Esercizi: Funzioni definite a tratti

Data la seguente funzione definita a tratti:

$f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2-3 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

Calcola il valore della funzione nei punti $x = -2$, $x = 0$ e $x = 3$.

Osserva il grafico della funzione $f(x)$ e determina il suo dominio e il suo codominio.

Esprimi la funzione valore assoluto $f(x) = |3x - 6|$ come funzione definita a tratti.

Un parcheggio in centro applica una tariffa di $2$ € per la prima ora di sosta (o frazione). Dalla prima ora in poi, fa pagare $1,50$ € per ogni ora aggiuntiva, calcolando il tempo extra in modo proporzionale ai minuti esatti di sosta. Scrivi la funzione definita a tratti $C(x)$ che rappresenta il costo totale in funzione delle ore $x$ in cui l'auto rimane nel parcheggio.

Trova il punto di rottura della seguente funzione e determina se è continua in tale punto:

$f(x) = \begin{cases} 3x-2 & \text{si } x < 2 \\ 5-x & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

Associa la seguente descrizione alla struttura di una funzione definita a tratti: "Si accende un forno e la sua temperatura sale in modo costante per 10 minuti fino a raggiungere i 200 °C. Si mantiene a questa temperatura per 40 minuti per cuocere una pizza e, infine, si spegne, e la sua temperatura scende fino alla temperatura ambiente (20 °C) in modo costante in 30 minuti."

Scrivi gli intervalli di tempo che definirebbero i tre tratti della funzione temperatura $T(t)$.

Rappresenta graficamente sul tuo quaderno la seguente funzione definita a tratti:

$f(x) = \begin{cases} -2 & \text{si } x \le 1 \\ 2x-4 & \text{si } x > 1 \end{cases}$

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

A partire dal grafico della funzione $g(x)$, determina la sua espressione analitica sapendo che è formata da due semirette.

Per esprimere la funzione $g(x) = |2x - 6| + 1$ come funzione definita a tratti, Alberto scrive nel suo compito:

Alberto sostiene che il cambio di tratto avviene sempre in $x = 0$ perché lì i numeri passano da negativi a positivi.

1. a) Spiega con le dovute motivazioni l'errore concettuale di Alberto. Quale espressione deve realmente cambiare di segno per separare i tratti del valore assoluto e per quale valore di $x$ avviene il cambio?
2. b) Scrivi l'espressione corretta di $g(x)$ a tratti e verifica, calcolando i limiti laterali nel punto di cambio di tratto, che la funzione non presenta alcun salto (è continua).

Un'azienda di spedizioni urgenti in Italia tariffa le spedizioni nazionali in base al loro peso $x$ (in chilogrammi) mediante la funzione di costo $P(x)$ (in euro):

1. a) Senza eseguire calcoli numerici esatti, osserva con attenzione i due rami: la quota fissa passa da $4$ € a $8$ €, ma il costo per chilogrammo scende da $1,5$ € a $0,7$ €. Stima con motivazioni se un cliente che spedisce un pacco di $5,1\text{ kg}$ pagherà molto di più, molto di meno o una cifra praticamente identica a quella di un altro che spedisce un pacco di $4,9\text{ kg}$.
2. b) Verifica la tua stima calcolando i costi esatti $P(4,9)$ e $P(5,1)$. Poi calcola i limiti laterali $\lim_{x \to 5^-} P(x)$ e $\lim_{x \to 5^+} P(x)$ per determinare se alla soglia di $5\text{ kg}$ si ha un salto brusco o se il grafico si raccorda in modo continuo. Questo risultato è ragionevole per il cliente?

Una compagnia di telefonia mobile offre una tariffa dati che funziona così: si paga una quota fissa mensile di $15$ € che include i primi $5$ GB di download. Se si supera tale limite, ogni gigabyte aggiuntivo (o frazione proporzionale) si paga $2$ €.

