Esercizi: Funzione logaritmica

Calcola il valore dei seguenti logaritmi applicando direttamente la definizione, senza usare la calcolatrice:

a) $\log_2 32$

b) $\log_3 \frac{1}{9}$

c) $\log 10000$

Trova il valore dell'incognita $x$ in ciascuna delle seguenti uguaglianze utilizzando la definizione di logaritmo:

a) $\log_x 25 = 2$

b) $\log_5 x = 3$

c) $\log_2 64 = x$

Determina il dominio delle seguenti funzioni logaritmiche:

a) $f(x) = \log(x - 5)$

b) $g(x) = \ln(2x + 8)$

Indica, motivando la risposta e senza bisogno di disegnarle, quali delle seguenti funzioni sono crescenti e quali sono decrescenti:

a) $f(x) = \log_3 x$

b) $g(x) = \log_{0,5} x$

c) $h(x) = \ln x$

Usa la calcolatrice e la formula del cambiamento di base per trovare il valore di $\log_4 15$. Arrotonda il risultato a tre cifre decimali.

Osserva i grafici delle funzioni logaritmiche rappresentati nell'immagine qui sopra. Associa, motivando la risposta, la Funzione A e la Funzione B alle rispettive espressioni analitiche:

1) $y = \log_2 x$

2) $y = \log_{1/2} x$

Sapendo che, approssimativamente, $\log 2 = 0,301$, calcola il valore di $\log 8$ utilizzando esclusivamente le proprietà dei logaritmi.

Sofia sta studiando la funzione $f(x) = \log_3(x - 2)$ per una verifica del primo biennio e annota sulla sua scheda di ripasso le seguenti tre conclusioni:

1. «Poiché non esiste il logaritmo di numeri negativi né dello zero, il dominio è $[2, +\infty)$, includendo $2$ perché lì inizia la curva».

2. «Poiché la base è $a = 3$, che è un numero maggiore di $1$, la funzione è decrescente e ha un asintoto orizzontale sull'asse $X$».

3. «Il grafico interseca l'asse delle ordinate (asse $Y$) nel punto $(0, -2)$».

Individua dettagliatamente l'errore concettuale che commette Sofia in ciascuna delle sue tre affermazioni e scrivi la corretta giustificazione matematica. Infine, determina in modo motivato il dominio reale di $f(x)$, l'equazione del suo asintoto verticale e le coordinate esatte del suo punto di intersezione con l'asse $X$.

Considera la funzione logaritmica di base $f(x) = \log_2 x$.

1. a) Senza usare la calcolatrice, stima tra quali due numeri interi consecutivi si trova il valore di $f(20)$. Giustifica la tua deduzione basandoti sulle potenze di base $2$ più vicine a $20$ e sul fatto che la funzione è strettamente crescente.
2. b) Sapendo che $2^{4{,}32} \approx 19{,}97$ e che $2^{4{,}33} \approx 20{,}11$, verifica la tua stima precedente e delimita il valore di $f(20)$ con due cifre decimali.
3. c) Osserva che il numero $20$ è numericamente più vicino a $16$ che a $32$ ($20 - 16 = 4$, mentre $32 - 20 = 12$). Spiega, a partire dalla crescita e dalla concavità del grafico del logaritmo, perché il valore di $f(20)$ è così vicino a $f(16) = 4$ rispetto alla distanza che lo separa da $f(32) = 5$.

Sviluppa la seguente espressione applicando le proprietà dei logaritmi (logaritmo di un prodotto, di un quoziente e di una potenza), in modo che rimangano logaritmi di variabili semplici:

$\log \left( \frac{x^3 \cdot y^2}{\sqrt{z}} \right)$

Riduci la seguente espressione a un unico logaritmo utilizzando le proprietà dei logaritmi:

$2 \log a + \log b - 3 \log c$

Risolvi le seguenti equazioni logaritmiche semplici:

a) $\log(3x - 1) = \log(x + 7)$

b) $\log_2(x - 4) = 3$

Data la funzione $f(x) = \log_3(12 - 3x)$:

a) Determina il suo dominio in modo analitico.

b) Indica qual è l'equazione del suo asintoto verticale.

c) In quale direzione (sinistra o destra) si apre il grafico di questa funzione rispetto al suo asintoto?

Un capitale viene investito in un fondo bancario che offre un interesse composto annuo. La formula che regola il capitale accumulato $C$ nel corso degli anni $t$ è $C = C_0 \cdot 1,04^t$, dove $C_0$ è il capitale iniziale. Se si investono $2000$ euro, determina quanti anni completi devono trascorrere perché il capitale superi i $3000$ euro. Usa i logaritmi per ricavare l'incognita.

