Esercizi: Statistica descrittiva bivariata

Nello studio delle relazioni tra due variabili è fondamentale distinguere se esiste una dipendenza esatta o una relazione statistica. Indica in quali dei seguenti casi la relazione è funzionale (esiste una formula esatta) e in quali è statistica (esiste una tendenza ma con variabilità):

• a) Il numero di litri di benzina erogati in un distributore e il costo totale da pagare.

• b) Il voto ottenuto in un compito di Matematica e il numero di ore che lo studente ha dedicato allo studio quella settimana.

• c) Il tempo per cui rimane accesa una lampadina a basso consumo e il consumo energetico registrato dal contatore.

• d) L'altezza di una persona e il numero di scarpe che porta.

• e) La temperatura massima giornaliera in una città e il numero di gelati venduti in un chiosco della stessa città.

È stata svolta un'indagine su 10 studenti del primo anno di liceo sul numero di ore settimanali dedicate allo sport ($X$) e sulla loro frequenza cardiaca a riposo ($Y$). I risultati sono stati rappresentati nel seguente diagramma di dispersione:

Osservando il grafico, rispondi alle seguenti domande:

• a) La correlazione tra le variabili è positiva o negativa? Spiega che cosa significa nel contesto del problema.

• b) Pensi che la correlazione sia forte o debole? Giustifica la risposta basandoti sulla vicinanza dei punti a una possibile retta.

Un gruppo di 20 adolescenti è stato classificato in base all'abitudine alla lettura (Lettore frequente / Non lettore) e alla preferenza per il formato dei libri (Carta / Digitale). I dati ottenuti sono:

• 8 sono lettori frequenti e preferiscono il formato cartaceo.

• 4 sono lettori frequenti e preferiscono il formato digitale.

• 2 non sono lettori ma preferiscono il formato cartaceo.

• 6 non sono lettori e preferiscono il formato digitale.

Organizza queste informazioni in una tabella di frequenze congiunte (tabella di contingenza), includendo i totali marginali nelle righe e nelle colonne.

A partire dalla seguente tabella di contingenza, che mostra il tipo di dispositivo principale usato per studiare e la classe dello studente (terza media o primo anno di liceo), rispondi alle domande:

Classe / Dispositivo	Tablet	Portatile	Cellulare	Totale
Terza media	12	15	8	35
Primo anno di liceo	10	25	5	40
Totale	22	40	13	75

• a) Qual è la frequenza assoluta congiunta degli studenti che frequentano il primo anno di liceo e usano principalmente il portatile?

• b) Determina la frequenza marginale degli studenti che usano il tablet.

• c) Quanti studenti in totale hanno partecipato allo studio?

• d) Quale percentuale degli studenti totali frequenta la terza media?

Associa ciascuno dei seguenti valori del coefficiente di correlazione lineare di Pearson, $r$, al grafico che lo rappresenta meglio:

• 1) $r = 0,95$

• 2) $r = -0,85$

• 3) $r = 0,05$

È stata ottenuta la retta di regressione che mette in relazione il tempo di utilizzo giornaliero di un social network in minuti ($X$) con il livello di batteria consumata in percentuale ($Y$). L'equazione della retta è:

$y = 0,15x + 2,5$

• a) Stima la percentuale di batteria consumata se un utente usa il social network per $120$ minuti.

• b) Se il coefficiente di correlazione lineare è $r = 0,92$, pensi che la stima precedente sia affidabile? Giustifica la risposta.

Date le seguenti coppie di variabili, indica se ti aspetti di trovare una correlazione positiva, negativa o nulla:

• a) Il numero di chilometri percorsi da un'auto e la quantità di carburante rimasta nel serbatoio.

• b) La media dei voti del liceo e il numero di ore che uno studente passa a giocare ai videogiochi.

• c) L'età di una persona e il suo numero di DNI (documento d'identità spagnolo).

• d) Il reddito mensile di una persona e la quantità di denaro che risparmia al mese.

