Esercizi: Funzioni trigonometriche: seno, coseno e tangente

Determina l'ampiezza e il periodo della funzione trigonometrica $f(x) = 4\sin(3x)$.

Calcola la funzione $g(x) = 2\cos(x) - 1$ nei valori $x = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \pi$ e $x = \frac{3\pi}{2}$.

Osserva il seguente grafico e determina se corrisponde alla funzione seno o alla funzione coseno. Giustifica la tua risposta indicando il punto di intersezione con l'asse Y e il tipo di simmetria che presenta.

Indica il dominio e il codominio della funzione trigonometrica $h(x) = 5\sin(x) + 2$.

Classifica le funzioni elementari $f(x) = \sin(x)$, $g(x) = \cos(x)$ e $h(x) = \tan(x)$ in base al tipo di simmetria che presentano (pari o dispari).

Calcola il periodo esatto della funzione $y = \tan\left(\frac{x}{3}\right)$.

Trova tutti i punti di intersezione con l'asse delle ascisse (asse x) della funzione $y = \sin(x)$ nell'intervallo chiuso $[0, 2\pi]$.

Descrivi quale trasformazione geometrica subisce il grafico della funzione $f(x) = \cos(x)$ per diventare il grafico di $g(x) = \cos(x) - 3$. Qual è il nuovo codominio della funzione $g(x)$?

Marco sta analizzando in classe la funzione trigonometrica $f(x) = -3\cos(2x)$ e annota sul quaderno le seguenti conclusioni:

1) «L'ampiezza della funzione è $-3$, perché è il coefficiente che moltiplica il coseno».

2) «Il periodo è $4\pi$, perché essendo la $x$ moltiplicata per $2$, l'onda impiega il doppio del tempo a completarsi: $2 \cdot 2\pi = 4\pi$».

3) «La funzione è dispari, perché ha un segno meno davanti e le funzioni dispari hanno il segno negativo».

Individua in modo ragionato l'errore concettuale che commette Marco in ciascuna delle tre affermazioni, spiega che cosa accade geometricamente nel grafico in ogni caso e scrivi i valori corretti dell'ampiezza, del periodo e del tipo di simmetria (pari o dispari) della funzione.

Trova l'espressione algebrica di una funzione della forma $f(x) = A\cos(Bx) + D$, con parametri positivi $A > 0$ e $B > 0$, che soddisfi simultaneamente le seguenti condizioni:

1. a) Il suo asse centrale di oscillazione è la retta orizzontale $y = 5$.
2. b) Il valore minimo raggiunto dal grafico è $y = 1$.
3. c) Il suo periodo fondamentale di ripetizione è $T = \pi\text{ rad}$.

Deduci passo dopo passo il valore di ciascuno dei parametri $A$, $B$ e $D$, ragionando sul loro significato a partire dalle trasformazioni della funzione elementare $\cos x$, indica qual è il codominio completo della funzione e calcola il suo valore massimo.

L'altezza in metri a cui si trova una delle cabine di una ruota panoramica in funzione del tempo in minuti è data dall'espressione $h(t) = 20 - 15\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)$. Calcola l'altezza massima e minima raggiunta dalla ruota e determina il tempo esatto che impiega a compiere un giro completo.

Il livello dell'acqua in un porto varia periodicamente a causa delle maree. Il grafico seguente mostra l'altezza dell'acqua in metri nell'arco di $24\text{ ore}$. Determina l'ampiezza, il periodo e l'altezza media dell'acqua. A partire da questi dati, proponi un'espressione trigonometrica del tipo $h(t) = A\sin(Bt) + D$ che si adatti al grafico mostrato.

Un'onda sonora pura emessa da un diapason è modellata dalla funzione $P(t) = 0,02 \sin(880\pi t)$, dove $P$ rappresenta la variazione di pressione in pascal e $t$ il tempo trascorso in secondi. Determina l'ampiezza dell'onda e la sua frequenza (il numero di cicli completi che compie al secondo).

