Esercizi: Equazione della retta in forma punto-coefficiente angolare

Scrivi l'equazione, in forma punto-coefficiente angolare, della retta che passa per il punto $P(3, -2)$ e ha coefficiente angolare $m = 4$.

Calcola il coefficiente angolare della retta che passa per i punti $A(-1, 5)$ e $B(2, 11)$. Poi scrivi la sua equazione in forma punto-coefficiente angolare utilizzando il punto $A$.

Data la retta di equazione $y - 5 = -2(x + 1)$, indica qual è il suo coefficiente angolare e ricava direttamente dalla formula le coordinate di un punto per cui passa.

Trasforma l'equazione in forma punto-coefficiente angolare $y + 3 = \frac{1}{2}(x - 4)$ nella sua forma esplicita $y = mx + n$.

Scrivi l'equazione in forma punto-coefficiente angolare della retta parallela a $y = 3x - 7$ che passa per il punto $Q(-4, 1)$.

Un idraulico chiede $30$ € per il diritto di chiamata a domicilio e $20$ € per ogni ora di lavoro. Se sappiamo che per un lavoro di $2$ ore ha fatto pagare in totale $70$ €, scrivi l'equazione in forma punto-coefficiente angolare che mette in relazione il costo totale con le ore lavorate, prendendo come riferimento questo punto noto.

Nel grafico di una retta sono evidenziati i punti $(0, 0)$ e $P(2, 3)$. A partire dai punti evidenziati, calcola il coefficiente angolare della retta e scrivi la sua equazione in forma punto-coefficiente angolare prendendo come riferimento il punto $P$.

Scrivi l'equazione in forma punto-coefficiente angolare della retta bisettrice del primo e terzo quadrante. Poi scrivi l'equazione in forma punto-coefficiente angolare della retta bisettrice del secondo e quarto quadrante, usando in entrambi i casi l'origine del sistema di riferimento.

Alessandro deve determinare l'equazione generale della retta perpendicolare a $r: 3x - 6y + 2 = 0$ che passa per il punto $A(1, -2)$. Nel suo compito scrive quanto segue:

«Passo 1: Il coefficiente angolare della retta $r$ è $m_1 = -\dfrac{A}{B} = -\dfrac{3}{-6} = \dfrac{1}{2}$.

Passo 2: Poiché le rette perpendicolari hanno coefficienti angolari opposti, il coefficiente angolare della retta cercata deve essere $m_2 = -\dfrac{1}{2}$.

Passo 3: Applico la forma punto-coefficiente angolare: $y - (-2) = -\dfrac{1}{2}(x - 1)$, che svolgendo i calcoli dà $y + 2 = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}$, e in forma generale diventa $x + 2y + 3 = 0$».

1. a) Individua con precisione in quale passo commette l'errore e spiega l'errore concettuale di Alessandro sulla condizione di perpendicolarità.
2. b) Correggi l'esercizio a partire da tale passo e scrivi l'equazione generale ($Ax + By + C = 0$) corretta della retta perpendicolare.

Costruisci le equazioni generali ($Ax + By + C = 0$) di due rette distinte, $r$ e $s$, che soddisfino contemporaneamente le seguenti condizioni:

1. Entrambe devono essere perpendicolari alla retta data $t: 2x + 5y - 10 = 0$.

2. La retta $r$ deve intersecare l'asse delle ordinate ($Y$) in un punto con coordinata $y$ negativa (scegli tu tale valore e giustificalo).

3. La retta $s$ deve passare esattamente per il punto $P(4, 1)$.

Mostra in modo motivato come ricavi il coefficiente angolare comune di $r$ e $s$ a partire dalla retta $t$, e ottieni l'equazione generale di ciascuna.

Una società di noleggio di biciclette fa pagare una somma fissa per il servizio più un prezzo costante per ogni ora di utilizzo. Si sa che per un noleggio di $3$ ore si pagano $14$ € e per un noleggio di $5$ ore si pagano $20$ €. Determina il coefficiente angolare della funzione lineare di costo e scrivi la sua equazione in forma punto-coefficiente angolare usando i dati del primo cliente.

Determina l'equazione in forma punto-coefficiente angolare della retta perpendicolare alla retta $y - 2 = \frac{3}{4}(x + 1)$ e passante per l'origine del sistema di riferimento.

