Continuité sur un intervalle, théorème des valeurs intermédiaires

Étudier la continuité à gauche et à droite de la fonction suivante aux extrémités de l'intervalle $[0 ; 4]$ :

Indiquer si la fonction est continue en $x=1$ en comparant ses limites à gauche et à droite.

Calculer la valeur du paramètre $k$ pour que la fonction définie par morceaux suivante soit continue sur l'ensemble des nombres réels :

Soit la fonction $f(x)$ définie par morceaux par :

La figure montre les trois morceaux de la définition (qui changent en $x=2$ et en $x=4$) et l'intervalle $[1 ; 5]$.

1. a) Calculer les valeurs de $a$, $b$ et $k$ pour que la fonction soit continue sur tout son ensemble de définition $\mathbb{R}$.

1. b) Une fois ces valeurs trouvées, déterminer si la fonction vérifie les hypothèses du théorème de Weierstrass sur l'intervalle $[1 ; 5]$.

Soit la fonction $f(x)$ définie par morceaux par l'expression suivante :

1. a) Déterminer les valeurs des paramètres réels $a$ et $b$ pour que la fonction soit continue sur tout son ensemble de définition.

1. b) Dans le cas où $b=1$, classer le type de discontinuité que présente la fonction en $x=0$ selon la valeur de $a$.

Observer la courbe de la fonction $f(x)$ représentée ci-dessous et identifier les points de discontinuité. Pour chacun d'eux, indiquer de quel type il s'agit (limite finie prolongeable par continuité, saut fini ou limite infinie).

Soit la fonction rationnelle $f(x) = \frac{x-3}{x^2-9}$. Étudier sa continuité aux points $x = 3$ et $x = -3$. S'il existe des discontinuités, les classer en justifiant par le calcul des limites à gauche et à droite.

Considérer la fonction $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 2}$.

1. Démontrer que la fonction n'est pas continue en $x = 2$.

2. Quelle valeur $f(2)$ devrait-elle prendre pour que la discontinuité soit prolongeable par continuité et que la fonction soit continue en ce point ?

Étudier la continuité de la fonction suivante et classer en justifiant tous ses points de discontinuité :

Indiquer si l'une des discontinuités est prolongeable par continuité et, le cas échéant, redéfinir la fonction en ce point pour qu'elle devienne continue.

Considérer la famille de fonctions dépendant du paramètre $k \in \mathbb{R}$ :

Analyser et classer toutes les discontinuités de $f(x)$ selon les valeurs possibles de $k$. Indiquer précisément pour quelles valeurs de $k$ l'une des discontinuités est prolongeable par continuité et redéfinir la fonction en ce point pour qu'elle soit continue.

Vérifier si la fonction $f(x) = x^3 - 3x + 1$ satisfait les hypothèses du théorème de Bolzano sur l'intervalle $[0 ; 1]$. Peut-on assurer que l'équation $x^3 - 3x + 1 = 0$ admet au moins une racine dans cet intervalle ? Justifier la réponse.

Un randonneur commence un parcours depuis un refuge situé à 1200 mètres d'altitude ($t=0$). Après 4 heures de marche, il se trouve à un belvédère à 1800 mètres d'altitude. En supposant que la fonction qui décrit son altitude en fonction du temps, $A(t)$, est continue :

1. Expliquer, à l'aide du théorème des valeurs intermédiaires, si le randonneur est passé à un moment par l'altitude de 1500 mètres.

2. Peut-on assurer qu'il est passé par l'altitude de 2000 mètres ?

Soit la fonction $f(x) = x^3 + x - 5$. Justifier s'il existe une valeur $c \in [1 ; 2]$ telle que $f(c) = -1$. Quel théorème garantit ce résultat ? Énoncer ce théorème et vérifier que ses hypothèses sont satisfaites.

Démontrer, à l'aide du théorème de Bolzano, que les courbes représentatives des fonctions $f(x) = e^x - 2$ et $g(x) = \cos(x)$ se coupent en au moins un point de l'intervalle $[0 ; \pi]$. Expliquer en détail les étapes et les hypothèses nécessaires pour appliquer le théorème.

Un drone décolle du sol ($y=0$) et suit une trajectoire donnée par la fonction hauteur $h(t) = t^2 \cdot e^{-t} + \ln(t+1)$, où $t$ est le temps en minutes.

Démontrer qu'à un instant compris entre la minute $1$ et la minute $6$ de vol, le drone se trouve exactement à une hauteur de $2$ mètres. Utiliser pour cela le théorème des valeurs intermédiaires.

Une équipe d'ingénieurs teste deux nouveaux modèles de drones de surveillance, $D_1$ et $D_2$. La hauteur (en mètres) du drone $D_1$ par rapport au sol est donnée par la fonction $h_1(t) = t \cdot \ln(t+1)$, tandis que la hauteur du drone $D_2$ suit la fonction $h_2(t) = 10 \cdot e^{-t} + 5$, où $t$ est le temps en minutes écoulé depuis le décollage ($t \geq 0$).

Utiliser le théorème de Bolzano (des valeurs intermédiaires) pour démontrer qu'il existe un instant $t_0 \in [2 ; 5]$ où les deux drones se trouvent exactement à la même hauteur. Justifier précisément si l'on peut assurer, grâce au théorème de Weierstrass, que l'écart de hauteur entre les deux drones atteint un maximum sur cet intervalle de temps.

