Esercizi: Equazioni di secondo grado

Risolvi la seguente equazione di secondo grado incompleta ricavando direttamente l'incognita:

$4x^2 - 64 = 0$

Calcola le soluzioni della seguente equazione di secondo grado incompleta mediante raccoglimento a fattor comune:

$3x^2 + 15x = 0$

Applica la formula risolutiva per trovare le radici della seguente equazione di secondo grado completa:

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Determina se l'equazione $2x^2 + 3x + 5 = 0$ ha soluzioni nell'insieme dei numeri reali calcolando prima il valore del suo discriminante $\Delta$.

Trova le soluzioni della seguente equazione già scomposta in fattori, senza bisogno di sviluppare il prodotto:

$(2x - 5)(x + 4) = 0$

Scrivi un'equazione di secondo grado nella forma $x^2 + bx + c = 0$ sapendo che le sue uniche soluzioni sono $x_1 = 3$ e $x_2 = -8$.

Trova il valore del coefficiente $c$ nell'equazione $x^2 + 4x + c = 0$ affinché abbia un'unica soluzione reale doppia.

Il quadrato di un numero naturale meno il suo triplo è esattamente uguale a $18$. Imposta un'equazione di secondo grado e calcola di quale numero si tratta.

Luca sta risolvendo l'equazione $2x^2 - 10x = 0$ alla lavagna ed esegue i seguenti passaggi sul quaderno:

Consultando le soluzioni del libro, scopre con sorpresa che l'equazione ha in realtà due soluzioni: $x_1 = 0$ e $x_2 = 5$.

1. a) Spiega con precisione matematica quale errore concettuale ha commesso Luca dividendo entrambi i membri per l'incognita $x$ e perché questa operazione ha eliminato una delle soluzioni valide.
2. b) Risolvi correttamente l'equazione mediante raccoglimento a fattor comune e giustifica ogni passaggio applicando la legge di annullamento del prodotto.

Si vuole costruire un'equazione di secondo grado a coefficienti interi della forma $ax^2 + bx + c = 0$ le cui soluzioni esatte siano $x_1 = -\frac{3}{2}$ e $x_2 = 4$.

1. a) Applica le relazioni tra coefficienti e radici (formule di Viète) per dedurre il valore esatto della somma ($S = x_1 + x_2$) e del prodotto ($P = x_1 \cdot x_2$) delle soluzioni sotto forma di frazione ridotta ai minimi termini.
2. b) Scrivi un'equazione equivalente a coefficienti interi ($a, b, c \in \mathbb{Z}$), senza denominatori, con $a > 0$ e tale che i coefficienti non abbiano fattori comuni (cioè siano primi tra loro).
3. c) L'equazione ottenuta nel punto precedente è l'unica equazione di secondo grado che ha esattamente queste due soluzioni? Giustifica la risposta ragionando su che cosa accade moltiplicando tutti i coefficienti per una costante $k \neq 0$.

Per ristrutturare il salotto rettangolare di un'abitazione, l'architetto indica che la lunghezza supera la larghezza di $2\text{ m}$. Se la superficie totale del salotto è $35\text{ m}^2$, imposta un'equazione di secondo grado e calcola le dimensioni esatte della stanza.

Un ingegnere aerospaziale lancia un razzo di prova. L'altezza $h$ (in metri) raggiunta dal razzo in funzione del tempo $t$ (in secondi) è data dall'espressione $h(t) = 40t - 5t^2$. Determina in quali istanti il razzo si trova esattamente a $75\text{ m}$ di altezza.

Sviluppa i prodotti notevoli, riduci i termini simili e risolvi la seguente equazione:

$(x + 2)^2 - 2(x - 1)^2 = 3x + 6$

La vendita dei biglietti del musical della scuola produce un guadagno $B$ (in decine di euro) che dipende dal numero di biglietti venduti $x$ (in decine) secondo l'equazione $B(x) = -x^2 + 50x - 400$. Calcola quanti biglietti si devono vendere esattamente perché il guadagno sia nullo (il punto di pareggio).

Determina il valore numerico del parametro $k$ affinché l'equazione $3x^2 - kx + 12 = 0$ abbia un'unica soluzione reale doppia.

