Équations différentielles y' = ay + b
Un café à 90 °C est posé sur la table d'une cuisine à 20 °C. Il refroidit vite au début, puis de plus en plus lentement. Peut-on trouver une formule qui donne sa température à chaque instant ? Pour cela, il faut résoudre une équation dont l'inconnue est une fonction : une équation différentielle.
Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?
Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction $y$ et qui relie $y$ à sa dérivée $y'$. Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les fonctions dérivables qui la vérifient.
Exemple : $y' = 3y$. La fonction $x \mapsto \mathrm{e}^{3x}$ est solution, car sa dérivée est $3\mathrm{e}^{3x}$, soit $3$ fois la fonction elle-même.
Pour vérifier qu'une fonction est solution, on la dérive et on remplace dans l'équation.
L'équation y' = ay
Démonstration
Pour $a$ non nul (le cas $a=0$ est immédiat : $y'=0$ donne les constantes). On a déjà vu que $x \mapsto C\mathrm{e}^{ax}$ est solution. Réciproquement, soit $f$ une solution et $g(x) = f(x)\mathrm{e}^{-ax}$. Alors
$$g'(x) = f'(x)\mathrm{e}^{-ax} - af(x)\mathrm{e}^{-ax} = \left(f'(x) - af(x)\right)\mathrm{e}^{-ax} = 0.$$Donc $g$ est constante, égale à un réel $C$, et $f(x) = C\mathrm{e}^{ax}$.
Allure des courbes
Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y' = 3y$.
Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y' = 3y$.
Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $y' = -2y$ vérifiant $f(0) = 5$.
Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $y' = -2y$ vérifiant $f(0) = 5$.
Soit $a$ un réel non nul. Montrer que les solutions sur $\mathbb{R}$ de $y' = ay$ sont exactement les fonctions $x \mapsto Ce^{ax}$, $C \in \mathbb{R}$. On pourra…
Soit $a$ un réel non nul. Montrer que les solutions sur $\mathbb{R}$ de $y' = ay$ sont exactement les fonctions $x \mapsto Ce^{ax}$, $C \in \mathbb{R}$. On pourra considérer, pour une solution $f$, la fonction $g : x \mapsto f(x)e^{-ax}$.
L'équation y' = ay + b
Revenons au café : $T' = -0{,}08\,(T - 20) = -0{,}08\,T + 1{,}6$. C'est une équation de la forme $y' = ay + b$.
Idée : chercher une solution constante. Si $y = k$ pour tout $x$, alors $y' = 0$, donc $0 = ak + b$, soit $k = -\dfrac{b}{a}$ (pour $a \neq 0$).
Pourquoi ? Si $f$ est solution et $k = -\frac ba$ la solution constante, alors $f - k$ vérifie $(f-k)' = f' = af + b = a(f - k) + (ak + b) = a(f-k)$. Donc $f - k$ est solution de $y' = ay$, d'où $f(x) - k = C\mathrm{e}^{ax}$.
Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y' = 2y + 6$.
Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y' = 2y + 6$.
a) Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y' = -0{,}5y + 3$. b) Déterminer la solution $f$ vérifiant $f(0) = 1$ et calculer $\lim_{x\to+\infty} f(x)$.
- a) Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y' = -0{,}5y + 3$.
- b) Déterminer la solution $f$ vérifiant $f(0) = 1$ et calculer $\lim_{x\to+\infty} f(x)$.
Modéliser : refroidissement et mélange
Revenons à la question du café. La loi de refroidissement de Newton dit que la vitesse de variation de la température est proportionnelle à l'écart avec la température ambiante : $T' = -0{,}08\,(T - 20)$.
Retour au début : la température tend vers $20\ °\text{C}$, celle de la pièce, et la formule est $T(t) = 70\mathrm{e}^{-0{,}08t} + 20$.
Solution particulière non constante
Quand le second membre dépend de $x$ (ou est une exponentielle), on cherche une solution particulière de la même nature que ce second membre, puis on utilise : si $f_0$ est une solution particulière de $y' = ay + g$, alors les solutions sont $C\mathrm{e}^{ax} + f_0(x)$.
À l'instant $t = 0$, un café à $90\ °\text{C}$ est posé dans une pièce de $20\ °\text{C}$. Sa température $T(t)$, en $°\text{C}$, à l'instant $t$ (en minutes) vérifie…
À l'instant $t = 0$, un café à $90\ °\text{C}$ est posé dans une pièce de $20\ °\text{C}$. Sa température $T(t)$, en $°\text{C}$, à l'instant $t$ (en minutes) vérifie $T'(t) = -0{,}08\,(T(t) - 20)$.
- a) Déterminer $T(t)$.
- b) Au bout de combien de minutes, arrondi à la minute, le café atteint-il $50\ °\text{C}$ ?
Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y' = y + 2x$ en cherchant une solution particulière de la forme $x \mapsto \alpha x + \beta$, puis déterminer la…
Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y' = y + 2x$ en cherchant une solution particulière de la forme $x \mapsto \alpha x + \beta$, puis déterminer la solution vérifiant $y(0) = 0$.
Une cuve de $1\,000$ L contient de l'eau salée à $10$ g/L. On y introduit de l'eau salée à $2$ g/L au débit de $20$ L/min, et on évacue le mélange (supposé homogène) au…
Une cuve de $1\,000$ L contient de l'eau salée à $10$ g/L. On y introduit de l'eau salée à $2$ g/L au débit de $20$ L/min, et on évacue le mélange (supposé homogène) au même débit. La masse de sel $m(t)$, en g, vérifie $m'(t) = 40 - 0{,}02\,m(t)$.
- a) Résoudre cette équation avec la condition initiale adaptée.
- b) Déterminer la limite de la concentration en sel quand $t \to +\infty$.
- c) Au bout de combien de minutes la concentration est-elle inférieure à $3$ g/L ?
On considère l'équation $(E) : y' = -y + e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$. a) Vérifier que $x \mapsto xe^{-x}$ est solution de $(E)$. b) Résoudre l'équation homogène $y' = -y$…
On considère l'équation $(E) : y' = -y + e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$.
- a) Vérifier que $x \mapsto xe^{-x}$ est solution de $(E)$.
- b) Résoudre l'équation homogène $y' = -y$ puis en déduire toutes les solutions de $(E)$.
- c) Déterminer la solution $f$ telle que $f(0) = 2$, étudier ses variations et sa limite en $+\infty$.
L'essentiel
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Résoudre une équation différentielle, c'est trouver toutes les fonctions dérivables vérifiant la relation entre $y$ et $y'$.
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Les solutions de $y' = ay$ sont $x \mapsto C\mathrm{e}^{ax}$, $C \in \mathbb{R}$ (propriété démontrée avec $g(x) = f(x)\mathrm{e}^{-ax}$).
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Pour $a \neq 0$, les solutions de $y' = ay + b$ sont $x \mapsto C\mathrm{e}^{ax} - \dfrac ba$.
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Si le second membre est une fonction $g$ : solution générale = $C\mathrm{e}^{ax}$ + une solution particulière.
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Une condition initiale $f(x_0) = y_0$ détermine $C$ : la solution est alors unique.
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Si $a<0$, les solutions tendent vers $-\frac ba$ en $+\infty$ : c'est le régime d'équilibre (refroidissement, mélange).