Applications de l'intégrale

Calculer la valeur de l'intégrale suivante à l'aide d'une primitive :

Pour calculer l'aire du domaine fermé délimité par la courbe représentative de la fonction $f(x) = x^3 - 4x$ et l'axe des abscisses sur l'intervalle $[-2, 2]$, Marc a écrit ceci dans sa copie :

Il en conclut que l'aire du domaine est nulle.

1. a) Expliquer de façon argumentée l'erreur conceptuelle commise par Marc. Pourquoi l'intégrale est-elle nulle alors que le domaine a une aire géométrique non nulle ?
2. b) Corriger sa résolution : déterminer les points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses, écrire correctement les intégrales permettant de calculer l'aire réelle et en déterminer la valeur exacte à l'aide d'une primitive.

Un studio de design conçoit le logo d'une nouvelle entreprise de technologie. La base du logo est délimitée par la fonction $f(x) = x^3 - 4x$ et l'axe des abscisses $OX$. Calculer l'aire totale des deux régions fermées que forme la courbe avec l'axe.

Calculer l'aire du domaine plan délimité par la parabole $f(x) = x^2 - 4x + 3$ et l'axe des abscisses ($OX$). Remarque : pensez à déterminer d'abord les points d'intersection de la fonction avec l'axe.

On souhaite calculer l'aire du domaine borné délimité par la parabole $f(x) = 3x - x^2$ et l'axe des abscisses ($y = 0$).

1. a) Avant de calculer la moindre intégrale, estimer cette aire en l'encadrant entre deux valeurs numériques :

• Obtenir un majorant en calculant l'aire du rectangle qui circonscrit exactement le domaine (sa base est le segment entre les points d'intersection avec l'axe $X$ et sa hauteur est l'ordonnée du sommet de la parabole).

• Obtenir un minorant en calculant l'aire du triangle isocèle inscrit qui a pour base ce segment de l'axe $X$ et pour sommet supérieur le sommet de la parabole.

1. b) Calculer maintenant la valeur exacte de l'aire à l'aide d'une primitive.
2. c) Vérifier si le résultat exact obtenu appartient à l'intervalle d'encadrement de la question a) et justifier si votre estimation était raisonnable.

Sans calculer de primitive, justifier à l'aide des propriétés de l'intégrale pourquoi la valeur de l'intégrale suivante est égale à $0$ :

Déterminer l'aire du domaine compris entre les courbes représentatives des fonctions $f(x) = 6 - x^2$ et $g(x) = 2$.

Calculer l'aire du domaine plan borné limité par les courbes des fonctions $f(x) = -x^2 + 5x$ et $g(x) = x + 2$. Représenter graphiquement le domaine avant d'effectuer le calcul.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Calculer l'aire de la région du premier quadrant délimitée par la courbe de $f(x) = \frac{8}{x}$, la droite $y = x$ et la droite $y = 4$.

Déterminer l'aire du domaine limité par la courbe $f(x) = x^2 - 4x + 5$, la tangente à cette courbe au point $(3 ; f(3))$ et l'axe des ordonnées $OY$.

On considère le domaine limité par les courbes $y = e^x$, $y = e^{-x}$ et la droite verticale $x = \ln(2)$.

1. a) Dessiner un schéma du domaine.

1. b) Calculer l'aire de ce domaine.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

On souhaite calculer l'aire du domaine plan borné situé dans le premier quadrant, délimité conjointement par la courbe $y = x^2$, la droite $y = 2 - x$ et l'axe des abscisses ($y = 0$).

1. a) Concevoir et décrire deux stratégies analytiques différentes pour calculer cette aire :

• Méthode 1 (intégration par rapport à la variable $x$) : déterminer les points d'intersection et les intervalles nécessaires, en exprimant l'aire comme somme d'intégrales par rapport à $x$.

• Méthode 2 (intégration par rapport à la variable $y$) : exprimer la variable $x$ en fonction de $y$ dans chaque équation et exprimer l'aire totale comme une unique intégrale par rapport à la variable $y$.

1. b) Comparer les deux méthodes et justifier laquelle est la plus avantageuse en termes d'économie de calcul et de moindre risque d'erreurs algébriques.
2. c) Appliquer la méthode jugée optimale (ou combiner l'intégration et la géométrie élémentaire sur le tronçon linéaire) pour obtenir la valeur exacte de l'aire du domaine.

