Esercizi: Calcolo approssimato ed errori

Approssima $\sqrt{7}$ per difetto e per eccesso a meno di un centesimo, senza usare la calcolatrice se non per verificare.

Una lunghezza è misurata come $x = 12{,}4$ cm con errore assoluto $0{,}2$ cm. Scrivi l'intervallo in cui si trova il valore vero e calcola l'errore relativo percentuale.

Arrotonda il numero $\pi = 3{,}14159\ldots$ al millesimo e calcola l'errore assoluto commesso.

Un campo rettangolare a Pavia misura $(80{,}0 \pm 0{,}5)$ m per $(45{,}0 \pm 0{,}5)$ m. Calcola l'area stimata e l'intervallo entro cui cade il valore vero dell'area.

Si approssima $\pi$ con $\dfrac{22}{7}$. Calcola l'errore assoluto e relativo percentuale commessi, e l'errore sull'area di un cerchio di raggio 10 m.

Con il metodo di bisezione, individua in due passi un intervallo di ampiezza $0{,}25$ che contenga la radice positiva di $x^2 - 3 = 0$, partendo da $[1, 2]$.

Un cubo ha spigolo misurato $(5{,}00 \pm 0{,}02)$ cm. Stima l'errore relativo percentuale massimo sul volume e confrontalo con quello sullo spigolo. Commenta il risultato.

Mostra che $f(x) = x^3 + x - 3$ ha una sola radice reale in $[1, 2]$ (giustifica monotonia e cambio di segno) e determinala con due cifre decimali esatte usando la bisezione.

Il metodo di Archimede approssima $\pi$ con il perimetro di poligoni regolari inscritti in una circonferenza di raggio 1. Calcola il perimetro dell'esagono e dell'ottagono regolari inscritti, ricava le corrispondenti approssimazioni per difetto di $\pi$ e stima l'errore relativo commesso nei due casi.