La tensione di una corrente alternata in un impianto domestico europeo si può esprimere mediante la funzione $V(t) = 325 \sin(100\pi t)$, dove $V$ è la tensione in volt e $t$ il tempo in secondi. Calcola la tensione massima raggiunta e scopri quante volte al secondo la tensione assume esattamente il valore $0\text{ volt}$.

Un peso appeso all'estremità di una molla oscilla verticalmente. La sua posizione rispetto al soffitto è data dall'equazione $y(t) = 8\cos(4t) - 20$, misurata in centimetri. Indica a quale distanza dal soffitto si trova il peso nell'istante iniziale ($t=0$), qual è la sua posizione più bassa (maggiore distanza dal soffitto) e qual è il periodo di oscillazione della molla.

Il numero di ore di luce solare in una certa città nel corso dell'anno si può approssimare mediante la funzione $H(d) = 12 + 3\sin\left(\frac{2\pi}{365}(d-80)\right)$, dove $d$ rappresenta il giorno dell'anno ($d=1$ è il 1º gennaio). Quante ore di luce ci sono esattamente il giorno $d=80$? E il giorno $d=262$ (mezzo anno dopo)? Interpreta il significato dei due risultati.

Disegna uno schizzo della funzione $g(x) = 3\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$. Spiega passo dopo passo come si ottiene questo grafico applicando traslazioni e dilatazioni al grafico originale della funzione $f(x) = \sin(x)$.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Determina il dominio della funzione $f(x) = \tan(2x)$ e scrivi le equazioni dei suoi primi tre asintoti verticali positivi.

Una boa oceanografica installata davanti al porto di Napoli registra il passaggio del moto ondoso. La sua altezza $h(t)$ in metri rispetto al fondale marino è data dall'espressione $h(t) = 3 + 1,2\sin(4\pi t)$, dove $t$ è il tempo misurato in secondi.

1. a) Prima di eseguire calcoli algebrici dettagliati, fai una stima ragionata:

• Tra quali due valori estremi di altezza oscillerà la boa?

• Quante oscillazioni complete (onde) stimi che la boa compirà in un solo secondo?

• In quale frazione approssimativa di secondo raggiungerà per la prima volta la sua altezza massima dopo aver iniziato a contare il tempo in $t = 0$?

1. b) Calcola ora con precisione matematica l'ampiezza, il periodo fondamentale $T$, il codominio della funzione e l'istante esatto $t_1 > 0$ in cui si verifica il primo massimo.
2. c) Verifica se le tue stime iniziali coincidono con i risultati analitici e spiega perché il primo massimo viene raggiunto in $t = T/4$ e non in $t = T/2$.

Si vuole modellizzare la variazione del livello dell'acqua $h(t)$ (in metri) per effetto delle maree nella laguna di Venezia in funzione delle ore trascorse $t$ dalla mezzanotte ($t = 0$). I rilevamenti oceanografici indicano che il livello medio dell'acqua è $3\text{ metri}$, l'oscillazione massima al di sopra e al di sotto di tale livello medio è $1,5\text{ metri}$, il ciclo completo di marea dura $12\text{ ore}$ e, precisamente alle $00:00$ ($t = 0$), si registra la bassa marea assoluta (livello minimo di $1,5\text{ metri}$).

Per scrivere la formula di $h(t)$, due studenti propongono impostazioni diverse:

• Metodo 1 (Lucia): usare un coseno rovesciato senza sfasamento orizzontale: $h(t) = -A\cos(Bt) + D$.

• Metodo 2 (Davide): usare un seno con sfasamento orizzontale: $h(t) = A\sin(B(t - C)) + D$.

1. a) Determina i parametri necessari per scrivere la funzione $h(t)$ seguendo il metodo di Lucia e il metodo di Davide (con $A > 0$ e $B > 0$).
2. b) Confronta i due percorsi: giustifica quale dei due metodi è più diretto e conveniente in questo caso, spiegando che relazione c'è tra il punto di partenza del fenomeno in $t = 0$ e la scelta della funzione di base (seno o coseno).
3. c) Verifica algebricamente che le due espressioni forniscono esattamente lo stesso livello dell'acqua alle $03:00$ di notte ($t = 3$).

