Fonction trigonométrique

Déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble image de la fonction trigonométrique $f(x) = -4\cos(x) + 2$.

Calculer la période de la fonction $g(t) = \sin\left(\frac{\pi}{3}t\right)$.

Étudier la parité (paire, impaire ou ni l'une ni l'autre) des fonctions trigonométriques suivantes :

• $f(x) = x^2 \sin(x)$

• $g(x) = \cos(x) + x^4$

Déterminer les points d'intersection avec l'axe des abscisses de la fonction $h(x) = 2\sin(x) - 1$ sur l'intervalle $[0 ; 2\pi]$.

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f(x) = \frac{1}{2\cos(x) - 1}$ sur l'intervalle $[0 ; 2\pi]$.

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f(x) = \sqrt{\cos(x)} + \ln(\sin(x))$ restreinte à l'intervalle $[0\,;\,2\pi]$.

Soit les fonctions $f(x) = \sin(2x)$ et $g(x) = \sin(x)$. Déterminer par le calcul les coordonnées exactes de tous les points d'intersection des deux courbes sur l'intervalle $[0\,;\,2\pi]$. (Indication : utiliser la formule du sinus de l'angle double.)

Exprimer la fonction $f(x) = \sqrt{3}\sin(x) + \cos(x)$ sous la forme $f(x) = A\sin(x + \alpha)$. À partir de cette nouvelle expression, donner l'amplitude et le déphasage de la fonction.

On inscrit un rectangle dans un demi-disque de rayon $R = 10\text{ cm}$, de sorte que sa base repose sur le diamètre du demi-disque, comme le montre la figure.

Soit $\theta$ l'angle que forme avec le diamètre le rayon tracé jusqu'à un sommet supérieur du rectangle.

• Exprimer l'aire du rectangle en fonction de l'angle $\theta$. (Indication : utiliser la formule du sinus de l'angle double.)

• Pour quelle valeur de $\theta \in \left]0\ ;\ \frac{\pi}{2}\right[$ l'aire du rectangle est-elle maximale, et quelle est cette valeur maximale ?

Soit la fonction $y = 5 - 3\sin(2x)$. Identifier son amplitude et sa translation verticale par rapport à la fonction sinus de base.

En étudiant la fonction $f(x) = -3\cos(2x) + 1$, Lucas affirme dans son cahier :

« Comme le coefficient principal est $-3$, l'amplitude de l'oscillation est $-3$. De plus, comme $x$ est multiplié par $2$, la fonction effectue ses cycles deux fois plus lentement, donc la période est $T = 2 \cdot 2\pi = 4\pi$. Enfin, l'ensemble image va de $-3 + 1$ à $3 + 1$, c'est-à-dire $[-2 ; 4]$ ».

1. a) Repérer et justifier les deux erreurs conceptuelles commises par Lucas dans son explication.
2. b) Expliquer pourquoi l'ensemble image qu'il a obtenu est numériquement correct malgré un raisonnement erroné sur l'amplitude.
3. c) Écrire les valeurs exactes et justifiées de l'amplitude et de la période de $f(x)$.

La position d'une masse suspendue à un ressort oscillant verticalement est modélisée par la fonction $y(t) = -5\cos(4\pi t)$, où $y$ est le déplacement en cm par rapport à la position d'équilibre ($y=0$) et $t$ est le temps en secondes.

• Quelles sont l'amplitude et la période du mouvement ?

• À quel instant $t > 0$ la masse passe-t-elle pour la première fois par la position d'équilibre ?

Écrire l'expression d'une fonction de la forme $f(x) = A\cos(Bx)$ sachant que son amplitude est $5$ et que sa période est $4\pi$.

Écrire l'expression d'une fonction trigonométrique de la forme $f(x) = A\cos(Bx) + D$ (avec $A > 0$ et $B > 0$) vérifiant simultanément les trois conditions suivantes :

1. Son ensemble image est l'intervalle $[-1 ; 7]$.

2. Sa période est $4$ unités.

3. En $x = 0$, la fonction atteint l'un de ses maximums.

Justifier pas à pas comment on déduit la valeur de chacun des paramètres $A$, $B$ et $D$ à partir des propriétés géométriques données.

Déterminer l'expression de la fonction $f(x) = A\sin(Bx) + C$ sachant que :

• Son maximum est $4$ et son minimum est $-2$.

