Théorème fondamental de l'analyse et calcul d'intégrales par les primitives

Déterminer la valeur de la dérivée de la fonction définie par l'intégrale suivante au point $x = 2$ :

$$F(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{t^3 + 1} \, dt$$

Expliquer quel théorème vous utilisez pour résoudre le problème sans calculer de primitive.

Un programmeur de jeux vidéo conçoit la trajectoire d'un projectile. La vitesse de l'objet en fonction du temps $t$ est donnée par l'expression $v(t) = \int_1^t (3x^2 - 4x) \, dx$.

Appliquer le théorème fondamental de l'analyse pour déterminer l'expression de l'accélération instantanée $a(t)$, sachant que l'accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps ($a(t) = v'(t)$).

Calculer la fonction dérivée $F'(x)$ de la fonction définie par l'intégrale suivante à l'aide du théorème fondamental de l'analyse et de la dérivée d'une fonction composée :

$$F(x) = \int_{1}^{x^2} \frac{\ln(t)}{t + 1} \, dt$$

Indiquer l'ensemble de définition de la fonction $F(x)$ pour que l'intégrale soit bien définie.

Un panneau solaire thermique a une conception dont la section transversale supérieure est délimitée par la fonction $f(x) = 3x^2 + 2$, où $x$ est mesuré en mètres. Calculer la valeur de l'intégrale sur l'intervalle $[0\,;\,2]$ en utilisant une primitive.

La consommation électrique d'un logement durant la première heure de la matinée est modélisée par la fonction $f(x) = e^x + x$, où $x$ est le temps en heures. Calculer la consommation totale accumulée, représentée par l'intégrale :

$$\int_{0}^{1} (e^x + x) \, dx$$

La vitesse d'un prototype de véhicule électrique pendant les 4 premières secondes d'un essai est donnée par la fonction $v(t) = t^2 - 3t + 4$ (en m/s).

1. a) Calculer la distance totale parcourue par le véhicule entre les instants $t = 1$ s et $t = 3$ s en appliquant la formule fondamentale du calcul intégral (avec une primitive).
2. b) Justifier si le véhicule s'arrête à un moment donné durant cet intervalle.

Déterminer la valeur moyenne de la fonction $f(x) = \sqrt{x+1}$ sur l'intervalle $[0 ; 3]$ et déterminer le point $c \in \,]0 ; 3[$ dont l'existence est garantie par le théorème de la moyenne. Interpréter géométriquement le résultat.

Calculer la valeur de la limite suivante à l'aide de la règle de L'Hôpital et du théorème fondamental de l'analyse :

$$\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x^2} \left( e^{t^2} - 1 \right) \, dt}{x^6}$$

Expliquer chaque étape en justifiant la dérivation de la fonction définie par l'intégrale.

Soit $f(x)$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ telle que $\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2$. Déterminer la valeur de la constante $k$ pour que l'égalité suivante soit vérifiée, sachant que l'aire sous la courbe de gauche a été translatée et dilatée :

$$\int_{0}^{2} f\left(\frac{x}{2}\right) \, dx + \int_{1}^{\sqrt{2}} x \cdot f(x^2 - 1) \, dx = k$$

Utiliser le changement de variable dans les intégrales pour les relier à la donnée initiale.

Calculer l'aire du domaine plan limité par la courbe représentative de la fonction $f(x) = \sin(x)$, l'axe des abscisses $OX$ et les droites verticales $x = 0$ et $x = \pi$. Esquisser le domaine avant d'appliquer la formule fondamentale du calcul intégral.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Déterminer l'aire de la région délimitée par la courbe $f(x) = x^2 - 4$ et l'axe $OX$ sur l'intervalle $[0 ; 2]$. Rappel : si la fonction est négative sur l'intervalle, l'aire correspond à la valeur absolue de l'intégrale.

Soit la fonction $f(x) = |x^2 - 2x|$. Calculer la valeur de l'intégrale sur l'intervalle $[0, 3]$ à l'aide des primitives :

$$\int_0^3 |x^2 - 2x| \, dx$$

Expliquer brièvement pourquoi il est nécessaire de découper l'intervalle d'intégration pour résoudre cet exercice.

