Esercizi: Tipi di funzioni lineari. Polinomio di primo grado

Individua il coefficiente angolare $m$ e l'ordinata all'origine $n$ delle seguenti funzioni lineari:

1. a) $y = -4x + 7$
2. b) $y = \frac{2}{5}x$
3. c) $y = -3$

Scrivi l'equazione della retta che ha coefficiente angolare $5$ e ordinata all'origine $-2$.

Classifica le seguenti funzioni in funzione di proporzionalità diretta (lineare in senso stretto), funzione affine o funzione costante:

1. a) $f(x) = 3x - 1$
2. b) $g(x) = \frac{x}{4}$
3. c) $h(x) = 8$

Trova l'equazione della retta che ha coefficiente angolare $m = -2$ e passa per il punto $(1, 4)$.

La tariffa di un taxi è data dalla funzione $C(x) = 1,50x + 3$, dove $C(x)$ è il costo in euro e $x$ è la distanza percorsa in chilometri. Quanto costerà un viaggio di $8$ chilometri?

Calcola i punti di intersezione con gli assi coordinati (asse X e asse Y) della retta $y = 3x - 12$.

Verifica analiticamente se i punti $A(2, 5)$ e $B(-1, -3)$ appartengono al grafico della funzione $y = 2x + 1$.

A partire dalla seguente rappresentazione grafica, determina il coefficiente angolare, l'ordinata all'origine e l'equazione della retta.

Marco ha la funzione affine $f(x) = 3x + 4$ e deve calcolare l'immagine di $x = 10$. Poiché sa che $f(5) = 3 \cdot 5 + 4 = 19$, ragiona così: «Dato che $10$ è il doppio di $5$, il valore di $f(10)$ deve essere esattamente il doppio di $19$, cioè $f(10) = 38$».\na) Individua l'errore concettuale di Marco e spiega perché non è valido applicare una proporzione diretta in questo tipo di funzioni.\nb) Quale valore dovrebbe avere l'ordinata all'origine $n$ perché il ragionamento di Marco fosse stato del tutto corretto?\nc) Calcola il valore reale di $f(10)$ mediante la sua formula e verifica algebricamente di quante unità aumenta in realtà il valore di $y$ quando $x$ aumenta di $5$ unità.

Si cerca una funzione polinomiale di primo grado $f(x) = mx + n$ che soddisfi contemporaneamente tre condizioni:\n1. È una funzione affine decrescente.\n2. Interseca l'asse delle ordinate $Y$ in un punto situato $4$ unità sotto l'origine del sistema di riferimento.\n3. La controimmagine di $2$ è uguale a $-3$.\na) Determina in modo motivato i valori esatti del coefficiente angolare $m$ e dell'ordinata all'origine $n$, e scrivi l'espressione algebrica di $f(x)$.\nb) Giustifica, a partire dal segno del coefficiente angolare, perché la funzione è decrescente.\nc) Verifica algebricamente se il punto $Q(-6, 8)$ appartiene al grafico di questa funzione.

Trova l'equazione della retta che passa per i punti $A(-2, 5)$ e $B(4, -7)$.

Determina l'equazione della retta parallela a $y = 3x - 2$ e passante per il punto $(-1, 4)$.

Un idraulico chiede $30$ € per il diritto di chiamata a domicilio, più $15$ € per ogni ora di lavoro. Scrivi l'espressione algebrica della funzione che mette in relazione il costo con il tempo di lavoro e calcola quanto farà pagare per una riparazione che dura $3,5$ ore.

Un serbatoio d'acqua contiene inizialmente $800$ litri e si svuota a un ritmo costante di $20$ litri al minuto. Scrivi la funzione che mette in relazione il volume d'acqua nel serbatoio con il tempo trascorso e calcola a quale minuto il serbatoio sarà completamente vuoto.

Determina analiticamente il punto di intersezione delle rette $y = 4x - 5$ e $y = -2x + 7$. Verifica che il tuo risultato coincida con il punto indicato nel grafico seguente.

Determina il valore del parametro $k$ affinché la retta di equazione $y = kx + 5$ passi per il punto $(3, -4)$.

La relazione tra la temperatura in gradi Celsius ($^\circ C$) e in gradi Fahrenheit ($^\circ F$) è lineare. Sappiamo che l'acqua congela a $0^\circ C$, che equivale a $32^\circ F$, e bolle a $100^\circ C$, che equivale a $212^\circ F$. Trova la funzione lineare che permette di convertire i gradi Celsius ($x$) in gradi Fahrenheit ($y$).

Calcola l'area del triangolo che la retta $y = -\frac{3}{4}x + 3$ forma intersecando gli assi coordinati nel primo quadrante.

La tariffa di un servizio di taxi urbano in una capitale italiana è composta da uno «scatto iniziale» fisso di $1,80$ € all'inizio della corsa e da un costo di $1,15$ € per ogni chilometro percorso.\na) Scrivi l'espressione analitica della funzione $C(x)$ che fornisce il costo totale del viaggio in euro in funzione dei chilometri $x$ percorsi. Giustifica se è una funzione lineare, affine o costante, e interpreta che cosa rappresentano il coefficiente angolare e l'ordinata all'origine nel contesto del problema.\nb) Un cliente afferma: «Se faccio un tragitto di $18$ km, pagherò esattamente il triplo rispetto a uno di $6$ km». Giustifica matematicamente se questa affermazione è vera o falsa calcolando entrambi gli importi.\nc) Se una persona dispone di un budget massimo di $20$ €, imposta e risolvi un'equazione o disequazione per determinare quanti chilometri interi (numero intero) può percorrere al massimo.