Scrivi la funzione $C(x)$ che rappresenta il costo mensile in funzione dei gigabyte $x$ consumati, e calcola quanto pagherà un cliente che ha consumato $3$ GB e un altro che ne ha consumati $8,5$ GB.

Determina il valore del parametro $k$ affinché la seguente funzione definita a tratti sia continua in tutto il suo dominio:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x \le 2 \\ kx + 3 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Esprimi la funzione $f(x) = |x - 2| + 3x$ come funzione definita a tratti senza usare il valore assoluto e calcola i valori di $f(0)$ e $f(5)$.

Un treno suburbano parte da una stazione e accelera in modo costante fino a raggiungere una velocità di $20$ m/s in $10$ secondi. Mantiene questa velocità di crociera per $30$ secondi e, infine, frena in modo uniforme fino a fermarsi completamente alla stazione successiva in $5$ secondi. Scrivi la funzione a tratti $v(t)$ che descrive la velocità del treno in funzione del tempo trascorso dalla partenza.

A partire dal grafico della funzione $h(x)$, composta da un arco di parabola e da una semiretta, trova la sua espressione analitica.

La bolletta della luce di un'abitazione ha un termine fisso di $10$ € mensili. Inoltre, i primi $100$ kWh consumati si pagano a $0,12$ €/kWh. Se si superano i $100$ kWh, l'eccesso di consumo si paga a $0,15$ €/kWh. Scrivi la funzione $F(x)$ che dà l'importo totale della bolletta in funzione dei kWh $x$ consumati.

Data la funzione definita a tratti:

$f(x) = \begin{cases} -x^2+4x & \text{si } x < 3 \\ x-2 & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

Rappresentala graficamente e determina i suoi massimi e minimi relativi, se ne ha.

In un paese fittizio, l'imposta sul reddito si calcola così: sui primi $10\,000$ € di reddito non si pagano imposte ($0$%). Sulla parte eccedente $10\,000$ € e fino a $20\,000$ €, si paga il $10$%. Sulla parte eccedente $20\,000$ €, si paga il $20$%.

Scrivi la funzione definita a tratti $I(x)$ che calcola l'imposta da pagare in funzione del reddito $x$.

In una località italiana, la bolletta bimestrale dell'acqua per uso domestico è suddivisa in tre scaglioni di consumo per incentivare il risparmio idrico:

• Scaglione 1 (consumo base): fino a $15\text{ m}^3$, si paga una quota fissa di servizio di $6$ € più $0,50$ € per ogni metro cubo consumato.

• Scaglione 2 (consumo medio): tra $15\text{ m}^3$ e $30\text{ m}^3$, i primi $15\text{ m}^3$ si pagano secondo lo scaglione 1 e il volume restante che eccede $15\text{ m}^3$ si fattura a $1,20$ € per ogni metro cubo aggiuntivo.

• Scaglione 3 (consumo elevato): per consumi superiori a $30\text{ m}^3$, i primi $30\text{ m}^3$ si pagano secondo gli scaglioni precedenti e ogni metro cubo aggiuntivo oltre $30\text{ m}^3$ costa $2,50$ €.

1. a) Modella la bolletta scrivendo la funzione $C(x)$ (costo in euro) in funzione del volume $x$ di acqua consumato (in $\text{m}^3$), indicando l'espressione algebrica semplificata per ciascuno dei tre scaglioni: $[0, 15]$, $(15, 30]$ e $(30, +\infty)$.
2. b) Verifica analiticamente mediante i corrispondenti limiti laterali se la funzione $C(x)$ è continua nei punti di cambio di scaglione ($x = 15$ e $x = 30$).
3. c) Quale problema di equità si produrrebbe per gli utenti se l'azienda applicasse direttamente l'intero volume a $1,20$ €/$\text{m}^3$ non appena il consumo superasse $15\text{ m}^3$?