• e) La velocità media di un atleta in una gara e il tempo che impiega a completarla.

Si dispone di una variabile bidimensionale $(X, Y)$ in cui $X$ rappresenta la temperatura esterna in $^\circ\text{C}$ e $Y$ il consumo elettrico di un centro commerciale in $kW$. Sappiamo che il baricentro della distribuzione è il punto $(\bar{x}, \bar{y}) = (22, 450)$.

Se la retta di regressione di $Y$ su $X$ ha un coefficiente angolare pari a $b = 15$:

• a) Scrivi l'equazione della retta di regressione di $Y$ su $X$ utilizzando la forma punto-coefficiente angolare: $y - \bar{y} = b(x - \bar{x})$.

• b) Quale sarebbe il consumo atteso per una temperatura di $30^\circ\text{C}$?

Un analista di social network ha raccolto dati sul numero di video brevi pubblicati da un gruppo di creatori di contenuti ($X$) e sul numero di nuovi follower ottenuti in una settimana ($Y$). La nuvola di punti risultante è mostrata di seguito:

A partire dal grafico:

1. Indica se esiste correlazione tra le due variabili e, in caso affermativo, determina il suo segno e la sua forza approssimativa.

2. Si tratta di una relazione funzionale o statistica? Giustifica la risposta.

3. Stima con ragionamento quale dei seguenti valori potrebbe corrispondere al coefficiente di correlazione lineare di Pearson $r$: $-0,92$; $0,15$; $0,94$ o $1$.

Un'azienda di spedizioni studia la relazione tra il peso dei pacchi in kg ($X$) e il costo della spedizione in euro ($Y$). Sono state analizzate 5 spedizioni con i seguenti risultati:

Peso $X$ (kg)	1	2	3	5	9
Costo $Y$ (€)	5	7	8	12	18

Calcola:

1. Il baricentro della distribuzione $(\bar{x}, \bar{y})$.

2. Le deviazioni standard marginali $\sigma_x$ e $\sigma_y$.

È stato condotto uno studio sulla relazione tra il tempo che uno studente di quarta liceo dedica ogni giorno ai videogiochi in ore ($X$) e il suo tempo di reazione misurato in millisecondi in un test specifico ($Y$). I parametri ottenuti sono:

$\bar{x} = 2,5$; $\bar{y} = 310$; $\sigma_x = 1,2$; $\sigma_y = 45$ e la covarianza $\sigma_{xy} = -48,6$.

1. Calcola il coefficiente di correlazione lineare di Pearson.

2. Interpreta il risultato ottenuto in base al contesto del problema. Che cosa accade alla capacità di reazione all'aumentare delle ore di gioco?

Una piattaforma di streaming analizza la relazione tra la temperatura esterna media in gradi Celsius ($X$) e il numero di ore che i suoi utenti trascorrono guardando serie TV in un fine settimana ($Y$). La retta di regressione di $Y$ su $X$ ottenuta è:

$y = -0,45x + 18,2$

1. Se in un fine settimana la temperatura media è di $8 ^\circ C$, quante ore si stima che un utente trascorrerà guardando serie TV?

2. Se il coefficiente di determinazione è $R^2 = 0,81$, quale affidabilità ha la previsione precedente? Spiega il significato di questo valore.

La seguente tabella mostra i voti ottenuti da 6 studenti in una verifica di Matematica ($X$) e in una di Economia ($Y$):

Matematica ($X$)	4	6	5	8	9	7
Economia ($Y$)	5	5	6	7	8	8

1. Trova la covarianza $\sigma_{xy}$.

2. Ricava l'equazione della retta di regressione di Economia ($Y$) su Matematica ($X$).

3. Quale voto ci si aspetterebbe in Economia per uno studente che ha preso $10$ in Matematica?

In uno studio sulle abitudini salutari si misurano la distanza percorsa in bicicletta a settimana in km ($X$) e la spesa per la manutenzione della bicicletta in euro ($Y$). Si sa che la retta di regressione di $Y$ su $X$ è $y = 0,12x + 15$ e che il coefficiente di correlazione è $r = 0,85$.

