Positions relatives de droites et de plans

Soit les droites $r$ et $s$ données par leurs équations paramétriques :

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 \lambda \end{cases}$ et $s: \begin{cases} x = \mu \\ y = 1 + \mu \\ z = 2 - \mu \end{cases}$

Étudier leur position relative en comparant leurs vecteurs directeurs. Sont-elles parallèles ou ont-elles des directions différentes ?

Soit les points $A(1 ; 0 ; -1)$, $B(2 ; 1 ; 0)$ et $C(3 ; 2 ; 1)$. Déterminer la position relative de la droite passant par $A$ et $B$ par rapport à la droite passant par $B$ et $C$. S'agit-il de la même droite (droites confondues) ou de droites sécantes au point $B$ ?

Étudier la position relative des droites $r$ et $s$ suivantes. Dans le cas où elles sont sécantes, calculer les coordonnées du point d'intersection :

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -2\lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$

$s: \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-4}{-1}$

Un rayon laser se propage le long de la droite $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{3}$ et rencontre une lame de verre plane d'équation $\pi: x + y + z - 1 = 0$. Déterminer la position relative du rayon laser et de la lame. Dans le cas où ils se coupent, calculer les coordonnées du point d'impact.

Vérifier si la droite $r$, définie comme l'intersection des plans $x + y = 2$ et $x - y = 0$, est parallèle au plan de coordonnées $XY$ (le plan $z = 0$). Justifier la réponse à l'aide du vecteur directeur de la droite.

Un architecte utilise un logiciel de conception pour placer une poutre structurelle représentée par la droite $r: \dfrac{x-2}{3} = \dfrac{y+1}{-2} = \dfrac{z-4}{4}$. Déterminer si la poutre est perpendiculaire au plan de façade $\pi: 3x - 2y + 4z + 1 = 0$. Justifier la réponse.

On considère le plan $\pi: 2x - y + az + 3 = 0$ et la droite $r$ passant par les points $A(1 ; 0 ; -1)$ et $B(2 ; 1 ; 0)$. Déterminer la valeur du paramètre $a \in \mathbb{R}$ pour que la droite soit parallèle au plan. Pour cette valeur de $a$, la droite est-elle contenue dans le plan ? Justifier la réponse.

Dans la conception d'un bâtiment intelligent, deux surfaces planes correspondant au plafond et au sol d'un étage technique ont été définies. Les équations des plans sont $\pi_1: 2x - y + 3z - 5 = 0$ et $\pi_2: 4x - 2y + 6z + 8 = 0$. Analyser la position relative des deux plans pour confirmer s'ils sont parallèles.

Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour que les plans $\pi_1: x + ky + z - 2 = 0$ et $\pi_2: 2x - 4y + 2z + 1 = 0$ soient parallèles. Pour cette valeur de $k$, les plans pourraient-ils être confondus ? Justifier la réponse en observant les termes constants.

Déterminer une équation cartésienne du plan contenant la droite $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{3}$ et parallèle à la droite $s: \begin{cases} x = t \\ y = 2t \\ z = 1 + t \end{cases}$. Quelle est la position relative des droites $r$ et $s$ ?

Soit les droites $r$ et $s$. Démontrer qu'elles sont non coplanaires et déterminer une équation du plan contenant $s$ et parallèle à $r$ :

$r: \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{1}$

$s: \frac{x-1}{-1} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2}$

Discuter, en fonction du paramètre réel $m$, la position relative des trois plans suivants :

$\pi_1: mx + y + z = 1$

$\pi_2: x + my + z = m$

$\pi_3: x + y + mz = m^2$

Un faisceau de plans a pour axe la droite $r: \begin{cases} 3x - y + z = 2 \\ x + 2y - z = 1 \end{cases}$. Trouver lequel des plans du faisceau passe par le point $P(1 ; 1 ; 1)$. Une fois ce plan obtenu, déterminer sa position relative par rapport à l'axe $OY$.

Dans un projet de conception industrielle, trois surfaces sont définies par les plans suivants de l'espace :

$\pi_1: x + ay + z = a$

$\pi_2: ax + y + (a-1)z = 1$

$\pi_3: x + y + z = 1$

Discuter la position relative des trois plans selon les différentes valeurs du paramètre réel $a$. Dans les cas où les trois plans se coupent selon une droite (formant un faisceau de plans), déterminer une représentation paramétrique de cette droite.