Soit une fonction $f(x)$ continue sur l'intervalle $[1\,;\,8]$. On connaît les valeurs des intégrales suivantes :

• $\int_1^5 f(x) \, dx = 7$

• $\int_5^8 f(x) \, dx = -3$

Utiliser les propriétés de l'intégrale pour calculer la valeur de $\int_1^8 2 \cdot f(x) \, dx$.

On considère la fonction $f(x) = 4 - x^2$ définie sur l'intervalle $[0 ; 2]$. On souhaite calculer la valeur de l'intégrale $I = \int_0^2 (4 - x^2)\,dx$.

1. a) Avant de calculer une primitive, encadrer en justifiant la valeur de l'intégrale : justifier géométriquement pourquoi $I$ doit être strictement inférieure à l'aire du rectangle de sommets $(0 ; 0)$, $(2 ; 0)$, $(2 ; 4)$ et $(0 ; 4)$ (aire 8) et strictement supérieure à l'aire du triangle de sommets $(0 ; 0)$, $(2 ; 0)$ et $(0 ; 4)$ (aire 4). À partir de cela, formuler une estimation numérique raisonnable de la valeur de $I$.
2. b) Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I$ à l'aide d'une primitive, en précisant le choix de la primitive employée.
3. c) Vérifier si le résultat exact obtenu est cohérent avec votre estimation et expliquer pourquoi, dans ce cas, la valeur de l'intégrale coïncide exactement avec l'aire géométrique délimitée par la courbe de $f$ et l'axe des abscisses.

Le logo d'une nouvelle marque de vêtements urbains est délimité par les courbes des fonctions $f(x) = \sin(\pi x)$ et $g(x) = ax$, avec $a > 0$, dans le premier quadrant.

1. a) Déterminer la valeur de $a$ pour que la droite $y = ax$ passe par le maximum local de la fonction $f(x)$ sur l'intervalle $[0, 1]$.
2. b) Pour la valeur de $a$ trouvée, calculer à l'aide des primitives l'aire de la région délimitée par les deux courbes.

Soit la fonction $G(x)$ définie par :

$$G(x) = \int_{0}^{x} (t^2 - 4)e^{t} \, dt$$

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $G(x)$ au point d'abscisse $x = 0$.

Remarque : n'oubliez pas que, pour trouver l'ordonnée du point de tangence, il faut calculer $G(0)$ et que, pour le coefficient directeur, il faut appliquer le théorème fondamental de l'analyse.

Soit la fonction définie par une intégrale $H(x) = \int_{0}^{x} \frac{t-1}{t^2+4} \, dt$ :

1. a) Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance de $H(x)$.
2. b) Déterminer les coordonnées des extremums locaux (maximums ou minimums) de $H(x)$ et les classer.

Soit la fonction $f(t) = \frac{\ln(t)}{t^2}$ définie pour $t > 0$. On définit une nouvelle fonction $G(x)$ par :

$$G(x) = \int_{x}^{x^2} f(t) \, dt$$

1. a) En appliquant le théorème fondamental de l'analyse et la dérivée d'une fonction composée, déterminer l'expression de la dérivée $G'(x)$.
2. b) Déterminer les intervalles sur lesquels $G(x)$ est croissante et ceux sur lesquels elle est décroissante sur son ensemble de définition.
3. c) Déterminer la valeur de $x > 1$ pour laquelle la fonction $G(x)$ admet un maximum local.

Soit la fonction définie par l'intégrale $F(x) = \int_{0}^{x} \frac{t - 1}{e^t + 1} \, dt$.

1. a) Déterminer les points critiques de $F(x)$ et les classer à l'aide du signe de la dérivée première.
2. b) Étudier la convexité de $F(x)$ et déterminer si elle admet des points d'inflexion.
3. c) Existe-t-il une valeur de $x$ pour laquelle $F(x)$ soit négatif ? Justifier en se basant sur le signe de la fonction à intégrer et sur les bornes d'intégration.