• Sa période est $\pi$.

• Elle passe par le point $(0 ; 1)$ et est croissante en ce point.

La hauteur $h$ (en mètres) à laquelle se trouve une cabine d'une grande roue par rapport au sol en fonction du temps $t$ (en minutes) est donnée par le graphique ci-joint.

À partir du graphique, déterminer l'expression de la fonction sous la forme $h(t) = A\cos(Bt) + C$. Justifier la valeur des paramètres $A$, $B$ et $C$.

La profondeur d'eau $d$ (en mètres) à l'entrée d'un port varie avec les marées et peut être modélisée par la fonction $d(t) = 12 + 4\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)$, où $t$ est le temps en heures écoulé depuis minuit ($t=0$).

• Quelles sont la profondeur maximale et la profondeur minimale de l'eau dans le port ?

• À quelles heures de la journée la profondeur maximale est-elle atteinte pour la première et la deuxième fois ?

La tension $V$ (en volts) d'un circuit à courant alternatif en fonction du temps $t$ (en secondes) est donnée par $V(t) = 311\sin(100\pi t)$.

• Calculer la fréquence du courant (nombre de cycles complets par seconde).

• Déterminer le premier instant $t > 0$ où la tension atteint sa valeur maximale de $311$ V.

Lors d'une journée de printemps à Toulouse, la température extérieure $T$ (en $^{\circ}\text{C}$) au cours d'une journée complète est approchée de façon raisonnable par le modèle :

où $t$ est le temps en heures écoulées depuis minuit ($t = 0$).

1. a) Sans effectuer de calcul avec la formule, estimer intuitivement à quelle heure on s'attend à la température minimale et à la température maximale, et quelle température on s'attend à avoir vers midi ($12$ h) et vers $18$ h.
2. b) Calculer maintenant, à l'aide de l'expression, les valeurs exactes de la température maximale, de la température minimale et de la température à $12$ h ($t = 12$) et à $18$ h ($t = 18$).
3. c) Comparer les estimations préalables avec les résultats obtenus avec le modèle : les attentes coïncident-elles avec la courbe d'un cosinus symétrisé et translaté ? Justifier la cohérence du résultat physique avec l'expression mathématique.

Dans une ville, le nombre d'heures d'ensoleillement au cours de l'année peut être approché par une fonction de la forme $L(t) = A\cos\left(\frac{2\pi}{365}(t - C)\right) + D$, où $t$ est le jour de l'année ($t=1$ correspond au 1er janvier).

Sachant que le jour le plus ensoleillé est le 21 juin ($t=172$) avec $15$ heures, et que le jour le moins ensoleillé est le 21 décembre ($t=355$) avec $9$ heures :

• Déterminer les valeurs des paramètres $A$, $C$ et $D$.

• Estimer le nombre d'heures d'ensoleillement le 21 mars ($t=80$).

Dans le port de Nantes, le phénomène des marées produit une oscillation périodique du niveau de l'eau. Lors d'une journée de grandes marées, on relève les données officielles suivantes de pleine mer et de basse mer :

• Une basse mer (niveau minimal de l'eau) a lieu à 03:00 avec une cote de $0,8\text{ m}$.

• La pleine mer suivante (niveau maximal de l'eau) a lieu à 09:12 ($t = 9,2\text{ h}$) et atteint $4,6\text{ m}$.

• Le cycle de marée est semi-diurne et a une période complète de $12,4\text{ heures}$.

1. a) Construire en justifiant une fonction de la forme $h(t) = A\cos(B(t - C)) + D$ (avec $A > 0$) qui modélise la hauteur d'eau en mètres en fonction du temps $t$ (en heures écoulées depuis minuit, $t=0$). Justifier par le calcul la détermination des quatre paramètres $A$, $B$, $C$ et $D$.
2. b) Un cargo a besoin d'un tirant d'eau minimal de $3,65\text{ m}$ pour entrer dans la passe du port sans s'échouer. Poser l'inéquation trigonométrique correspondante et déterminer algébriquement la plage horaire de la matinée (entre 03:00 et 15:00) pendant laquelle l'accès au port est sûr pour ce navire.

Les ventes mensuelles $S$ (en milliers d'unités) d'un produit saisonnier sont modélisées par la fonction $S(t) = 120 + 20t + 50\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)$, où $t$ est le temps en mois ($t=0$ correspond à janvier).

