Équations et inéquations trigonométriques
Une grande roue de $40$ m de diamètre tourne à Paris. Une cabine part du point le plus bas, situé au niveau du sol. Quand elle a tourné d'un angle $x$ (en radians), sa hauteur est $h(x) = 20 - 20\cos x$ mètres. Pendant combien de temps la cabine reste-t-elle à plus de $30$ m du sol ? Pour répondre, il faut savoir résoudre une inéquation avec $\cos x$.
Résoudre $\cos x = a$
Le cercle trigonométrique donne la méthode. Pour un réel $x$, le point $M$ du cercle associé à $x$ a pour abscisse $\cos x$ et pour ordonnée $\sin x$.
Résoudre $\cos x = a$, c'est donc chercher les points du cercle dont l'abscisse vaut $a$. Ils se trouvent sur la droite verticale d'équation $X = a$.
Ici, $\cos x = \dfrac12$ sur $[-\pi ; \pi]$ : la droite coupe le cercle en deux points, d'angles $\dfrac{\pi}{3}$ et $-\dfrac{\pi}{3}$.
La raison : la fonction cosinus est paire, donc $\cos(-x) = \cos x$. Les deux points du cercle sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.
Il faut connaître les valeurs usuelles :
| $x$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\dfrac{2\pi}{3}$ | $\dfrac{3\pi}{4}$ | $\dfrac{5\pi}{6}$ | $\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\cos x$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac12$ | $0$ | $-\dfrac12$ | $-\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $-\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $-1$ |
Tu peux faire varier $a$ et voir les solutions sur la courbe de $\cos$ :
Résoudre dans $[-\pi;\pi]$ l'équation $\cos x = \dfrac{1}{2}$.
Résoudre dans $[-\pi;\pi]$ l'équation $\cos x = \dfrac{1}{2}$.
Résoudre dans $[-\pi;\pi]$ l'équation $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Résoudre dans $[-\pi;\pi]$ l'équation $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Résoudre une inéquation $\cos x \leq a$ ou $\cos x \geq a$
Pour une inéquation, on repère sur le cercle l'arc formé des points dont l'abscisse est plus grande (ou plus petite) que $a$. Il suffit ensuite de lire les angles aux extrémités de l'arc.
L'arc en gras correspond aux angles de $\left[-\dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{\pi}{3}\right]$ : on a donc $\cos x \geq \dfrac12$ sur cet intervalle.
Retour à la grande roue. Sur un tour, $x \in [0 ; 2\pi]$. La cabine est à plus de $30$ m si $20 - 20\cos x \geq 30$, soit $\cos x \leq -\dfrac12$. Sur $[0 ; 2\pi]$, $\cos x = -\dfrac12$ pour $x = \dfrac{2\pi}{3}$ et $x = \dfrac{4\pi}{3}$, et l'arc « à gauche » correspond à $x \in \left[\dfrac{2\pi}{3} ; \dfrac{4\pi}{3}\right]$. L'amplitude vaut $\dfrac{2\pi}{3}$, soit un tiers du tour : la cabine passe un tiers du temps au-dessus de $30$ m.
Résoudre dans $[-\pi;\pi]$ l'inéquation $\cos x \geq 0$.
Résoudre dans $[-\pi;\pi]$ l'inéquation $\cos x \geq 0$.
Résoudre dans $[-\pi;\pi]$ l'inéquation $\cos x \leq \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Résoudre dans $[-\pi;\pi]$ l'inéquation $\cos x \leq \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Équations avec $\sin$ et changement d'inconnue
Lire $\sin x = a$ sur le cercle
Pour $\sin x = a$, on coupe le cercle par une droite horizontale $Y = a$. Les deux points sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées : si $x_0$ est solution, $\pi - x_0$ l'est aussi, car $\sin(\pi - x) = \sin x$.
Par exemple, $\sin x = \dfrac12$ sur $[-\pi;\pi]$ a pour solutions $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{5\pi}{6}$.