Si vuole progettare il profilo verticale di una rampa per skateboard formata da due tratti che si raccordano nella coordinata orizzontale $x = 2$:

La rampa deve rispettare rigorosamente le seguenti condizioni di progetto:

1. Per $x < 2$, il tratto $f_1(x)$ è una funzione affine (retta) il cui grafico passa per il punto $(-1, 0)$.

2. Per $x \ge 2$, il tratto $f_2(x)$ è una funzione quadratica (parabola) il cui vertice si trova nel punto $(4, 1)$.

3. La pista non può avere gradini: la funzione deve essere continua in $x = 2$, e l'altezza in tale punto di unione è esattamente $f(2) = 5$.

1. a) Trova l'espressione algebrica della parabola $f_2(x)$ a partire dalla forma del suo vertice, $y = a(x - x_v)^2 + y_v$, e dal punto di unione $(2, 5)$.
2. b) Trova l'espressione algebrica della retta $f_1(x)$ determinando il suo coefficiente angolare a partire dai punti per cui deve passare.
3. c) Scrivi la funzione $f(x)$ completa con i suoi domini e verifica formalmente, calcolando $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ e $\lim_{x \to 2^+} f(x)$, che non esiste discontinuità in $x = 2$.

Determina i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché la funzione $f(x)$ sia continua in $x=1$ e passi per il punto $(4, 9)$.

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + b & \text{si } x < 1 \\ 3x - 2 & \text{si } 1 \le x \le 3 \\ ax - b & \text{si } x > 3 \end{cases}$

Una volta trovati $a$ e $b$, verifica matematicamente se la funzione risulta continua anche in $x=3$.

Esprimi la funzione $f(x) = |x + 3| - |2x - 4|$ come funzione definita a tratti, eliminando i valori assoluti, e semplifica l'espressione di ciascuno dei tratti risultanti.

Un teatro offre un prezzo d'ingresso di $10$ € se partecipano al massimo $50$ persone. Per incentivare la presenza di gruppi numerosi, per ogni persona che eccede $50$, il prezzo del biglietto per tutti i partecipanti si riduce di $0,10$ €.

Scrivi la funzione degli incassi totali del teatro $I(x)$ in funzione del numero di partecipanti $x$ (come funzione a tratti) e determina quante persone devono partecipare affinché il teatro ottenga l'incasso massimo possibile.

Osserva il seguente grafico della funzione $p(x)$ e determina la sua espressione analitica completa. A partire da essa, indica il suo dominio, il suo codominio e classifica le discontinuità che presenta.

Un razzo di prova decolla verticalmente. Durante i primi $10$ secondi, la sua altezza in metri è modellata dalla funzione lineare $h(t) = 5t$. Dopo $10$ secondi il motore si spegne e il razzo segue una traiettoria parabolica di caduta libera $h(t) = at^2 + bt + c$, in modo che la transizione sia continua. Sapendo che il razzo raggiunge la sua altezza massima dopo $25$ secondi e tocca il suolo dopo $50$ secondi, trova l'espressione della parabola e determina l'altezza massima raggiunta dal razzo.

Data la funzione definita a tratti:

$f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ k & \text{si } 2 < x \le 6 \end{cases}$

Calcola il valore del parametro $k$ affinché l'area totale della figura geometrica racchiusa tra il grafico della funzione e l'asse delle ascisse (asse $X$) sia esattamente di $24$ unità quadrate.

Un serbatoio d'acqua della capacità di $6000$ litri è inizialmente vuoto. Si accende una pompa che immette acqua a un ritmo costante di $50$ litri al minuto. Dopo $60$ minuti si accende una seconda pompa ausiliaria che aggiunge una portata ulteriore di $30$ litri al minuto. Scrivi la funzione a tratti $V(t)$ che rappresenta il volume d'acqua nel serbatoio in funzione del tempo, e calcola quanto tempo in totale occorrerà per riempire completamente il serbatoio.