In una rampa da skateboard a forma di triangolo rettangolo, il cateto maggiore supera di $7\text{ m}$ il cateto minore e l'ipotenusa supera di $2\text{ m}$ il cateto maggiore. Imposta un'equazione di secondo grado utilizzando il teorema di Pitagora e calcola la lunghezza dei tre lati della rampa.

Risolvi la seguente equazione operando prima con le frazioni algebriche. Verifica le soluzioni ottenute per scartare eventuali radici false che annullano i denominatori:

$\frac{x}{x-2} + \frac{2x}{x+2} = \frac{16}{x^2-4}$

Sapendo che una delle soluzioni dell'equazione $2x^2 + bx - 15 = 0$ è $x_1 = 3$, calcola, senza risolvere completamente l'equazione, il valore dell'altra soluzione $x_2$ e il valore del coefficiente $b$.

Per risolvere l'equazione $(3x - 1)^2 - 25 = 0$, Alba e Matteo propongono strategie diverse:

• Alba propone di sviluppare il prodotto notevole del binomio, sottrarre $25$, raccogliere i termini nella forma canonica $ax^2 + bx + c = 0$ e applicare la formula risolutiva con il discriminante.

• Matteo propone di isolare direttamente la potenza, scrivendo $(3x - 1)^2 = 25$, ed estrarre la radice quadrata a entrambi i membri considerando il doppio segno $\pm$.

1. a) Risolvi l'equazione seguendo passo passo il procedimento di Alba e poi quello di Matteo, verificando che entrambi portano alle stesse soluzioni.
2. b) Confronta i due percorsi e giustifica quale dei due è più efficiente e presenta minor rischio di errori di calcolo (segni, operazioni con numeri grandi).
3. c) Il metodo abbreviato di Matteo sarebbe applicabile direttamente per risolvere l'equazione $(3x - 1)^2 - 6x = 25$? Giustifica perché sì o perché no.

Secondo gli studi tecnici sulla sicurezza stradale, la distanza totale di arresto $d$ (in metri) di un'automobile su asfalto asciutto in funzione della velocità $v$ (in $\text{km/h}$) a cui viaggia si approssima con il modello quadratico:

dove $0,3v$ corrisponde alla distanza percorsa durante il tempo di reazione del conducente e $0,005v^2$ alla frenata meccanica. La Polizia Locale indaga su un sinistro in un viale urbano il cui limite generico è $50\text{ km/h}$ e rileva una traccia di arresto totale di $36\text{ m}$.

1. a) Stima: Prima di risolvere l'equazione, calcola a mente o per tentativi quale distanza servirebbe per fermarsi a $50\text{ km/h}$ e a $70\text{ km/h}$. Partendo da questi valori, stabilisci tra quali decine di $\text{km/h}$ deve trovarsi la velocità del veicolo.
2. b) Imposta l'equazione quadratica corrispondente a $d = 36\text{ m}$ e risolvila mediante la formula risolutiva per ottenere il valore numerico esatto di $v$.
3. c) Verifica: Scarta con criterio fisico una delle soluzioni matematiche ottenute e determina se il veicolo superava il limite di velocità, confrontando il risultato con la tua stima precedente.

Una fotografia rettangolare di dimensioni $20\text{ cm}$ di base per $15\text{ cm}$ di altezza deve essere incorniciata con un passepartout di larghezza uniforme $x$. Se l'area totale dell'insieme (fotografia più passepartout) deve essere esattamente $500\text{ cm}^2$, imposta un'equazione di secondo grado e calcola la larghezza $x$ del passepartout.

In un campionato di pallavolo, ogni squadra gioca esattamente una partita contro tutte le altre. Sapendo che il numero totale di partite disputate in un torneo di $n$ squadre è dato dalla formula $\frac{n(n-1)}{2}$ e che a fine stagione sono state disputate in totale $105$ partite, imposta l'equazione corrispondente e scopri quante squadre hanno partecipato al campionato.

Due tubi di diverso diametro riempiono insieme una cisterna d'acqua in $6\text{ ore}$. Se si usasse solo uno dei due, il tubo più sottile impiegherebbe $5\text{ ore}$ in più rispetto al tubo più grosso per riempire da solo la cisterna. Imposta un'equazione quadratica sommando le frazioni di cisterna che ciascun tubo riempie in un'ora e calcola quanto tempo impiegherebbe ciascun tubo lavorando da solo.