1. Giustifica se le seguenti affermazioni sono vere o false:

   • a) Esiste una dipendenza funzionale tra i km percorsi e la spesa.

   • b) La relazione tra le variabili è diretta.

   • c) Se un ciclista non percorre alcun km ($x=0$), il modello stima una spesa di $15$ €.

2. Se la spesa media annua è di $\bar{y} = 33$ €, qual è la media dei km percorsi settimanalmente $\bar{x}$?

Una squadra di pallacanestro vuole prevedere il numero di punti segnati dai suoi giocatori ($Y$) in funzione dei minuti giocati ($X$). Dopo aver analizzato i giocatori, si ottengono i seguenti dati:

$\sum x_i = 240$

$\sum y_i = 120$

$\sum x_i^2 = 6500$

$\sum y_i^2 = 1800$

$\sum x_i y_i = 3200$

Numero di giocatori analizzati: $n = 10$.

1. Calcola il coefficiente di correlazione lineare di Pearson.

2. Se un giocatore gioca $25$ minuti, stima i punti che segnerà utilizzando la retta di regressione corrispondente.

Si indaga se il prezzo di un modello di smartphone usato ($Y$, in euro) dipende dalla sua anzianità ($X$, in mesi). I dati di 100 telefoni mostrano che:

$\bar{x} = 18$ mesi; $\bar{y} = 450$ €; $\sigma_x = 6$; $\sigma_y = 80$ e $r = -0,88$.

1. Calcola la covarianza $\sigma_{xy}$.

2. Determina la retta di regressione di $Y$ su $X$.

3. Qual è il significato fisico del coefficiente angolare della retta in questo contesto?

4. Stima il prezzo di un telefono che ha un anno e mezzo di anzianità. Questa stima è molto affidabile? Perché?

In uno studio sul rendimento di un nuovo pannello solare sono state determinate le due rette di regressione che mettono in relazione l'intensità luminosa captata ($X$, in centinaia di lux) e l'energia elettrica generata ($Y$, in watt). Le equazioni ottenute sono:

Retta di $Y$ su $X$: $y = 0,84x + 12,2$

Retta di $X$ su $Y$: $x = 0,95y - 7,4$

Calcola, giustificando ogni passaggio:

1. a) Il baricentro della distribuzione $(\bar{x}, \bar{y})$.
2. b) Il coefficiente di correlazione lineare di Pearson ($r$) e interpreta il suo segno e la sua forza.
3. c) Quale percentuale della varianza dell'energia generata è spiegata dall'intensità luminosa attraverso il modello lineare?

Un gruppo di analisti di dati di una nota rete di microblogging studia la relazione tra il numero di parole di un post ($X$) e il numero di "mi piace" ricevuti ($Y$). Dopo aver analizzato un campione casuale, si conoscono i seguenti parametri:

$\bar{x} = 45$ parole

$\sigma_x = 12$

$S_{xy} = 156$

Retta di regressione di $Y$ su $X$: $y = 1,083x + 11,25$

Sapendo che il coefficiente di determinazione è $R^2 = 0,64$, determina:

1. a) La deviazione standard della variabile $Y$.
2. b) L'equazione della retta di regressione di $X$ su $Y$.
3. c) Se un post ha un numero di "mi piace" pari al doppio della media $\bar{y}$, quale sarebbe la previsione per il suo numero di parole?

Si analizza la relazione tra il tempo di studio settimanale ($X$, in ore) e il voto medio ($Y$) di un gruppo di studenti. Si sa che la covarianza è $S_{xy} = 4,5$ e che il coefficiente di correlazione è $r = 0,75$. Se a tutti gli studenti viene dato 1 punto extra sul voto medio e inoltre decidono di studiare il doppio delle ore la settimana successiva:

1. a) Dimostra matematicamente come variano la nuova covarianza $S'_{xy}$ e il nuovo coefficiente di correlazione $r'$.
2. b) L'affidabilità delle previsioni del modello lineare cambierebbe dopo queste modifiche? Giustifica la risposta basandoti sulle proprietà dei parametri bivariati.

