Limite d'une suite

Considérer la suite de terme général $a_n = \dfrac{4n^2 - 5}{2n^2 + 3n}$. Avant tout calcul formel, calculer avec deux décimales la valeur des termes pour $n = 10$, $n = 100$ et $n = 1000$, et en déduire une estimation argumentée de la valeur dont la suite semble se rapprocher. Calculer ensuite la limite par le calcul en comparant les degrés des polynômes et vérifier si votre estimation initiale était correcte, en indiquant si la suite est convergente ou divergente.

Soit la suite $a_n = \frac{4n - 3}{n + 1}$, dont on sait que la limite est $L = 4$. À l'aide de la définition formelle de la limite, déterminer à partir de quel rang $n$ la distance entre les termes de la suite et sa limite est strictement inférieure à un millième, c'est-à-dire $|a_n - 4| < 0,001$.

Soit la suite $a_n = \dfrac{3n - 1}{n + 2}$ : calculer d'abord $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n$ et démontrer formellement ce résultat en appliquant la définition rigoureuse de la limite, en déduisant une formule donnant la valeur minimale de $N \in \mathbb{N}$ en fonction de toute marge $\varepsilon > 0$. Utiliser cette formule pour calculer $N$ lorsque $\varepsilon = 0,001$. Enfin, un camarade observe que pour $n = 100$ la distance entre termes consécutifs est déjà très petite ($|a_{101} - a_{100}| < 0,001$) et en déduit que $a_{100}$ doit donc déjà être à une distance de sa limite inférieure à $0,001$. Vérifier numériquement si sa déduction est vraie ou fausse pour ce terme et expliquer la différence conceptuelle entre la proximité de deux termes consécutifs et la proximité d'un terme à sa limite.

Calculer la limite de la suite polynomiale suivante lorsque $n$ tend vers l'infini :

$b_n = -2n^3 + 7n^2 - 4n + 12$

Calculer la limite de la suite suivante, en identifiant au préalable les degrés du numérateur et du dénominateur :

$d_n = \frac{6n^2 - 3n + 5}{2n^2 + 4n - 1}$

La population de poissons d'une pisciculture durable croît selon le modèle mathématique $P_n = \frac{150000n}{3n + 250}$, où $n$ représente le nombre de jours depuis l'introduction des alevins. Déterminer la capacité d'accueil du milieu, c'est-à-dire la limite de la population de poissons à long terme.

Étudier le comportement et calculer la limite de la suite de type exponentiel :

$f_n = 12 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^n$

La température en degrés Celsius d'une pièce de métal qui refroidit dans une pièce suit la suite $T_n = 22 + 85 \cdot (0,82)^n$, où $n$ est le temps écoulé en minutes. Calculer la limite de la suite $T_n$ lorsque $n \to \infty$ et interpréter le résultat dans le contexte du problème.

À partir d'un carré d'aire $A_1 = 400 \text{ cm}^2$, on construit une suite de carrés en joignant les milieux des côtés du carré précédent, comme le montre la figure. Sachant que l'aire de chaque nouveau carré est la moitié de l'aire du carré précédent, calculer la limite de la somme des aires des infinis carrés ainsi construits : $S_\infty = \lim_{n \to \infty} (A_1 + A_2 + \dots + A_n)$.

Calculer la limite de la suite comportant une racine carrée simple au numérateur :

$h_n = \frac{\sqrt{16n^2 + 3n}}{2n + 5}$

Lever l'indétermination qui se présente dans le calcul de la limite de la différence de suites rationnelles suivante :

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^2 + 5n}{n + 2} - n \right)$

Calculer la limite de la suite irrationnelle suivante, en multipliant et en divisant par l'expression conjuguée pour lever l'indétermination :

$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 6n} - n \right)$

Calculer la limite de la suite suivante, qui comporte une double racine carrée et nécessite d'appliquer avec soin la technique de l'expression conjuguée :

$\lim_{n \to \infty} n \cdot \left( \sqrt{n^2 + 4} - n \right)$

En appliquant la définition du nombre $e$, calculer la limite de la suite suivante :

$g_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{7n}$

Calculer la limite de la suite, en transformant l'expression pour appliquer la limite du nombre $e$ :

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n + 7}{n + 2} \right)^{4n}$

Calculer la limite suivante, qui conduit à une indétermination de la forme $1^\infty$, en portant une attention particulière aux calculs algébriques dans l'exposant :

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^2 - n + 3}{n^2 + n + 1} \right)^{n^2 - 1}$

Déterminer si la suite de terme général $a_n = \frac{(-1)^n \cdot 5}{n}$ est convergente, divergente ou sans limite. Si elle est convergente, indiquer sa limite.

Lucas calcule la limite de la suite $a_n = \dfrac{3n + (-1)^n \cdot 4}{2n - 1}$ et écrit dans sa copie : « Comme le terme $(-1)^n$ alterne indéfiniment entre $-1$ et $1$, la suite fait des sauts tout le temps et est donc une suite oscillante qui n'a pas de limite ». Identifier l'erreur conceptuelle de Lucas, expliquer pourquoi son affirmation est fausse et calculer correctement $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n$, en classant la suite comme convergente, divergente ou sans limite.

Un patient reçoit une dose quotidienne d'un médicament. Après l'absorption et l'élimination au cours de la journée, la concentration du médicament dans le sang juste avant la dose suivante suit la relation de récurrence $C_n = 15 + C_{n-1} \cdot 0,4$, où $15 \text{ mg/L}$ est l'apport de la nouvelle dose et le facteur $0,4$ indique qu'il reste $40\%$ du médicament de la veille. Si la concentration initiale est $C_1 = 15$, calculer la concentration d'équilibre dans le sang à long terme, c'est-à-dire $\lim_{n \to \infty} C_n$.

On définit une suite par la relation de récurrence suivante : le premier terme est $a_1 = \sqrt{6}$, et chaque terme suivant est obtenu par $a_{n+1} = \sqrt{6 + a_n}$. En admettant que la suite est croissante et majorée (donc convergente, de limite $L$), poser l'équation que doit vérifier la limite et la déterminer.