Permutations

Calculer la valeur numérique des expressions suivantes avec des factorielles : $\frac{8!}{5! \cdot 3!}$ et $\frac{12!}{10!}$.

Un groupe de $6$ amis va au théâtre et achète des places côte à côte dans la même rangée. De combien de façons différentes peuvent-ils s'asseoir pour profiter de la pièce ?

Simplifier l'expression littérale suivante faisant intervenir des factorielles, en exprimant le résultat sous sa forme la plus réduite : $\frac{(n+2)!}{n! \cdot (n+1)}$.

Cinq amis vont au cinéma et s'assoient sur des fauteuils contigus. Deux d'entre eux, Amina et Hugo, veulent s'asseoir côte à côte pour partager le pop-corn. De combien de façons les cinq amis peuvent-ils s'installer en respectant toujours cette condition ?

Dans la finale d'une course de natation des Jeux olympiques, $8$ nageurs participent. Si l'on sait avec certitude quel nageur a remporté la médaille d'or et lequel est arrivé dernier à cause d'une blessure, de combien de façons distinctes les autres participants ont-ils pu se classer aux positions intermédiaires ?

Un groupe formé de $3$ garçons et $3$ filles va s'asseoir sur une rangée de $6$ fauteuils pour assister à un concert. De combien de façons peuvent-ils le faire s'ils doivent s'asseoir de sorte que les sexes soient strictement alternés (garçon-fille-garçon… ou fille-garçon-fille…) ?

Sur l'étagère d'un CDI de lycée, on va ranger en ligne $4$ livres distincts de mathématiques, $3$ livres distincts de physique et $2$ livres distincts de chimie. Si la documentaliste exige que les livres de la même matière restent toujours ensemble en formant un bloc, de combien de façons distinctes peut-on les ordonner sur le rayonnage ?

Calculer la somme totale de tous les nombres entiers à $4$ chiffres distincts que l'on peut former en utilisant exclusivement les chiffres $1, 2, 3$ et $4$.

Si l'on génère tous les mots possibles, avec ou sans sens, en permutant les lettres du mot « LIBRO », puis qu'on les range strictement dans l'ordre alphabétique (comme dans un dictionnaire), quelle position occupera exactement le mot « LIBRO » dans cette liste ?

Combien de mots distincts, qu'ils aient un sens ou non dans le dictionnaire, peut-on former en ordonnant toutes les lettres du mot « MUNDO » ?

Marc veut calculer combien de mots distincts, qu'ils aient un sens ou non, on peut former en ordonnant toutes les lettres du mot « PATATA ». Dans son devoir, il écrit :

« Comme le mot a 6 lettres, il y a $6! = 720$ ordonnances. Mais comme la lettre A se répète 3 fois et la lettre T se répète 2 fois, je les retranche du total : $6! - 3! - 2! = 720 - 6 - 2 = 712$ mots possibles ».

Identifier l'erreur conceptuelle commise par Marc, expliquer avec vos propres mots pourquoi soustraire des factorielles n'a pas de sens dans ce contexte de dénombrement, et calculer la solution correcte en appliquant et en justifiant la formule adaptée.

Un bateau communique avec d'autres navires au moyen de pavillons de couleur hissés verticalement sur un mât. S'il dispose de $3$ pavillons rouges, $2$ pavillons bleus et $1$ pavillon jaune, tous de la même taille, combien de signaux distincts peut-il envoyer en utilisant tous les pavillons à la fois ?

Un ingénieur informaticien veut former des codes numériques à six chiffres en utilisant exactement les chiffres suivants dans chaque code : $2, 2, 3, 3, 3, 4$. Combien de codes distincts le système peut-il programmer ?

Combien de mots différents, avec ou sans sens, peut-on former en réordonnant toutes les lettres du mot « ESTADISTICA » de façon qu'ils commencent obligatoirement par la lettre $E$ et se terminent par la lettre $A$ ?

Quatre amis vont goûter dans un café du centre-ville. Ils hésitent entre s'asseoir à un comptoir avec 4 tabourets alignés ou à une table ronde de 4 places où seule compte la position relative des uns par rapport aux autres (qui est à gauche ou à droite de qui).

1. a) Avant d'appliquer toute formule, estimer en justifiant laquelle des deux situations offrira le plus grand nombre de dispositions distinctes et prévoir quelle relation approximative existera entre les deux résultats.
2. b) Calculer de façon exacte le nombre de dispositions au comptoir ($P_4$) et à la table ronde ($PC_4$).
3. c) Vérifier si le calcul confirme votre estimation initiale et expliquer pourquoi le fait de fixer une personne comme référence à la table réduit le total de dispositions exactement de ce facteur.

Une famille de $6$ membres s'assoit pour dîner autour d'une table ronde dans un restaurant. De combien de façons distinctes peuvent-ils se placer si seule compte la position relative des uns par rapport aux autres et non la chaise exacte qu'ils occupent dans la salle ?

Sur le plan d'une ville dont les rues forment un quadrillage, un livreur à vélo doit aller du point $A$ au point $B$ en se déplaçant uniquement vers la droite et vers le haut. Combien de chemins différents de longueur minimale peut-il emprunter pour effectuer la livraison ?

Un robot autonome se déplace sur un quadrillage logistique du nœud $A$ au nœud $B$ en avançant exclusivement vers la droite et vers le bas. À cause de réparations au sol, le nœud $C$ est bloqué et le robot ne peut pas y passer. Combien de trajectoires valides existe-t-il pour effectuer le parcours ?