In una competizione di e-sport si misura l'età dei giocatori ($X$) e il loro tempo di reazione a uno stimolo visivo ($Y$, in millisecondi). La nuvola di punti suggerisce una relazione lineare inversa. Si dispone delle seguenti informazioni semplificate:

$\sum x_i = 200$, $\sum y_i = 2500$, $\sum x_i^2 = 4150$, $\sum y_i^2 = 628000$, $\sum x_i y_i = 49400$ (per $n = 10$ giocatori).

1. a) Calcola il coefficiente di correlazione lineare.
2. b) Un giocatore di 32 anni (fuori dall'intervallo del campione originale, che andava da 18 a 25 anni) entra nello studio. Se il suo tempo di reazione fosse di 280 ms, come influirebbe questo nuovo punto sul coefficiente angolare della retta di regressione di $Y$ su $X$? Motiva la risposta senza dover ricalcolare tutto.

Data la seguente tabella delle frequenze congiunte delle variabili $X$ (numero di figli) e $Y$ (numero di stanze dell'abitazione):

X \ Y	1	2	3
0	5	2	0
1	1	6	3
2	0	2	6

1. a) Calcola le distribuzioni marginali di $X$ e $Y$.
2. b) Determina la media e la varianza della variabile $Y$ condizionata a $X = 1$.
3. c) Calcola la covarianza $S_{xy}$ e stabilisci se le variabili sono indipendenti o presentano qualche tipo di associazione.

Uno studio sociologico mette in relazione l'indice di digitalizzazione di una famiglia ($X$, scala 1-10) con il risparmio annuo ($Y$, in migliaia di euro). Si sa che la retta di regressione di $Y$ su $X$ è $y = -1,2x + 15$ e che il coefficiente di determinazione è $R^2 = 0,81$.

1. a) Se la varianza degli indici di digitalizzazione è $\sigma_x^2 = 4$, qual è la varianza della variabile risparmio $\sigma_y^2$?

1. b) Se una famiglia ha un indice di digitalizzazione pari a 8, stima il suo risparmio annuo e calcola l'errore standard della stima (deviazione standard residua), definito come $\sigma_{res} = \sigma_y \sqrt{1 - R^2}$.

Le rette di regressione di una distribuzione bivariata sono $4x - 5y + 12 = 0$ e $9x - 10y + 15 = 0$.

1. a) Identifica quale di esse è quella di $Y$ su $X$ e quale quella di $X$ su $Y$. Giustifica la risposta usando il fatto che il prodotto dei loro coefficienti angolari deve essere uguale a $r^2$ e che $0 \leq r^2 \leq 1$.
2. b) Calcola il coefficiente di correlazione lineare $r$.
3. c) Determina i valori medi $\bar{x}$ e $\bar{y}$.

Si indaga la relazione tra l'altitudine di una località ($X$, in metri) e la pressione atmosferica ($Y$, in mb). I dati di 5 località mostrano una correlazione quasi perfetta ($r = -0,99$). Le deviazioni standard sono $\sigma_x = 400$ e $\sigma_y = 45$.

Se la pressione media è di $950$ mb a un'altitudine media di $600$ metri:

1. a) Trova l'equazione della retta di regressione per prevedere la pressione in funzione dell'altitudine.

1. b) A quale altitudine ci si aspetterebbe una pressione di $1013$ mb? Valuta l'affidabilità di questa risposta considerando se si tratta di un'interpolazione o di un'estrapolazione (le altitudini delle 5 località vanno da $100$ m a $1300$ m).

1. c) Se si scoprisse che gli altimetri avevano un errore sistematico e tutte le altitudini reali sono $50$ metri superiori a quelle registrate, come influirebbe questo sul coefficiente angolare della retta di regressione?