Somme de variables aléatoires
Une boulangerie de Lyon vend chaque jour un nombre variable de baguettes. Sur une semaine, le total fluctue-t-il plus ou moins que les ventes d'un seul jour, en proportion ? Pour répondre, il faut savoir calculer l'espérance et la variance d'une somme de variables aléatoires. C'est l'objet de cette page.
Linéarité de l'espérance
Si tu lances deux dés et que tu additionnes les résultats, tu t'attends à obtenir en moyenne $3{,}5 + 3{,}5 = 7$. Cela se généralise.
Pourquoi ? L'espérance est une moyenne pondérée par les probabilités des issues : additionner deux variables issue par issue revient à additionner leurs moyennes.
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires avec $E(X) = 3$ et $E(Y) = 5$. Calculer $E(X+Y)$ et $E(2X - Y)$.
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires avec $E(X) = 3$ et $E(Y) = 5$. Calculer $E(X+Y)$ et $E(2X - Y)$.
On lance $10$ fois un dé équilibré à six faces. Soit $S$ la somme des résultats. Sachant que l'espérance d'un lancer est $3{,}5$, calculer $E(S)$.
On lance $10$ fois un dé équilibré à six faces. Soit $S$ la somme des résultats. Sachant que l'espérance d'un lancer est $3{,}5$, calculer $E(S)$.
Variance d'une somme
Le carré dans $a^2$ vient de la définition de la variance, qui élève les écarts au carré : multiplier $X$ par $a$ multiplie les écarts par $a$, donc leur carré par $a^2$. Ajouter une constante $b$ décale toutes les valeurs sans changer leur dispersion.
Pour l'écart type : $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$, donc $\sigma(aX)=|a|\,\sigma(X)$. En revanche, $\sigma(X+Y)\neq\sigma(X)+\sigma(Y)$ : ce sont les variances qui s'additionnent.
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes avec $V(X) = 4$ et $V(Y) = 9$. Calculer $V(X+Y)$ et l'écart type de $X+Y$.
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes avec $V(X) = 4$ et $V(Y) = 9$. Calculer $V(X+Y)$ et l'écart type de $X+Y$.
Soit $X$ une variable aléatoire et $a, b$ deux réels. Montrer que $V(aX+b) = a^2V(X)$. En déduire, pour $X_1,\dots,X_n$ indépendantes de même loi d'espérance $m$ et de…
Soit $X$ une variable aléatoire et $a, b$ deux réels. Montrer que $V(aX+b) = a^2V(X)$. En déduire, pour $X_1,\dots,X_n$ indépendantes de même loi d'espérance $m$ et de variance $\sigma^2$, l'espérance et la variance de $M_n = \dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}$.
Échantillon, somme $S_n$ et moyenne $M_n$
Le dernier résultat est essentiel : la moyenne de $n$ observations est de moins en moins dispersée quand $n$ augmente, alors que la somme l'est de plus en plus (en valeur absolue). Pour $M_n$ : $V(M_n)=\left(\frac1n\right)^2 V(S_n)=\frac{nV}{n^2}=\frac Vn$.
Retour au début : sur une semaine, le total fluctue davantage en valeur absolue ($\approx 53$ contre $20$), mais la moyenne par jour fluctue moins ($\approx 7{,}6$). En proportion, la semaine est plus régulière.
Un lancer d'un dé équilibré à six faces a pour variance $\dfrac{35}{12}$. On lance ce dé $12$ fois de façon indépendante et on note $S_{12}$ la somme des résultats et…
Un lancer d'un dé équilibré à six faces a pour variance $\dfrac{35}{12}$. On lance ce dé $12$ fois de façon indépendante et on note $S_{12}$ la somme des résultats et $M_{12}$ leur moyenne.
Calculer $E(S_{12})$, $V(S_{12})$, $E(M_{12})$, $V(M_{12})$.
Une boulangerie de Lyon vend chaque jour un nombre de baguettes d'espérance $240$ et d'écart type $20$, les jours étant supposés indépendants. Soit $S$ le nombre total…
Une boulangerie de Lyon vend chaque jour un nombre de baguettes d'espérance $240$ et d'écart type $20$, les jours étant supposés indépendants. Soit $S$ le nombre total de baguettes vendues en $7$ jours.
- a) Calculer $E(S)$ et $V(S)$.
- b) Calculer l'écart type de $S$ et celui de la moyenne quotidienne $M = S/7$.
Un ascenseur d'un immeuble de Lille supporte une charge maximale de $600$ kg. Le poids d'un passager est modélisé par une variable aléatoire d'espérance $75$ kg et…
Un ascenseur d'un immeuble de Lille supporte une charge maximale de $600$ kg. Le poids d'un passager est modélisé par une variable aléatoire d'espérance $75$ kg et d'écart type $10$ kg, les passagers étant indépendants. Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $S_n$ le poids total de $n$ passagers et $M_n = \dfrac{S_n}{n}$ leur poids moyen. On pose $S = S_8$.
- a) Calculer $E(S)$ et $\sigma(S)$.
- b) Comparer avec le poids moyen de $8$ passagers en calculant l'écart type de $M_8$. Interpréter.
- c) Calculer la valeur de $n$ pour laquelle $E(S_n) = 600$ et la comparer à $8$.
Espérance et variance de la loi binomiale
Une variable $Y\sim\mathcal B(n,p)$ compte les succès de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes. On l'écrit donc $Y=X_1+\cdots+X_n$, où chaque $X_i$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ (valeur $1$ en cas de succès, $0$ sinon).
Cela est naturel : sur $100$ lancers d'une pièce équilibrée, on attend $50$ piles en moyenne.
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre $p$. a) Calculer $E(X)$ et $V(X)$. b) En écrivant une variable $Y$ de loi binomiale…
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre $p$.
- a) Calculer $E(X)$ et $V(X)$.
- b) En écrivant une variable $Y$ de loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ comme somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes, déterminer $E(Y)$ et $V(Y)$.
Soit $X \sim \mathcal{B}(n,p)$ et $Y = n - X$. a) Quelle est la loi de $Y$ ? b) Montrer que $V(X) = V(Y)$ à l'aide des formules de la loi binomiale. c) Montrer que…
Soit $X \sim \mathcal{B}(n,p)$ et $Y = n - X$.
- a) Quelle est la loi de $Y$ ?
- b) Montrer que $V(X) = V(Y)$ à l'aide des formules de la loi binomiale.
- c) Montrer que $V(X) \leq \dfrac{n}{4}$ pour tout $p \in [0;1]$.
L'essentiel
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$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ et $E(aX)=aE(X)$, sans condition.
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$V(aX+b)=a^2V(X)$ ; $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ si $X$ et $Y$ sont indépendantes.
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Pour un échantillon de taille $n$ : $E(S_n)=nm$, $V(S_n)=nV$, $E(M_n)=m$, $V(M_n)=V/n$.
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Loi de Bernoulli : $E=p$, $V=p(1-p)$. Loi binomiale $\mathcal B(n,p)$ : $E=np$, $V=np(1-p)$.
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Ce sont les variances qui s'additionnent, pas les écarts types.