On considère une fonction continue $f:[0 ; 1] \to [0 ; 1]$. Autrement dit, l'ensemble de définition est l'intervalle $[0 ; 1]$ et toutes ses images sont aussi contenues dans $[0 ; 1]$.

Démontrer, à l'aide du théorème de Bolzano, qu'il existe au moins un point $c \in [0 ; 1]$ tel que $f(c) = c$ (un point fixe de la fonction). Indication : considérer la fonction auxiliaire $g(x) = f(x) - x$. Expliquer graphiquement ce que signifie ce résultat en termes d'intersection de la courbe de $f(x)$ avec la première bissectrice.

Déterminer, à l'aide du théorème de Weierstrass, si la fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ atteint nécessairement un maximum et un minimum absolus sur les intervalles suivants :

1. Sur l'intervalle fermé $[1 ; 5]$.

2. Sur l'intervalle ouvert $]0 ; 1[$.

Soit la fonction $f(x) = \frac{k \cdot \sin(x)}{x}$ pour $x \neq 0$ :

1. a) Déterminer la valeur de $k$ sachant que $\lim_{x \to 0} f(x) = 5$.
2. b) Avec cette valeur de $k$, définir $f(0)$ pour que la fonction soit continue en $x = 0$.
3. c) Justifier si la fonction obtenue est continue sur l'intervalle $[0 ; 2\pi]$. Peut-on assurer qu'elle atteint un maximum absolu sur cet intervalle ?

Soit la fonction $f(x) = |x^2 - 4| \cdot e^{-|x|}$. La figure montre sa courbe représentative comme support visuel.

1. a) Exprimer la fonction sans valeurs absolues, c'est-à-dire sous forme de fonction définie par morceaux.

1. b) Étudier sa continuité aux points où s'annulent les expressions placées entre valeurs absolues.

1. c) À l'aide du théorème de Weierstrass, démontrer que la fonction atteint un maximum absolu sur l'intervalle fermé $[-3 ; 3]$.

1. d) La fonction présente-t-elle une asymptote horizontale ? Relier ce fait au comportement de la fonction à long terme.

Pour étudier si la fonction $f(x) = \frac{x+1}{x-2}$ s'annule sur l'intervalle $[1 ; 4]$, Alexandre écrit ce qui suit dans sa copie :

« On calcule les valeurs aux bornes de l'intervalle : $f(1) = \frac{1+1}{1-2} = -2 < 0$ et $f(4) = \frac{4+1}{4-2} = \frac{5}{2} > 0$. Comme elles sont de signes opposés, d'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire de Bolzano), il existe au moins une valeur $c \in ]1 ; 4[$ telle que $f(c) = 0$. De plus, en $x = 2$ la fonction présente une discontinuité évitable car elle ne pose problème qu'en un point isolé du dénominateur ».

1. a) Expliquer de façon argumentée quelle grave erreur commet Alexandre en appliquant le théorème de Bolzano, et vérifier par le calcul si l'équation $f(x) = 0$ admet réellement une solution dans l'intervalle $]1 ; 4[$.
2. b) Classer rigoureusement la discontinuité de $f(x)$ en $x = 2$ en calculant les limites à gauche et à droite pertinentes, et indiquer quelle hypothèse non satisfaite empêchait d'appliquer le théorème.

On sait qu'une fonction $f(x)$ est continue sur l'intervalle fermé $[0 ; 4]$. Si $f(0) = 1$ et $f(4) = 1$, peut-on assurer qu'il existe un point $c \in \,]0 ; 4[$ tel que $f(c) = 0$ ? Donner un exemple graphique d'une fonction qui vérifie ces conditions mais n'a pas de racine dans cet intervalle et expliquer pourquoi cela ne contredit pas le théorème de Bolzano.

Démontrer, en justifiant, que l'équation $\sqrt{x^4 + 1} = 3x^2 \cdot \cos(x)$ admet au moins deux solutions réelles dans l'intervalle $[-\pi, \pi]$. Pour cela, définir une fonction auxiliaire adaptée et appliquer les théorèmes de continuité nécessaires. Peut-on affirmer que la fonction $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x^4+1} - 3x^2\cos(x)}$ admet un maximum absolu sur l'intervalle $[0, \pi/4]$ ? Justifier la réponse à l'aide du théorème de Weierstrass.

Soit la fonction $f(x) = \frac{1}{1 + 2^{1/x}}$. On demande :

1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction.

2. Calculer les limites à gauche et à droite au point où la fonction n'est pas définie.

3. Classer la discontinuité trouvée.

4. Est-il possible d'appliquer le théorème de Bolzano sur l'intervalle $[-1 ; 1]$ pour démontrer qu'il existe une valeur telle que $f(x) = 0,5$ ? Expliquer si le manque de continuité en un point invalide l'application du théorème, même si les valeurs aux extrémités laissent penser qu'une telle valeur devrait exister.

Étudier la continuité de la fonction suivante sur son ensemble de définition :

Déterminer les points où la fonction présente des discontinuités et les classer. Examiner si la fonction vérifie les hypothèses du théorème de Bolzano sur l'intervalle $[0,5; 2]$ pour assurer l'existence d'une racine.