Convergence monotone et comparaison
Tu économises chaque mois pour t'acheter un vélo qui coûte 500 €. Ton épargne ne fait qu'augmenter, mais elle ne dépassera jamais le prix du vélo, puisque tu t'arrêtes à 500 €. Que peut-on dire de la suite de tes économies ? Elle ne peut pas « partir à l'infini » : elle va se stabiliser. C'est l'idée du théorème de convergence monotone, que l'on précise dans cette page.
Suite monotone et bornée : le théorème de convergence
Rappel : une suite $(u_n)$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que $u_n \leq M$ pour tout $n$ ; elle est minorée s'il existe un réel $m$ tel que $u_n \geq m$ pour tout $n$.
Pourquoi est-ce plausible ? Une suite croissante avance toujours vers la droite sur la droite réelle, mais elle est bloquée par un « mur » $M$. Elle ne peut ni reculer, ni franchir le mur : elle s'accumule donc quelque part.
Soit $(u_n)$ une suite croissante telle que, pour tout $n$, $u_n \leq 7$. Que peut-on affirmer sur la convergence de $(u_n)$ ? Que peut-on dire de sa limite $\ell$ ?
Soit $(u_n)$ une suite croissante telle que, pour tout $n$, $u_n \leq 7$. Que peut-on affirmer sur la convergence de $(u_n)$ ? Que peut-on dire de sa limite $\ell$ ?
La suite $(v_n)$ est décroissante et minorée par $-2$. Peut-elle tendre vers $-3$ ? Justifier.
La suite $(v_n)$ est décroissante et minorée par $-2$. Peut-elle tendre vers $-3$ ? Justifier.
Utiliser le théorème avec une récurrence
Pour une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$, on montre par récurrence qu'elle est bornée et monotone, puis on conclut.
Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n + 6}{2}$ pour tout entier naturel $n$. a) Montrer par récurrence que $0 \leq u_n \leq 6$ pour tout $n$. b)…
Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n + 6}{2}$ pour tout entier naturel $n$.
- a) Montrer par récurrence que $0 \leq u_n \leq 6$ pour tout $n$.
- b) Montrer que $(u_n)$ est croissante.
- c) En déduire que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.
Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$. a) Montrer que $0 \leq u_n \leq 3$ pour tout $n$ et que $(u_n)$ est croissante. b) Justifier que…
Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$.
- a) Montrer que $0 \leq u_n \leq 3$ pour tout $n$ et que $(u_n)$ est croissante.
- b) Justifier que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ vérifiant $\ell = \sqrt{\ell + 6}$.
- c) Déterminer $\ell$.
Sommes et suites non majorées
Pour une suite définie par une somme $u_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ avec $a_k > 0$, la suite est croissante, car $u_{n+1} - u_n = a_{n+1} > 0$. Il reste à savoir si elle est majorée.
Démonstration. Soit $A$ un réel. Comme $(u_n)$ n'est pas majorée, $A$ n'est pas un majorant : il existe un rang $N$ tel que $u_N > A$. La suite étant croissante, pour tout $n \geq N$ on a $u_n \geq u_N > A$. Ainsi l'intervalle $[A\,;\,+\infty[$ contient tous les $u_n$ à partir du rang $N$ : $\lim u_n = +\infty$. $\square$
Soit $u_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}$. a) Montrer que $(u_n)$ est croissante. b) Montrer que, pour $k \geq 2$,…
Soit $u_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}$.
- a) Montrer que $(u_n)$ est croissante.
- b) Montrer que, pour $k \geq 2$, $\dfrac{1}{k^2} \leq \dfrac{1}{k-1} - \dfrac{1}{k}$, puis que $u_n \leq 2$.
- c) Conclure sur la convergence de $(u_n)$.
Soit $H_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}$. a) Montrer que $H_{2n} - H_n \geq \dfrac{1}{2}$ pour tout $n \geq 1$. b) En déduire que $(H_n)$ n'est pas majorée.…
Soit $H_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}$.
- a) Montrer que $H_{2n} - H_n \geq \dfrac{1}{2}$ pour tout $n \geq 1$.
- b) En déduire que $(H_n)$ n'est pas majorée.
- c) Conclure sur $\lim H_n$.
Théorèmes de comparaison
Démonstration (premier point). Soit $A$ réel. Comme $\lim v_n = +\infty$, il existe $N_1$ tel que $v_n > A$ pour $n \geq N_1$. Soit $N_2$ le rang à partir duquel $u_n \geq v_n$. Pour $n \geq \max(N_1, N_2)$ : $u_n \geq v_n > A$. Donc $\lim u_n = +\infty$. $\square$
Autrement dit : si une suite est minorée par une suite qui tend vers $+\infty$, elle tend elle aussi vers $+\infty$. Attention, on ne gagne rien en majorant : une suite majorée par une suite qui tend vers $+\infty$ peut faire n'importe quoi.
Soit $(u_n)$ définie par $u_n \geq n^2 - 3n$ pour tout $n$. Déterminer $\lim u_n$ en justifiant.
Soit $(u_n)$ définie par $u_n \geq n^2 - 3n$ pour tout $n$. Déterminer $\lim u_n$ en justifiant.
Soit $(u_n)$ définie par $u_n = n + (-1)^n$. a) Montrer que $u_n \geq n - 1$ pour tout $n$. b) En déduire $\lim u_n$.
Soit $(u_n)$ définie par $u_n = n + (-1)^n$.
- a) Montrer que $u_n \geq n - 1$ pour tout $n$.
- b) En déduire $\lim u_n$.
Démontrer le théorème : si $(u_n)$ est croissante et non majorée, alors $\lim u_n = +\infty$. Puis démontrer que toute suite $(u_n)$ vérifiant $u_n \geq v_n$ à partir…
Démontrer le théorème : si $(u_n)$ est croissante et non majorée, alors $\lim u_n = +\infty$. Puis démontrer que toute suite $(u_n)$ vérifiant $u_n \geq v_n$ à partir d'un certain rang avec $\lim v_n = +\infty$ a pour limite $+\infty$.
Retour au début : l'épargne croissante, plafonnée à 500 €, est une suite croissante majorée : elle converge, avec une limite inférieure ou égale à 500.
L'essentiel
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Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge (théorème admis).
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La limite $\ell$ d'une suite majorée par $M$ vérifie $\ell \leq M$, mais pas forcément $\ell = M$.
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Une suite croissante et non majorée tend vers $+\infty$.
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Si $u_n \geq v_n$ à partir d'un certain rang et $\lim v_n = +\infty$, alors $\lim u_n = +\infty$.
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Pour $u_{n+1} = f(u_n)$ : récurrence (borne), signe de $u_{n+1} - u_n$ (monotonie), convergence, puis $\ell = f(\ell)$ si $f$ est continue.