Verifica analiticamente se i punti $A(-2, 4)$, $B(1, -2)$ e $C(5, -10)$ sono allineati. Per farlo, determina prima l'equazione in forma punto-coefficiente angolare della retta che passa per $A$ e $B$, poi verifica se le coordinate di $C$ soddisfano tale equazione.

Un'auto percorre una strada rettilinea a velocità costante. Alle ore $10:00$ si trova al chilometro $45$ e alle ore $12:30$ passa per il chilometro $245$. Scrivi l'equazione in forma punto-coefficiente angolare che modellizza la posizione dell'auto in funzione del tempo trascorso dalle ore $10:00$, esprimendo il tempo in ore.

A partire dall'equazione generale della retta $3x - 5y + 15 = 0$, determina un suo punto la cui coordinata $x$ sia intera, calcola il suo coefficiente angolare e scrivi la corrispondente equazione in forma punto-coefficiente angolare.

Il grafico seguente mostra il profilo di discesa a velocità costante di un sommergibile. A partire dai punti indicati, determina l'equazione in forma punto-coefficiente angolare della sua traiettoria.

Il valore di un computer si deprezza linearmente nel tempo. Se è stato acquistato per $1200$ € e dopo $4$ anni il suo valore contabile è di $400$ €, scrivi l'equazione in forma punto-coefficiente angolare che mette in relazione il valore dell'apparecchio con gli anni trascorsi, usando il punto corrispondente al quarto anno.

Ottieni l'equazione in forma punto-coefficiente angolare della retta che passa per il punto $P(-3, 5)$ ed è parallela alla retta che unisce i punti $M(1, -2)$ e $N(4, 7)$.

In una zona dell'Umbria, due località sono situate su una carta geografica nelle coordinate $A(1, 2)$ e $B(7, 4)$ (misurate in chilometri). Una società di telecomunicazioni deve installare un ripetitore equidistante dai due comuni, il che richiede di collocarlo sull'asse del segmento $AB$.

1. a) Modellizza analiticamente la situazione calcolando passo dopo passo l'equazione generale di tale asse.
2. b) Una strada regionale segue il tracciato rettilineo della retta $r: x - y + 1 = 0$. Se l'azienda decide di installare il ripetitore proprio a margine di questa strada per facilitarne l'accesso, calcola le coordinate esatte del punto in cui deve essere collocato.
3. c) Analizza i coefficienti angolari della strada $r$ e del segmento $AB$ per giustificare matematicamente se la strada attraversa perpendicolarmente, obliquamente o se è parallela alla retta che unisce direttamente i due paesi.

Si considerano i tre punti del piano $P(-3, 8)$, $Q(1, 0)$ e $R(4, -6)$. Per scoprire se i tre punti sono allineati, si propongono due procedimenti diversi:

• Metodo 1: Determinare l'equazione esplicita della retta che passa per $P$ e $Q$, e verificare poi se le coordinate di $R$ soddisfano tale equazione.

• Metodo 2: Calcolare direttamente il coefficiente angolare del segmento $PQ$ ($m_{PQ}$) e quello del segmento $QR$ ($m_{QR}$), confrontando se i due valori coincidono.

1. a) Ragiona su quale dei due metodi sia più diretto ed efficiente, indicando quali vantaggi presenta rispetto al numero di operazioni e al rischio di errore algebrico.
2. b) Applica il metodo scelto per giustificare se $P$, $Q$ e $R$ sono o non sono allineati.
3. c) Usa l'impostazione con i coefficienti angolari per determinare il valore della coordinata incognita $k$ in modo che anche il punto $S(k, -10)$ sia allineato con essi.

Determina il valore del parametro $k$ affinché la retta di equazione $y - 3 = k(x + 2)$ passi per il punto di intersezione delle rette $r: 2x + y - 8 = 0$ e $s: x - 3y + 3 = 0$.

Determina l'equazione in forma punto-coefficiente angolare dell'asse del segmento di estremi $A(-4, 2)$ e $B(2, 6)$. Ricorda che l'asse è la retta perpendicolare al segmento che passa per il suo punto medio.

