(3, +\infty)$ o se in esso la monotonia è costante.

Una cooperativa agricola in Italia acquista una nuova confezionatrice tramite noleggio commerciale. La macchina comporta costi fissi mensili di $1\,200$ € (assicurazione e canone) e un costo variabile di $25$ € per ogni tonnellata di frutta lavorata. La funzione che esprime il costo medio unitario per tonnellata (in euro per tonnellata) lavorando $x$ tonnellate in un mese è:

$\bar{C}(x) = \frac{1\,200 + 25x}{x}$

1. a) Determina il dominio di definizione di $\bar{C}(x)$ nel contesto reale del problema e spiega perché i valori $x \leq 0$ non hanno senso operativo.
2. b) Analizza la tendenza e l'asintoto verticale della funzione quando la produzione si avvicina a zero da destra ($x \to 0^+$). Che interpretazione economica ha il fatto che il valore di $\bar{C}(x)$ cresca verso $+\infty$ quando si lavora una quantità minuscola di frutta?
3. c) Calcola analiticamente l'asintoto orizzontale della funzione per $x \to +\infty$. Stabilisci con un ragionamento se la cooperativa potrà mai ridurre il proprio costo medio al di sotto di $25$ € per tonnellata aumentando indefinitamente il volume di produzione.
4. d) Dimostra che la funzione è strettamente decrescente in tutto il suo dominio provando che $TVM[a, b] = -\frac{1\,200}{ab} < 0$ per ogni $0 < a < b$; poi valuta il TVM in due intervalli di uguale lunghezza ma di diversa scala di produzione (per esempio $[10, 30]$ e $[100, 120]$) e interpreta quale conclusione pratica deve trarre la direzione della cooperativa sull'ammortamento dei costi fissi.