Secondo le misurazioni meteorologiche nella troposfera, la temperatura diminuisce in modo uniforme di circa $0,65$ °C ogni $100$ m di aumento di altitudine. In un paese situato a $1200$ m sul livello del mare, il termometro segna $17$ °C a mezzogiorno.\na) Prima di scrivere qualsiasi equazione, stima mentalmente quale temperatura approssimativa ci sarà al passo situato a $1860$ m di altitudine: sarà più vicina a $12$ °C o a $15$ °C? Spiega il tuo ragionamento approssimando la differenza di altitudine a centinaia intere.\nb) Modellizza la temperatura mediante una funzione di primo grado $T(h) = mh + n$, dove $h$ è l'altitudine in metri. Determina in modo motivato il valore del coefficiente angolare $m$ (in °C/m) e il valore dell'ordinata all'origine $n$.\nc) Calcola con la funzione matematica il valore esatto della temperatura al passo e confrontalo con la tua stima iniziale per valutare se era corretta.

Trova l'equazione della retta che passa per il punto $(0, 5)$ e forma con gli assi coordinati un triangolo rettangolo di area $10$ unità quadrate nel primo quadrante.

Una fabbrica di scarpe da ginnastica ha costi fissi mensili di $5000$ €. Inoltre, produrre ogni paio costa $15$ €. Se l'azienda vende ogni paio a $40$ €, scrivi le funzioni di costo $C(x)$ e di ricavo $R(x)$. Quanti paia deve vendere al mese per ottenere un guadagno di almeno $2000$ €?

La retta $r$ passa per i punti $(1, 2)$ e $(3, 8)$. La retta $s$ è parallela a $r$ e la sua ordinata all'origine è la metà dell'ordinata all'origine di $r$. Determina l'equazione della retta $s$.

Un parcheggio fa pagare $2,50$ € per la prima ora (o frazione di ora). Dopo la prima ora, fa pagare $0,05$ € per ogni minuto aggiuntivo. Scrivi la funzione definita a tratti $C(t)$ che rappresenta il costo totale in euro in funzione del tempo $t$ in minuti in cui un veicolo resta parcheggiato.

La lunghezza $L$ di una molla elastica, misurata in centimetri, è data dalla funzione $L(p) = 15 + 0,2p$, dove $p$ è il peso appeso in grammi. Determina l'espressione della funzione inversa $p(L)$ e usala per calcolare quale peso è stato appeso se la molla misura esattamente $22$ cm.

Il grafico seguente mostra la distanza a cui si trova un ciclista da casa in funzione del tempo. Determina l'espressione analitica definita a tratti della funzione $d(t)$ e calcola quale fu la velocità costante del ciclista durante il viaggio di ritorno.

Date le rette $y = (2m - 1)x + 5$ e $y = 3x - n$, determina i valori dei parametri $m$ e $n$ affinché entrambe le equazioni rappresentino esattamente la stessa retta (rette coincidenti).

Determina i valori di $a$ e $b$ affinché la retta $y = ax + b$ soddisfi contemporaneamente due condizioni: essere parallela alla retta $y = \frac{1}{2}x$ e passare per il punto di intersezione delle rette $y = 2x - 4$ e $y = -x + 5$.

Si ha la seguente tabella di valori sperimentali relativi a una funzione sconosciuta $f(x)$:\n$x$: $-3$, $1$, $3$, $7$\n$y$: $14$, $6$, $2$, $-6$\n\nPer scoprire se la tabella può essere descritta da una funzione di primo grado e determinarne la formula, due studenti propongono strategie diverse:\n- Metodo di Lucia: Imposta un sistema di due equazioni nelle incognite $m$ e $n$ usando le prime due righe. Poi sostituisce i valori di $x$ delle altre due righe per verificare se i valori di $y$ coincidono.\n- Metodo di Davide: Calcola il rapporto $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ tra ogni riga e la successiva; se tutti danno lo stesso risultato, afferma che la funzione è polinomiale di primo grado, assume quel valore come coefficiente angolare $m$ e ricava $n$ con un punto qualsiasi.\n\na) Confronta i due metodi e giustifica quale dei due permette di escludere prima che la funzione sia di primo grado nel caso in cui una delle righe contenga un errore di misura.\nb) Usa il metodo che ritieni più efficiente per dimostrare se i dati corrispondono a una retta. In caso affermativo, classificala in modo motivato (lineare o affine) e determina la sua formula $f(x) = mx + n$.\nc) Senza calcolare esplicitamente il valore di $x$, ragiona a priori se la controimmagine di $-100$ sarà un numero positivo o negativo basandoti sulle proprietà della funzione ottenuta. Poi calcolala esattamente.

Considera la famiglia di funzioni $f_k(x) = (2k - 4)x + (3k + 6)$, dove $k$ è un parametro reale fissato in ciascun caso.\na) Determina il valore di $k$ per il quale la funzione è costante. Scrivi la sua equazione e descrivi la posizione geometrica del suo grafico rispetto agli assi coordinati.\nb) Trova il valore di $k$ che rende $f_k$ una funzione lineare (di proporzionalità diretta). Qual è il valore del suo coefficiente angolare in questo caso?\nc) Verifica analiticamente se esiste un valore di $k$ tale che la retta passi per il punto $A(2, 4)$ e, allo stesso tempo, la funzione risultante sia strettamente crescente. Giustifica con rigore la tua conclusione.\nd) Per $k = 1$, determina i punti di intersezione della retta con gli assi coordinati e calcola l'area del triangolo che tale retta determina insieme agli assi cartesiani.