A partire dal grafico della funzione $f(x)$ mostrato sopra, che corrisponde a un logaritmo traslato della forma $f(x) = \log_a (x + b)$:

a) Indica il valore di $b$ osservando l'asintoto verticale.

b) Utilizza il punto $B(1, 2)$ per calcolare la base $a$ del logaritmo.

c) Scrivi l'espressione analitica completa della funzione.

L'intensità del suono si misura in decibel (dB) mediante una funzione logaritmica. La formula è $d = 10 \cdot \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$, dove $d$ sono i decibel, $I$ è l'intensità del suono e $I_0$ è l'intensità soglia di udibilità (una costante). Ricava l'intensità $I$ in funzione dei decibel $d$ e di $I_0$.

Sapendo che $\log 2 = 0,301$ e $\log 3 = 0,477$, calcola il valore di $\log 12$ e di $\log 5$ utilizzando le proprietà dei logaritmi, senza usare direttamente il tasto log della calcolatrice per quei numeri. (Suggerimento: ricorda che $5 = \frac{10}{2}$).

Una funzione logaritmica della forma $f(x) = \log_a(x + b)$ ha il suo asintoto verticale nella retta $x = -5$ e il suo grafico passa per il punto $(11, 4)$.

1. a) Determina in modo motivato il valore della traslazione orizzontale $b$ e il valore della base $a$. A partire da essi, specifica il dominio di $f(x)$ e spiega se la funzione è crescente o decrescente in tutto il suo dominio.
2. b) Ricorda che la funzione esponenziale e quella logaritmica sono funzioni inverse i cui grafici sono simmetrici rispetto alla retta $y = x$. Ricava l'espressione algebrica della funzione inversa $f^{-1}(x)$, indica il suo dominio e il suo codominio, e trova le coordinate del punto di intersezione di $f^{-1}(x)$ con l'asse $Y$ a partire dal punto di intersezione di $f(x)$ con l'asse $X$.

La normativa italiana sull'inquinamento acustico valuta il livello di pressione sonora in decibel ($\text{dB}$) mediante la funzione:

dove $I$ è l'intensità fisica dell'onda acustica in watt per metro quadrato ($\text{W/m}^2$) e $I_0 = 10^{-12}\text{ W/m}^2$ è la soglia uditiva umana di riferimento.

1. a) In un viale del centro di Napoli, il traffico intenso registrava un'intensità di $I_1 = 10^{-4}\text{ W/m}^2$. Dopo aver applicato misure di moderazione del traffico a $30\text{ km/h}$ e una pista ciclabile, l'intensità è scesa a $I_2 = 10^{-6}\text{ W/m}^2$. Calcola il livello di rumore in decibel prima e dopo l'intervento.
2. b) Un portavoce dei residenti dichiara: «Poiché l'intensità dell'onda fisica si è ridotta a un centesimo ($100$ volte meno), il livello di decibel avrebbe dovuto dividersi anch'esso per $100$, passando da $80\text{ dB}$ a meno di $1\text{ dB}$». Applicando le proprietà del logaritmo di un quoziente o di una potenza, confuta con rigore matematico l'affermazione del residente e dimostra di quanti decibel diminuisce esattamente il livello di rumore ogni volta che l'intensità fisica $I$ viene divisa per $10$.

Risolvi la seguente equazione logaritmica verificando la validità delle soluzioni ottenute:

$\log(x + 2) + \log(x - 1) = 1$

Trova i valori di $x$ e $y$ che soddisfano il seguente sistema di equazioni non lineari:

$\begin{cases} x - y = 9 \\ \log x - \log y = 1 \end{cases}$

La scala Richter per misurare la magnitudo dei terremoti è logaritmica e si definisce come $M = \log\left(\frac{A}{A_0}\right)$, dove $A$ è l'ampiezza dell'onda sismica e $A_0$ è un'ampiezza di riferimento.

Un terremoto nella città Alfa ha avuto una magnitudo di $6$ sulla scala Richter, e un altro nella città Beta ha avuto una magnitudo di $8$. Quante volte è stata maggiore l'ampiezza dell'onda sismica del terremoto di Beta rispetto a quello di Alfa? Dimostra matematicamente il tuo ragionamento.

Determina il dominio della funzione $f(x) = \ln(x^2 - 4x - 5)$. Esprimi il risultato sotto forma di intervalli.

Il test del Carbonio-14 viene utilizzato per datare antichi resti organici. La proporzione di C-14 diminuisce in modo esponenziale nel tempo secondo la funzione $P(t) = 100 \cdot 0,5^{\frac{t}{5730}}$, dove $P$ è la percentuale di C-14 rimanente rispetto all'originale e $t$ è il tempo trascorso in anni.

