Trois médailles à attribuer, huit athlètes engagés sur le $100\text{ m}$ : de combien de podiums différents la Fédération française d'athlétisme doit-elle se préparer ? Tu ne classes pas les huit coureurs, tu en choisis trois et tu les ranges dans un ordre précis. C'est exactement ce que nous allons savoir dénombrer ici.
Arrangements sans répétition
Le raisonnement est celui du principe multiplicatif : $n$ choix pour la première place, $n-1$ pour la deuxième (un élément est déjà pris), et ainsi de suite jusqu'à la $k$-ième place, où il reste $n-k+1$ choix.
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Dans une galerie d'art, on va exposer $2$ tableaux choisis parmi une collection privée de $7$ œuvres. L'un sera placé sur le mur de gauche de la salle et l'autre sur le…
Dans une galerie d'art, on va exposer $2$ tableaux choisis parmi une collection privée de $7$ œuvres. L'un sera placé sur le mur de gauche de la salle et l'autre sur le mur de droite. De combien de façons différentes peut-on organiser cette exposition ?
Un club de lecture compte $9$ membres. Il doit élire un bureau composé d'un président, d'un vice-président et d'un secrétaire. Comme les postes sont différents et que…
Un club de lecture compte $9$ membres. Il doit élire un bureau composé d'un président, d'un vice-président et d'un secrétaire. Comme les postes sont différents et que chaque personne ne peut en occuper qu'un seul, de combien de façons peut-on former le bureau ?
À l'aide des chiffres $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, combien de nombres pairs à $3$ chiffres peut-on former si l'on n'a pas le droit de répéter un chiffre dans un même…
À l'aide des chiffres $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, combien de nombres pairs à $3$ chiffres peut-on former si l'on n'a pas le droit de répéter un chiffre dans un même nombre ?
Et si un même élément peut apparaître plusieurs fois ? Quand on lance un dé quatre fois de suite, le « 6 » peut sortir à chaque lancer : on ne retire aucun choix d'un lancer à l'autre. C'est un tirage successif avec remise.
Pourquoi ? Chacune des $k$ positions offre toujours les mêmes $n$ choix, puisque rien ne s'épuise : c'est le principe multiplicatif avec le même facteur $n$ répété $k$ fois.
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On lance un dé cubique classique à $6$ faces $4$ fois de suite et on note le résultat de chaque lancer dans l'ordre. Combien de résultats distincts peut-on obtenir au…
On lance un dé cubique classique à $6$ faces $4$ fois de suite et on note le résultat de chaque lancer dans l'ordre. Combien de résultats distincts peut-on obtenir au total ?
On veut peindre $3$ boîtes aux lettres alignées dans une rue. On dispose de $4$ couleurs différentes (rouge, vert, bleu et jaune). Si l'on peut répéter les couleurs sur…
On veut peindre $3$ boîtes aux lettres alignées dans une rue. On dispose de $4$ couleurs différentes (rouge, vert, bleu et jaune). Si l'on peut répéter les couleurs sur des boîtes différentes, de combien de façons différentes peut-on les peindre ?
Le système d'immatriculation d'un pays est constitué d'un bloc de $4$ chiffres (de $0$ à $9$) suivi d'un bloc de $2$ lettres choisies dans un alphabet de $20$ consonnes.…
Le système d'immatriculation d'un pays est constitué d'un bloc de $4$ chiffres (de $0$ à $9$) suivi d'un bloc de $2$ lettres choisies dans un alphabet de $20$ consonnes. Dans les deux blocs, la répétition des caractères est autorisée. Combien de plaques d'immatriculation distinctes peut-on délivrer au total avec ce format ?
Avant d'appliquer une formule, il faut reconnaître les objets à dénombrer. Pose-toi deux questions : l'ordre compte-t-il ? les répétitions sont-elles possibles ?
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Un antivol de vélo possède $3$ molettes indépendantes, numérotées chacune de $0$ à $9$. Calculer la différence entre le nombre total de combinaisons possibles (avec…
Un antivol de vélo possède $3$ molettes indépendantes, numérotées chacune de $0$ à $9$. Calculer la différence entre le nombre total de combinaisons possibles (avec répétition) et le nombre de combinaisons dans lesquelles les trois chiffres sont strictement distincts.
Combien de nombres de $4$ chiffres peut-on former avec les chiffres $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ (les chiffres pouvant se répéter) qui soient strictement supérieurs à $3000$ ?
Combien de nombres de $4$ chiffres peut-on former avec les chiffres $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ (les chiffres pouvant se répéter) qui soient strictement supérieurs à $3000$ ?
Pour accéder à une base de données sécurisée, un mot de passe de $5$ caractères est requis. Par sécurité, le système exige que les deux premiers caractères soient des…
Pour accéder à une base de données sécurisée, un mot de passe de $5$ caractères est requis. Par sécurité, le système exige que les deux premiers caractères soient des voyelles (la répétition est permise) et que les trois derniers caractères soient des chiffres de $0$ à $9$ (sans qu'aucun ne se répète). Combien de mots de passe distincts respectent ce format ?
Dans certains problèmes, on connaît le nombre total de possibilités et on cherche $n$. On écrit le produit sans factorielles, puis on résout l'équation obtenue.
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Dans un tournoi d'échecs, on joue en match aller-retour (chaque joueur affronte tous les autres deux fois, en alternant la couleur des pièces). Sachant qu'au total $90$…
Dans un tournoi d'échecs, on joue en match aller-retour (chaque joueur affronte tous les autres deux fois, en alternant la couleur des pièces). Sachant qu'au total $90$ parties ont été disputées, poser l'équation correspondante à l'aide de la formule des arrangements et déterminer combien de joueurs ont participé au tournoi.
Sachant que le nombre d'arrangements avec répétition de $x$ éléments pris $2$ à $2$ dépasse de $12$ le nombre d'arrangements sans répétition des mêmes $x$ éléments pris…
Sachant que le nombre d'arrangements avec répétition de $x$ éléments pris $2$ à $2$ dépasse de $12$ le nombre d'arrangements sans répétition des mêmes $x$ éléments pris $2$ à $2$, poser l'équation correspondante et déterminer la valeur de $x$.