Dato il triangolo di vertici $A(1, 1)$, $B(7, 4)$ e $C(3, 7)$, determina l'equazione in forma punto-coefficiente angolare dell'altezza relativa al vertice $C$.

Le scale di temperatura Celsius ($^\circ C$) e Fahrenheit ($^\circ F$) hanno una relazione lineare. Sapendo che l'acqua congela a $0^\circ C$ ($32^\circ F$) e bolle a $100^\circ C$ ($212^\circ F$), ricava l'equazione in forma punto-coefficiente angolare che permette di convertire i gradi Celsius in Fahrenheit usando il punto di congelamento. Poi usala per calcolare la temperatura in Fahrenheit equivalente alla normale temperatura corporea umana di $37^\circ C$.

Calcola l'area del triangolo che la retta di equazione $y - 4 = -\frac{2}{3}(x + 3)$ forma con gli assi coordinati. Per farlo, determina prima i punti di intersezione della retta con gli assi.

In un semplice modello economico, la quantità richiesta di un prodotto diminuisce linearmente all'aumentare del suo prezzo. A un prezzo di $20$ € si richiedono $500$ unità, e si è osservato che per ogni aumento di $2$ € del prezzo la domanda scende di $50$ unità. Scrivi l'equazione in forma punto-coefficiente angolare della domanda prendendo il primo dato come riferimento, e calcola a quale prezzo la domanda sarà nulla.

Un raggio di luce segue una traiettoria rettilinea di equazione $y - 5 = -\frac{1}{2}(x - 2)$. Quando raggiunge l'asse delle ascisse (che si comporta come uno specchio piano perfetto), il raggio viene riflesso. Sapendo che l'angolo di incidenza è uguale all'angolo di riflessione, determina l'equazione del raggio riflesso in forma punto-coefficiente angolare, prendendo come riferimento il punto di incidenza sullo specchio.

Scrivi l'equazione della retta, in forma punto-coefficiente angolare, che passa per il punto $P(2, -1)$ e che, intersecando i semiassi coordinati (semiasse positivo delle ascisse e semiasse negativo delle ordinate), forma un triangolo rettangolo di area $4$ unità quadrate.

In un'operazione nel mar Tirreno, la Guardia Costiera individua due imbarcazioni alla deriva nelle posizioni $A(-6, -2)$ e $B(2, 4)$ (in miglia nautiche rispetto al centro di controllo in $(0,0)$). Un elicottero di soccorso deve pattugliare lungo la retta asse del segmento $AB$ per mantenersi sempre alla stessa distanza da entrambi i segnali.

1. a) Prima di eseguire calcoli analitici, fai una stima ragionata: deduci quale deve essere il segno del coefficiente angolare dell'asse e se la sua ordinata all'origine sarà positiva o negativa, giustificando la tua previsione a partire dalle posizioni di $A$, $B$ e del loro punto medio nel piano cartesiano.
2. b) Calcola l'equazione esplicita ($y = mx + n$) dell'asse e verifica se i valori ottenuti di $m$ e $n$ confermano con precisione le tue deduzioni del punto precedente.
3. c) La base costiera dell'elicottero si trova in $C(6, -8)$. Se il velivolo decolla seguendo la traiettoria rettilinea data da $4x + 3y = 0$, giustifica mediante l'analisi dei coefficienti angolari quale relazione geometrica ha tale traiettoria di partenza con la retta che unisce direttamente le due imbarcazioni ($AB$) e con la linea di pattugliamento (l'asse del segmento).

Si considerano la retta fissa $s: 4x - 6y + 5 = 0$ e una famiglia di rette dipendenti da un parametro reale $k$, definite da $r_k: (k - 1)x + 2y - 4 = 0$.

1. a) Determina in modo motivato il valore di $k$ per cui la retta $r_k$ è parallela a $s$.
2. b) Determina il valore di $k$ per cui la retta $r_k$ è perpendicolare a $s$.
3. c) Un compagno di classe afferma: «Se una terza retta $t$ qualsiasi è perpendicolare a $s$, allora $t$ sarà necessariamente secante a $r_k$ qualunque sia il valore del parametro $k$». Ragiona geometricamente e algebricamente se l'affermazione del tuo compagno è vera o falsa, analizzando cosa accade al coefficiente angolare di $t$ rispetto ai casi calcolati nei punti a) e b).