Se si scopre un fossile che conserva soltanto il $15\%$ del suo Carbonio-14 originale, qual è l'età stimata del fossile? Esprimi il risultato in anni e arrotonda all'unità.

L'immagine mostra il grafico della funzione esponenziale $f(x) = e^x$ e della sua funzione inversa $g(x)$.

a) Scrivi l'espressione analitica di $g(x)$.

b) Spiega il significato geometrico della retta tratteggiata arancione $y = x$ in relazione a entrambe le curve.

c) Determina il dominio e il codominio di entrambe le funzioni, giustificando come si scambiano tra una funzione e la sua inversa.

Si sa che una funzione logaritmica della forma $f(x) = \log_a(x + b)$ passa per l'origine degli assi $(0, 0)$ e per il punto $(6, 1)$.

Imposta un sistema di equazioni per trovare i valori dei parametri $a$ e $b$. Una volta trovati, scrivi l'espressione analitica finale della funzione e indica qual è il suo asintoto verticale.

In informatica, il tempo di esecuzione $T$ di un determinato algoritmo di ordinamento dipende dalla quantità di dati $n$ da elaborare e segue una funzione del tipo $T(n) = k \cdot n \cdot \log_2 n$, dove $k$ è una costante propria del computer.

Se nell'elaborare $n = 8$ dati il computer impiega $T = 24$ millisecondi:

a) Calcola il valore della costante $k$.

b) Quanto tempo impiegherà lo stesso computer per elaborare $n = 32$ dati?

Si vuole scoprire se i grafici delle funzioni $f(x) = \log_2 x$ e della sua funzione inversa $g(x) = 2^x$ hanno qualche punto di intersezione nel piano cartesiano. Due studenti propongono strategie opposte:

• Metodo algebrico (proposto da Ugo): Uguagliare le due espressioni impostando l'equazione $\log_2 x = 2^x$, applicare la definizione di logaritmo per scrivere $x = 2^{(2^x)}$ e provare a ricavare algebricamente il valore di $x$ mediante operazioni elementari con potenze e radici.

• Metodo geometrico e delle proprietà dell'inversa (proposto da Irene): Ricordare che i grafici di due funzioni inverse sono simmetrici rispetto alla retta $y = x$. Irene afferma che se una funzione crescente interseca la sua inversa, i punti in comune devono necessariamente trovarsi sulla retta di simmetria $y = x$. Pertanto, invece di risolvere $\log_2 x = 2^x$, basta analizzare la posizione relativa di $g(x) = 2^x$ rispetto alla retta $y = x$ confrontando i valori di $2^x$ e $x$ per $x > 0$.

1. a) Valuta entrambi i metodi: spiega perché il tentativo puramente algebrico di Ugo è un vicolo cieco al livello del primo biennio e descrivi perché la strategia di Irene è concettualmente adeguata.
2. b) Applica il ragionamento di Irene: calcola i valori di $g(x) = 2^x$ e della retta $y = x$ per i punti di prova $x = 0$, $x = 1$ e $x = 2$. A partire da essi e dalla crescita esponenziale, giustifica formalmente se $f(x)$ e $g(x)$ arrivano mai a intersecarsi nel piano.

L'Istituto Nazionale di Geofisica e Vulcanologia (INGV) calibra la risposta di un sensore sismico mediante una funzione logaritmica con traslazione del tipo $f(x) = \log_a(x + b)$. Si conoscono le seguenti condizioni tecniche sul suo comportamento:

1. Il sensore non può registrare magnitudo quando $x \le -3$, essendo la retta $x = -3$ un asintoto verticale della curva.

2. La funzione è strettamente decrescente in tutto il suo dominio.

3. Il grafico della sua funzione inversa, $f^{-1}(x)$, contiene il punto $(-1, 1)$.

1. a) Determina in modo motivato i parametri $b$ e $a$. Giustifica perché la base $a$ deve essere un numero strettamente compreso tra $0$ e $1$ e scrivi esplicitamente le funzioni $f(x)$ e $f^{-1}(x)$.
2. b) Descrivi il comportamento asintotico di $f(x)$: basandoti sulla relazione tra logaritmi e potenze con base compresa in $(0, 1)$, deduci in modo motivato verso quale valore tende $f(x)$ quando la variabile $x$ si avvicina a $-3$ da destra ($x \to -3^+$).
3. c) Trova le coordinate esatte dei punti di intersezione di $f(x)$ con l'asse delle ascisse ($X$) e con l'asse delle ordinate ($Y$).