Comparer $\sin x$ et $\cos x$
L'équation $\sin x = -\cos x$ se lit sur le cercle : on cherche les points d'ordonnée égale à l'opposé de l'abscisse, c'est-à-dire ceux de la droite $Y = -X$ (la deuxième bissectrice).
Se ramener au second degré
Quand l'équation contient $\cos^2 x$ et $\cos x$ (ou $\sin^2 x$ et $\sin x$), on pose $X = \cos x$ (ou $X = \sin x$) et on résout une équation du second degré en $X$, puis on revient à $x$.
Résoudre dans $[0;2\pi]$ l'équation $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$.
Résoudre dans $[0;2\pi]$ l'équation $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$.
Résoudre dans $[-\pi;\pi]$ l'équation $\sin x = \cos x$ puis l'inéquation $\sin x \geq \cos x$.
Résoudre dans $[-\pi;\pi]$ l'équation $\sin x = \cos x$ puis l'inéquation $\sin x \geq \cos x$.
Étudier une fonction trigonométrique
Les équations $\cos x = a$ servent aussi à étudier les variations d'une fonction définie avec $\sin$ et $\cos$ : on dérive, on factorise $f'$, puis on étudie son signe avec le cercle.
Soit $f(x) = 2\cos x - \cos 2x$ sur $[0;2\pi]$. a) Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = -2\sin x\,(1 - 2\cos x)$. b) Dresser le tableau de variations de $f$. c)…
Soit $f(x) = 2\cos x - \cos 2x$ sur $[0;2\pi]$.
- a) Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = -2\sin x\,(1 - 2\cos x)$.
- b) Dresser le tableau de variations de $f$.
- c) Déterminer le maximum et le minimum de $f$.
Une échelle de $4$ m de long est posée contre un mur vertical et forme un angle $x \in \left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[$ avec le sol horizontal. L'échelle, le mur et le…
Une échelle de $4$ m de long est posée contre un mur vertical et forme un angle $x \in \left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[$ avec le sol horizontal. L'échelle, le mur et le sol délimitent un triangle rectangle d'hypoténuse $4$ m dont on note $A(x)$ l'aire (en m²).
- a) Exprimer $A(x)$ en fonction de $x$ et montrer que $A(x) = 4\sin 2x$.
- b) Déterminer la valeur de $x$ qui maximise l'aire et la valeur maximale correspondante.
Soit $f(x) = \cos x + \dfrac{1}{2}\cos 2x$ sur $[-\pi;\pi]$. a) Montrer que $f$ est paire et que $f'(x) = -\sin x\,(1 + 2\cos x)$. b) Étudier le signe de $f'$ sur…
Soit $f(x) = \cos x + \dfrac{1}{2}\cos 2x$ sur $[-\pi;\pi]$.
- a) Montrer que $f$ est paire et que $f'(x) = -\sin x\,(1 + 2\cos x)$.
- b) Étudier le signe de $f'$ sur $[0;\pi]$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-\pi;\pi]$.
- c) Résoudre $f(x) \geq 0$ sur $[0;\pi]$ (on pourra remarquer que $f(x) = \cos^2 x + \cos x - \dfrac{1}{2}$).
L'essentiel
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Résoudre $\cos x = a$ : intersection du cercle trigonométrique avec la droite verticale $X = a$. Sur $[-\pi ; \pi]$, deux solutions opposées si $|a| < 1$, aucune si $|a| > 1$.
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Pour $\sin x = a$ : droite horizontale ; les solutions sont $x_0$ et $\pi - x_0$ (modulo $2\pi$).
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Une inéquation se lit sur un arc du cercle ; on vérifie avec un point test et on soigne les bornes (incluses ou exclues).
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Une équation en $\cos^2 x$ et $\cos x$ se résout par changement d'inconnue $X = \cos x$, puis on revient à $x$.
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Pour étudier $f$ : on dérive avec $(\sin)' = \cos$, $(\cos)' = -\sin$, on factorise $f'$, on étudie son signe avec le cercle et on dresse le tableau de variations.