Trova analiticamente i punti di intersezione tra la funzione definita a tratti $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{si } x < 0 \\ -2x + 4 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$ e la retta $y = x + 2$.

Per risolvere l'equazione $|x - 1| + |x - 3| = 4$, due studenti propongono strade diverse:

• Metodo A (Analitico mediante funzione a tratti): Definire $f(x) = |x - 1| + |x - 3|$ a tratti. Per farlo, si studia il segno di $x - 1$ e di $x - 3$ dividendo la retta reale in tre intervalli ($x < 1$, $1 \le x \le 3$ e $x > 3$), si eliminano le barre a seconda dei casi e si risolve un'equazione di primo grado in ogni tratto, verificando se ciascuna soluzione trovata appartiene al proprio intervallo.

• Metodo B (Geometrico per distanze): Interpretare $|x - a|$ come la distanza sulla retta reale tra il valore $x$ e il punto fisso $a$. In questo modo, $|x - 1| + |x - 3|$ rappresenta la somma delle distanze da un punto $x$ a $1$ e a $3$.

1. a) Applica il Metodo A: scrivi $f(x)$ suddivisa in tre tratti semplificati e risolvi l'equazione verificando la validità delle soluzioni in ciascun intervallo.
2. b) Applica il Metodo B: ragiona sulla retta numerica su quale sia la distanza minima possibile tra $x$ e i punti $1$ e $3$ (e in quale intervallo di $x$ viene raggiunta). A partire da questa analisi geometrica, deduci le soluzioni di $|x - 1| + |x - 3| = 4$ senza ricorrere all'algebra dei tratti.
3. c) Confronta i due metodi e giustifica quale dei due sceglieresti se l'equazione fosse $|2x - 1| + 3|x - 3| = 8$, e quale sceglieresti se ti chiedessero di giustificare rapidamente perché l'equazione $|x - 1| + |x - 3| = 1,5$ non ha alcuna soluzione reale.

Il parlamento di una regione approva una riforma dell'addizionale regionale IRPEF per i redditi da lavoro $x$ (espressi in migliaia di euro annui). L'imposta totale $T(x)$ (anch'essa in migliaia di euro) è modellata da una funzione a tratti:

Per garantire la progressività ed evitare il «salto d'imposta» (che un contribuente finisca con meno denaro netto guadagnando un po' di più di stipendio lordo), la legge impone due requisiti:

1. La funzione $T(x)$ deve essere continua in tutto il suo dominio, in particolare in $x = 20$.

2. A partire da $20$ mila euro, l'aliquota marginale è del $28\,\%$ (cioè, per ogni mille euro aggiuntivi oltre i $20$, l'imposta aumenta di $0,28$ mila euro, il che determina il valore del coefficiente angolare $a$).

1. a) Determina con le dovute motivazioni i valori di $a$ e di $b$ affinché siano soddisfatte le due condizioni di legge.
2. b) Definisci a tratti la funzione dello stipendio netto residuo, $S(x) = x - T(x)$, e calcola lo stipendio netto di una persona che guadagna $20\,000$ € annui ($x = 20$) e quello di un'altra che guadagna $20\,500$ € annui ($x = 20,5$). Verifica se chi ha lo stipendio lordo maggiore conserva effettivamente uno stipendio netto maggiore.
3. c) Un deputato ha proposto una formula alternativa senza parametro correttivo: $T_{\text{alt}}(x) = 0,18x$ se $0 \le x \le 20$, e $T_{\text{alt}}(x) = 0,28x$ se $x > 20$ (applicare il $28\,\%$ all'intero stipendio non appena si superano i $20$ mila euro). Calcola il salto $\lim_{x \to 20^+} T_{\text{alt}}(x) - \lim_{x \to 20^-} T_{\text{alt}}(x)$ e spiega quale situazione economicamente assurda subirebbe un lavoratore che ricevesse un aumento di stipendio da $20\,000$ € a $20\,100$ €.