La vitesse d'une voiture télécommandée (en $m/s$) est donnée par la fonction $v(t) = 2t + 1$. Déterminer la distance totale parcourue par la voiture entre les instants $t = 1$ s et $t = 4$ s en calculant l'intégrale de la vitesse.

Une entreprise de composants électroniques a établi que le coût marginal de production de $x$ unités d'un capteur est de $C'(x) = 3x^2 - 12x + 15$ euros par unité. Calculer l'augmentation totale du coût lorsque la production passe de $10$ à $20$ capteurs.

Un véhicule autonome se déplace en ligne droite et sa vitesse (en m/s) est donnée par la fonction $v(t) = t^2 - 6t + 8$, où $t$ est le temps en secondes. Calculer la distance totale parcourue par le véhicule entre l'instant $t = 0$ et $t = 5$. Remarque : la distance est l'intégrale de la valeur absolue de la vitesse.

Soit la fonction définie par une intégrale $F(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{t^2 + 9} \, dt$. Utiliser le théorème fondamental de l'analyse pour déterminer la valeur de sa dérivée au point $x = 4$, c'est-à-dire calculer $F'(4)$.

Soit la fonction $F(x)$ définie par l'intégrale suivante :

$F(x) = \int_{2}^{x^2-1} \frac{\ln(t)}{t} dt$

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $F(x)$ au point d'abscisse $x = \sqrt{3}$.

Soit la fonction $f(x)$ définie par l'expression suivante faisant intervenir une intégrale :

$F(x) = \int_{0}^{x^2} \frac{t-1}{2+e^t} dt$

On demande de déterminer en justifiant :

1. a) Les intervalles de croissance et de décroissance de $F(x)$ sur tout son ensemble de définition.
2. b) L'abscisse des points où $F(x)$ atteint ses extremums locaux, en les classant en maximums ou minimums.
3. c) La fonction $F(x)$ présente-t-elle un point d'inflexion sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ ? Justifier la réponse à l'aide de la dérivée seconde.

Déterminer la valeur du paramètre positif $k > 0$ pour que l'aire du domaine limité par la parabole $y = kx^2$ et la droite $y = 4$ soit exactement de $16$ unités d'aire.

Une équipe d'ingénieurs conçoit l'arche d'entrée d'un tunnel technologique. La forme de l'arche supérieure est donnée par la fonction $f(x) = 4 - x^2$ pour $x \in [-2, 2]$. Pour renforcer la structure, on doit tracer une droite $y = k$ (où $0 < k < 4$) de telle manière que l'aire de la section supérieure (au-dessus de la droite de renfort) soit exactement le double de l'aire de la section inférieure (entre la droite de renfort et le sol, situé sur l'axe $OX$).

Calculer la valeur exacte de la constante $k$ qui vérifie cette condition.

Dans un projet d'ingénierie hydraulique visant à moderniser un réseau d'irrigation dans le bassin de la Loire, on prévoit un canal dont la section transversale a un profil parabolique symétrique par rapport à l'axe vertical, modélisé par la fonction $y = ax^2$ (avec $a > 0$, où $x$ et $y$ sont mesurés en mètres). Le niveau maximal de l'eau est fixé par une droite horizontale à une profondeur $y = h$ (avec $h > 0$). La conception doit satisfaire simultanément deux exigences techniques :

1. La largeur du miroir d'eau supérieur (distance entre les deux rives à la hauteur $y = h$) doit être exactement de $6\text{ m}$.

2. L'aire de la section mouillée transversale (la surface comprise entre la parabole et la surface libre $y = h$) doit être de $12\text{ m}^2$ afin d'assurer le débit de conception.

1. a) À partir de la première exigence technique, obtenir une relation mathématique simple exprimant la profondeur $h$ en fonction du paramètre de courbure $a$.
2. b) Écrire l'intégrale qui permet de calculer l'aire de la section mouillée et en obtenir la valeur en fonction de $a$ et $h$ à l'aide d'une primitive.
3. c) Déterminer les valeurs exactes de la profondeur $h$ et du paramètre $a$ qui vérifient les deux spécifications du projet.
4. d) Raisonnement de conception : si, à la suite d'une augmentation exceptionnelle du débit, la hauteur d'eau double et atteint un niveau $H = 2h$, raisonner analytiquement (en s'appuyant sur les propriétés de l'intégrale et sans tout recalculer numériquement depuis le début) pour déterminer si l'aire de la section mouillée sera doublée, plus que doublée ou moins que doublée.