• Calculer les ventes en janvier ($t=0$) et en juillet ($t=6$).

• Démontrer si les ventes de juillet sont supérieures ou inférieures à celles de janvier et calculer la différence exacte.

Défi du thème. « Le pouls énergétique quotidien ». Vous allez étudier la relation entre climat et consommation dans votre région afin de proposer des mesures d'efficacité énergétique dans votre environnement.

1. Recueil de données : Consulter les sites de RTE (Réseau de transport d'électricité) et de Météo-France. Relever dans un tableur les données horaires ($24$ heures d'une même journée) de demande électrique et de température de votre département.

2. Modélisation avec GeoGebra :

3. Modéliser l'oscillation thermique à l'aide d'une fonction trigonométrique $f(t) = A\cos(B(t-C)) + D$.

4. Ajuster la courbe de demande à l'aide d'un polynôme $P(t)$ et calculer sa fonction dérivée $P'(t)$ pour repérer les heures de croissance la plus rapide de la consommation.

5. Modéliser le rendement de la climatisation selon la température extérieure en proposant une fonction rationnelle et une fonction avec racines.

6. Représenter la réponse de saturation du réseau face à un pic de température en appliquant des modèles exponentiel et logarithmique.

7. Proposition argumentée : Rédiger un rapport de synthèse bref (au maximum $2$ pages) avec les graphiques superposés, en justifiant quel type de fonction décrit le mieux chaque phénomène et en apportant des conseils d'économie fondés sur les asymptotes et les extremums repérés.

Seront évalués :

• La rigueur dans l'importation de données réelles et le calibrage des paramètres des fonctions dans GeoGebra.

• L'utilisation correcte de la dérivée d'un polynôme et des caractéristiques essentielles de chaque fonction (périodicité, asymptotes, courbure).

• La capacité critique à choisir le modèle optimal et à justifier mathématiquement les propositions.

Calculer la fonction $f(x) = \tan(x)$ pour les valeurs exactes suivantes, exprimées en radians :

• $x = \frac{3\pi}{4}$

• $x = \frac{5\pi}{3}$

Pour déterminer toutes les asymptotes verticales de la fonction $f(x) = \tan\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$ sur l'intervalle fermé $[0 ; \pi]$, deux élèves proposent deux stratégies différentes :

• Méthode A (analytique) : écrire la condition de non-définition de la tangente en égalant l'argument aux valeurs interdites générales, $2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$, isoler $x$ et sélectionner les valeurs entières de $k$ qui donnent des solutions dans l'intervalle $[0 ; \pi]$.

• Méthode B (géométrique par transformations) : prendre les asymptotes usuelles de la tangente de base $x = -\frac{\pi}{2}$ et $x = \frac{\pi}{2}$, leur appliquer d'abord le décalage horizontal (translation vers la droite) puis la compression d'échelle horizontale (facteur $1/2$), puis ajouter la nouvelle période.

1. a) Appliquer les deux méthodes en détaillant les étapes intermédiaires et vérifier qu'elles conduisent aux mêmes droites asymptotes dans $[0 ; \pi]$.
2. b) Comparer les deux démarches : laquelle est la plus fiable et la moins susceptible d'omettre des solutions si l'intervalle demandé était beaucoup plus large, par exemple $[0 ; 10\pi]$ ? Justifier votre choix.

Déterminer la valeur exacte en radians des expressions suivantes faisant intervenir des fonctions trigonométriques inverses, sans utiliser la calculatrice :

• $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

• $\arccos(0)$

• $\arctan(\sqrt{3})$

Une caméra de suivi est située à $50\text{ m}$ de la base de lancement d'une fusée. La fusée s'élève verticalement.

• Exprimer l'angle d'élévation $\theta$ de la caméra à l'aide d'une fonction trigonométrique inverse de la hauteur $h$ de la fusée.

• Calculer la valeur exacte de l'angle d'élévation (en radians et en degrés) lorsque la fusée se trouve à une hauteur de $50\sqrt{3}\text{ m}$.

Soit la fonction $f(x) = 2\arcsin\left(\frac{x}{3}\right) + \pi$ :

• Déterminer son ensemble de définition.

• Déterminer son ensemble image.