Discuti, al variare del parametro $m$, il numero di soluzioni reali della seguente equazione di secondo grado:

$mx^2 - 2(m-1)x + m = 0$

Assicurati di analizzare che cosa accade quando il discriminante è positivo, nullo o negativo e non dimenticare il caso particolare in cui il coefficiente del termine di secondo grado si annulla.

Uno scultore vuole dividere un'asta di ottone di lunghezza $1\text{ metro}$ in due pezzi di lunghezze $x$ e $1-x$ (essendo $x$ il pezzo maggiore, cioè $x > 1-x$). Vuole farlo in modo che il rapporto tra l'asta intera e il pezzo maggiore sia uguale al rapporto tra il pezzo maggiore e il pezzo minore. Imposta l'equazione corrispondente e trova il valore esatto di $x$.

L'area di un rettangolo è $60\text{ cm}^2$ e la lunghezza della sua diagonale è $13\text{ cm}$. Indicando con $x$ la base e con $y$ l'altezza, esprimi $y$ in funzione di $x$ usando il dato dell'area. Poi sostituisci nel teorema di Pitagora per la diagonale e risolvi l'equazione biquadratica che ne risulta per trovare le dimensioni esatte del rettangolo.

Risolvi la seguente equazione in cui compare un radicale, isolando prima la radice ed elevando al quadrato entrambi i membri. È obbligatorio verificare le soluzioni ottenute nell'equazione di partenza per scartare eventuali radici false:

$\sqrt{2x + 7} - x = 2$

Un gruppo di studenti noleggia un autobus per una gita con un costo totale di $400\text{ €}$. All'ultimo momento si iscrivono al viaggio altri $5$ studenti, così ognuno di quelli che dovevano partecipare inizialmente deve pagare $4\text{ €}$ in meno. Imposta un'equazione quadratica per calcolare quanti studenti dovevano partecipare all'inizio e risolvila.

Una cooperativa olivicola pugliese dedicata alla produzione di olio extravergine di oliva gestisce un terreno con una densità standard di $120$ olivi per ettaro, ottenendo un raccolto medio di $50\text{ kg}$ di olive per albero all'anno. I tecnici agricoli avvertono che, per ogni olivo aggiuntivo $x$ piantato per ettaro, la competizione per l'acqua e i nutrienti del suolo riduce la produzione media di ogni albero di $0,25\text{ kg}$.

1. a) Scrivi l'espressione algebrica della produzione totale per ettaro in funzione del numero di alberi aggiunti $x$, moltiplicando il numero totale di olivi per la resa di olive per albero.
2. b) La cooperativa pianifica la campagna per raccogliere un totale di $6\,375\text{ kg}$ di olive per ettaro. Imposta la corrispondente equazione di secondo grado, scrivila in forma canonica $ax^2 + bx + c = 0$ e calcola i due possibili valori di $x$.
3. c) Il modello algebrico fornisce due soluzioni reali positive. Interpreta il significato pratico di ciascuna e giustifica quale delle due opzioni conviene adottare alla cooperativa se il suo obiettivo è minimizzare i costi di potatura, raccolta e consumo d'acqua.

Considera la seguente famiglia di equazioni in cui interviene un parametro reale $k$:

1. a) Uno studente afferma che se $k = 2$ l'equazione non ha alcuna soluzione perché, applicando la formula risolutiva, il denominatore $2a$ si annulla ($2 \cdot 0 = 0$). Confuta la sua affermazione spiegando che tipo di equazione si ottiene in realtà sostituendo $k = 2$ e calcola la sua soluzione.
2. b) Per i casi in cui $k \neq 2$, calcola l'espressione semplificata del discriminante $\Delta$ in funzione di $k$ e determina formalmente per quali valori del parametro l'equazione ha due soluzioni reali distinte, una soluzione reale doppia o nessuna soluzione reale.
3. c) Senza calcolare le soluzioni dell'equazione, utilizza in modo giustificato le relazioni tra coefficienti e radici per stabilire se esiste un valore di $k$ per cui le due radici siano opposte ($x_1 + x_2 = 0$). In caso affermativo, determina tale valore di $k$, verifica se le sue radici sono reali e trova il valore di entrambe le soluzioni.