Il pendolo di un orologio a muro oscilla da un lato all'altro. Il suo spostamento orizzontale in centimetri rispetto al centro è modellato dalla funzione $x(t) = A \cos(Bt)$. Sapendo che il pendolo raggiunge uno spostamento massimo di $12\text{ cm}$ e compie un ciclo completo di andata e ritorno ogni $2\text{ secondi}$, determina i valori esatti dei parametri $A$ e $B$. Inoltre, calcola in quali istanti esatti durante i primi $4\text{ secondi}$ il pendolo passa proprio per la posizione centrale di equilibrio.

La temperatura media mensile di una città è modellata con una funzione trigonometrica. Osserva il grafico che rappresenta la temperatura $T$ in gradi Celsius in funzione del mese $m$ (dove $m=0$ corrisponde a inizio gennaio, $m=1$ a inizio febbraio, ecc.). Determina i valori dei parametri $A, B, C$ e $D$ in modo che la funzione $T(m) = A \cos(B(m - C)) + D$ rappresenti fedelmente questa curva.

Trova analiticamente tutti i punti di intersezione (coordinate $x$ e $y$) dei grafici delle funzioni $f(x) = \sin(x)$ e $g(x) = \cos(x)$ nell'intervallo chiuso $[0, 2\pi]$. Giustifica la tua risposta utilizzando le proprietà delle funzioni trigonometriche.

Secondo la teoria dei bioritmi, la capacità fisica di una persona segue un ciclo sinusoidale di $23\text{ giorni}$ e la capacità emotiva un ciclo di $28\text{ giorni}$. Se entrambe le capacità sono modellate con funzioni seno di ampiezza $1$ che partono da zero il giorno della nascita ($t=0$), scrivi le funzioni $F(t)$ e $E(t)$. Quanti giorni esatti devono passare dalla nascita perché entrambe le capacità tornino ad attraversare contemporaneamente il valore zero, diventando entrambe positive?

La popolazione di conigli in una riserva naturale varia ogni anno secondo il modello $P(t) = 800 + 300\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)$, dove $t$ rappresenta il tempo in mesi ($t=0$ è il 1º gennaio). Imposta e risolvi la disequazione trigonometrica corrispondente per determinare esattamente durante quali mesi del primo anno la popolazione si mantiene strettamente al di sopra di $950\text{ conigli}$.

Il fascio di luce di un faro rotante illumina una scogliera rettilinea e lunga. La distanza $d$ (in metri) dal punto più vicino della scogliera al punto illuminato nell'istante $t$ (in secondi) è data dalla funzione $d(t) = 200 \tan\left(\frac{\pi}{4}t\right)$. Determina il dominio di questa funzione nel contesto fisico del problema (per il primo giro) e interpreta che cosa accade al fascio di luce quando $t$ si avvicina a $2\text{ secondi}$.

Dimostra, mediante l'analisi delle traslazioni orizzontali, che la funzione $f(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ è equivalente alla funzione $g(x) = \cos(x)$. Utilizza i concetti di sfasamento, periodicità e la forma dei loro grafici per giustificare la tua risposta.

Il volume d'aria presente nei polmoni di una persona a riposo, misurato in litri, è modellato dalla funzione $V(t) = 2,5 + 0,5\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)$, dove $t$ è misurato in secondi. Calcola il volume massimo e minimo di aria nei polmoni. A partire dal periodo della funzione, determina quanti atti respiratori completi (cicli completi di inspirazione ed espirazione) compie questa persona in un minuto esatto.

Dai dati storici dell'Aeronautica Militare per una località dell'entroterra, la temperatura media giornaliera $T(t)$ nel corso di un anno di $365\text{ giorni}$ è modellata con precisione da una funzione periodica del tipo $T(t) = A\cos\left(\frac{2\pi}{365}(t - C)\right) + D$, dove $t$ è il giorno dell'anno ($t = 1$ rappresenta il 1º gennaio). Il giorno con la temperatura media più bassa dell'anno è il 15 gennaio ($t = 15$) con $5^\circ\text{C}$, e il giorno con la temperatura media più alta si verifica esattamente mezzo anno dopo, il 16 luglio ($t = 197,5$), raggiungendo $27^\circ\text{C}$.

