Vocabulaire ensembliste et logique
Au lycée, tu dois sans cesse démontrer. Un élève affirme : « Si un nombre est divisible par 6, il est pair, donc si un nombre est pair, il est divisible par 6. » Est-ce correct ? Pour trancher, il faut un langage précis (ensembles, implications) et quelques méthodes de preuve. C'est l'objet de cette page.
Le vocabulaire des ensembles
Un ensemble est une collection d'objets appelés éléments. On le note entre accolades : $A = \{1\,;2\,;3\}$. Son cardinal est le nombre de ses éléments : $\text{Card}(A) = 3$.
| Notation | Lecture |
|---|---|
| $x \in A$ | $x$ appartient à $A$ |
| $A \subset B$ | $A$ est inclus dans $B$ (tout élément de $A$ est dans $B$) |
| $A \cap B$ | intersection : éléments dans $A$ et dans $B$ |
| $A \cup B$ | réunion : éléments dans $A$ ou dans $B$ (ou les deux) |
| $E \setminus A$ ou $\overline{A}$ | complémentaire de $A$ dans $E$ |
| $\varnothing$ | ensemble vide |
Soit $A = \{1,2,3\}$ et $B = \{a, b\}$. Écrire $A \times B$ et donner son cardinal.
Soit $A = \{1,2,3\}$ et $B = \{a, b\}$. Écrire $A \times B$ et donner son cardinal.
Soit $A = \{1,2,3,4,5,6\}$, $B = \{2,4,6,8\}$ et $C = \{3,6,9\}$. a) Déterminer $A \cap B$, $A \cup C$ et $B \setminus C$. b) Déterminer $(A\cap B)\cap C$ et le cardinal…
Soit $A = \{1,2,3,4,5,6\}$, $B = \{2,4,6,8\}$ et $C = \{3,6,9\}$.
- a) Déterminer $A \cap B$, $A \cup C$ et $B \setminus C$.
- b) Déterminer $(A\cap B)\cap C$ et le cardinal de $A \cup B \cup C$.
Implication, réciproque, contraposée
Une implication « $P \Rightarrow Q$ » (« si $P$ alors $Q$ ») est fausse seulement quand $P$ est vraie et $Q$ fausse.
Si $P\Rightarrow Q$ est vraie, on dit que $P$ est une condition suffisante pour $Q$ et que $Q$ est une condition nécessaire pour $P$. Si $P\Rightarrow Q$ et $Q\Rightarrow P$ : $P\Leftrightarrow Q$ (équivalence), condition nécessaire et suffisante.
Énoncer la réciproque et la contraposée de l'implication : « si un entier est divisible par $6$, alors il est pair ». Préciser lesquelles sont vraies.
Énoncer la réciproque et la contraposée de l'implication : « si un entier est divisible par $6$, alors il est pair ». Préciser lesquelles sont vraies.
Pour un entier $n$, on considère les propositions $P$ : « $n$ est divisible par $4$ » et $Q$ : « $n$ est pair ». a) $P$ est-elle condition nécessaire, suffisante, ou…
Pour un entier $n$, on considère les propositions $P$ : « $n$ est divisible par $4$ » et $Q$ : « $n$ est pair ».
- a) $P$ est-elle condition nécessaire, suffisante, ou nécessaire et suffisante pour $Q$ ?
- b) Écrire la contraposée de $P \Rightarrow Q$.
- c) Donner un contre-exemple à la réciproque.
Contre-exemple et négation
Pour montrer qu'une affirmation universelle est fausse, un seul contre-exemple suffit. Pour montrer qu'elle est vraie, un exemple ne suffit jamais : il faut une démonstration.
La négation d'une affirmation :
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« Pour tout $x$, $P(x)$ » a pour négation « Il existe $x$ tel que non $P(x)$ » ;
-
« Il existe $x$ tel que $P(x)$ » a pour négation « Pour tout $x$, non $P(x)$ ».
Ainsi la négation de « tous les élèves de la classe ont plus de 10/20 » est « au moins un élève a 10/20 ou moins ».
Donner un contre-exemple à l'affirmation : « pour tout réel $x$, $x^2 \geq x$ ».
Donner un contre-exemple à l'affirmation : « pour tout réel $x$, $x^2 \geq x$ ».
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant par une démonstration ou un contre-exemple, puis écrire sa négation. Pour…
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant par une démonstration ou un contre-exemple, puis écrire sa négation. Pour l'implication a), écrire également sa réciproque et sa contraposée.
- a) « Pour tous réels $a$ et $b$, si $a < b$ alors $a^2 < b^2$ ».
- b) « Il existe un réel $x$ tel que $x^2 + x + 1 = 0$ ».
- c) « Pour tout entier $n$, $n^2 + n + 41$ est premier ».
Raisonnements : contraposée et absurde
Par contraposée. Pour montrer $P\Rightarrow Q$, on peut montrer $\text{non }Q\Rightarrow\text{non }P$. C'est utile quand « non $Q$ » donne une information exploitable.
Par l'absurde. Pour démontrer une propriété, on suppose son contraire et on aboutit à une contradiction ; le contraire est donc impossible.
On peut aussi raisonner par disjonction des cas : on découpe en cas qui couvrent toutes les possibilités (ex. $n$ de la forme $3k$, $3k+1$ ou $3k+2$) et on traite chacun.
Montrer par l'absurde que $\sqrt{2}$ est irrationnel.
Montrer par l'absurde que $\sqrt{2}$ est irrationnel.
Soit $n$ un entier naturel. a) Montrer par contraposée que, si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair. b) Montrer que, si $n^2$ est un multiple de $3$, alors $n$ est un…
Soit $n$ un entier naturel.
- a) Montrer par contraposée que, si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.
- b) Montrer que, si $n^2$ est un multiple de $3$, alors $n$ est un multiple de $3$.
- c) En déduire que $\sqrt{3}$ est irrationnel.
Montrer par l'absurde qu'il existe une infinité de nombres premiers. On supposera qu'il n'en existe qu'un nombre fini $p_1,\dots,p_k$ et on considérera…
Montrer par l'absurde qu'il existe une infinité de nombres premiers. On supposera qu'il n'en existe qu'un nombre fini $p_1,\dots,p_k$ et on considérera $N = p_1p_2\cdots p_k + 1$.
Retour au début : « divisible par 6 » implique « pair » (vrai), mais la réciproque est fausse (4 est pair sans être divisible par 6). L'élève confondait implication et réciproque.
L'essentiel
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$A\cap B$ : « et » ; $A\cup B$ : « ou » ; $A\times B$ : couples, $\text{Card}(A\times B)=\text{Card}(A)\times\text{Card}(B)$ ; $\text{Card}(A^k)=\text{Card}(A)^k$.
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Réciproque de $P\Rightarrow Q$ : $Q\Rightarrow P$ ; contraposée : $\text{non }Q\Rightarrow\text{non }P$, toujours équivalente à l'implication.
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Un contre-exemple suffit à réfuter une affirmation universelle ; des exemples ne la prouvent pas.
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Négation : « pour tout » devient « il existe … non », et inversement.
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Démonstration par contraposée ou par l'absurde (supposer le contraire, trouver une contradiction).