1. a) Deduci e giustifica i valori numerici di $A$, $D$ e dello sfasamento $C$ (con $A > 0$), spiegando con chiarezza il significato fisico o meteorologico di ciascuno nel clima della regione.
2. b) Determina in quali due giorni dell'anno il modello prevede che la temperatura media giornaliera sia esattamente $16^\circ\text{C}$ e interpreta perché questi giorni risultano vicini agli equinozi di primavera e autunno.
3. c) Tenendo conto della forma e della pendenza del grafico della funzione coseno, ragiona in quali periodi dell'anno la variazione giornaliera della temperatura (la rapidità con cui sale o scende giorno dopo giorno) è massima e in quali è praticamente nulla.

Costruisci l'espressione algebrica di una funzione della forma $f(x) = A\tan(B(x - C))$, con $A > 0$ e $B > 0$, che soddisfi simultaneamente i seguenti requisiti geometrici:

1) Due dei suoi asintoti verticali consecutivi si trovano esattamente sulle rette $x = -\dfrac{\pi}{4}$ e $x = \dfrac{3\pi}{4}$.

2) Il grafico interseca l'asse orizzontale $OX$ in un punto situato tra i due asintoti.

3) Il grafico passa per il punto $\left(\dfrac{\pi}{2}, 3\right)$.

1. a) A partire dalla distanza tra due asintoti verticali consecutivi della tangente, calcola e giustifica il valore del periodo della funzione e deduci il parametro $B$.
2. b) Trova il valore dello sfasamento orizzontale $C$ ragionando sulla posizione del punto medio tra i due asintoti, e determina poi il valore della scala verticale $A$ utilizzando il punto dato.
3. c) Sebbene la funzione elementare $\tan x$ sia una funzione dispari (soddisfa $\tan(-x) = -\tan x$), dimostra analiticamente che la funzione $f(x)$ che hai ottenuto non è né pari né dispari, spiegando con precisione quale effetto geometrico ha avuto la traslazione orizzontale $C$ sulla simmetria originaria rispetto all'origine del sistema di coordinate.

Sfida del tema. Immagina di progettare una pergola bioclimatica per la tua scuola o il tuo terrazzo, ottimizzando ombra e costo elettrico.

1. Misurazione geometrica: Misura a mezzogiorno la tua ombra e quella di un palo o di un lampione per dedurne l'altezza reale mediante triangoli simili. Con GeoGebra, disegna la struttura combinando rette parallele agli assi ($x = 2,5$, $y = 0$), travi parallele con polinomi di primo grado ($y = 0,4x + 2$) e sostegni perpendicolari ($m_1 \cdot m_2 = -1$).

2. Tariffa e consumo: Entra nel sito del GME (Gestore dei Mercati Energetici) e scarica i prezzi orari dell'elettricità di ieri. Modella in un foglio di calcolo il costo elettrico mediante una funzione definita a tratti che distingua le fasce F1, F2 e F3 con funzioni lineari e costanti.

3. Modellizzazione ambientale: Ricerca la radiazione solare o l'ammortamento di un pannello solare da $1,2\text{ m}^2$. Adatta i dati con GeoGebra usando funzioni elementari: proporzionalità inversa ($k/x$) per il rendimento in base alla nuvolosità, oppure modelli esponenziali, logaritmici, di potenza o con radicali per stimare il risparmio a lungo termine.

4. Proposta ragionata: Redigi una breve relazione con i grafici ottenuti, le formule algebriche e la tua proposta di orientamento e risparmio.

Verranno valutati:

• Precisione nel calcolo con triangoli simili e nel tracciamento delle rette (parallele, perpendicolari e agli assi).

• Correttezza algebrica della funzione a tratti e adattamento delle funzioni elementari (inversa, radicale, esponenziale o logaritmica) a dati reali.

• Qualità tecnica della relazione e giustificazione matematica supportata da GeoGebra o dal foglio di calcolo.