Équation d'un plan dans l'espace
Une face de la pyramide du Louvre est plane. Pour la décrire dans un logiciel de modélisation 3D, il faut une seule équation, vérifiée par les points de cette face et par aucun autre. Comment l'obtenir à partir de trois sommets ? C'est le but de cette page.
Vecteur normal et équation cartésienne
Une droite est fixée par un point et un vecteur directeur. Un plan se décrit plus simplement par un point et un vecteur perpendiculaire à toutes ses directions : un vecteur normal.
Les coefficients de $x$, $y$, $z$ se lisent donc directement : ce sont les coordonnées d'un vecteur normal.
Un ingénieur conçoit la base d'une pièce à l'aide d'un logiciel de CAO. La base doit être un plan passant par le point $P(2 ; -1 ; 3)$ et de vecteur normal…
Un ingénieur conçoit la base d'une pièce à l'aide d'un logiciel de CAO. La base doit être un plan passant par le point $P(2 ; -1 ; 3)$ et de vecteur normal $\vec{n}(3 ; 2 ; -4)$. Calculer une équation cartésienne du plan définissant cette base.
Étant donnée l'équation du plan représentant l'un des murs d'une pièce, $\pi \equiv 2x - 3y + z - 6 = 0$, indiquer en justifiant si les points suivants appartiennent à…
Étant donnée l'équation du plan représentant l'un des murs d'une pièce, $\pi \equiv 2x - 3y + z - 6 = 0$, indiquer en justifiant si les points suivants appartiennent à ce mur :
- a) $Q(3 ; 0 ; 0)$
- b) $R(1 ; 1 ; 1)$
Plan perpendiculaire à une droite, plan médiateur
Si une droite $(d)$ est orthogonale à un plan $\mathcal P$, son vecteur directeur $\vec u$ est un vecteur normal de $\mathcal P$. Inversement, le vecteur normal d'un plan dirige toute droite perpendiculaire à ce plan.
Une droite peut être donnée par une représentation paramétrique, ou sous la forme $\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}$. Dans les deux cas, on lit un point $(x_0\,;y_0\,;z_0)$ et un vecteur directeur $\vec u\,(a\,;b\,;c)$.
Pour trouver le point d'intersection d'une droite et d'un plan, on remplace $x$, $y$, $z$ par leurs expressions en fonction de $t$ dans l'équation du plan, puis on résout en $t$.
On souhaite installer un projecteur dont la trajectoire de la lumière soit perpendiculaire à une plaque métallique. Si la trajectoire du rayon lumineux est donnée par la…
On souhaite installer un projecteur dont la trajectoire de la lumière soit perpendiculaire à une plaque métallique. Si la trajectoire du rayon lumineux est donnée par la droite $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z}{4}$, déterminer une équation du plan contenant la plaque métallique, sachant qu'il passe par le point $M(0 \,;\, 4 \,;\, -2)$.
Lors d'une mission de sauvetage, un drone se déplace en ligne droite selon la droite $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z+2}{-1}$. Le drone doit émettre un…
Lors d'une mission de sauvetage, un drone se déplace en ligne droite selon la droite $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z+2}{-1}$. Le drone doit émettre un signal radio qui n'est efficace que s'il rencontre perpendiculairement un écran plan de sécurité.
- a) Déterminer une équation du plan représentant cet écran, sachant qu'il doit passer par le point $P(2\,;\,2\,;\,2)$ et être perpendiculaire à la trajectoire du drone.
- b) Calculer le point exact où la trajectoire du drone rencontrerait l'écran.
Plan défini par trois points ou par des droites
Trois points non alignés $A$, $B$, $C$ déterminent un unique plan. Il contient les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, qui sont non colinéaires. Il suffit donc de trouver un vecteur normal $\vec n\,(a\,;b\,;c)$ vérifiant
$$\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=0 \quad\text{et}\quad \vec n\cdot\overrightarrow{AC}=0.$$C'est un système de deux équations à trois inconnues : on fixe une inconnue (par exemple $b=1$) et on calcule les autres.
La même méthode s'applique dans d'autres situations :
-
deux droites sécantes : on prend leurs deux vecteurs directeurs (non colinéaires) ;
-
une droite et un point extérieur $P$ : on prend le vecteur directeur de la droite et le vecteur $\overrightarrow{AP}$, où $A$ est un point de la droite.
Reviens au début : trois sommets non alignés d'une face de la pyramide suffisent à fixer son plan, et l'on obtient son équation par la méthode ci-dessus.
Dans un environnement de réalité virtuelle, trois capteurs sont situés aux points $A(1\,;\,0\,;\,0)$, $B(0\,;\,2\,;\,0)$ et $C(0\,;\,0\,;\,3)$. Déterminer une équation…
Dans un environnement de réalité virtuelle, trois capteurs sont situés aux points $A(1\,;\,0\,;\,0)$, $B(0\,;\,2\,;\,0)$ et $C(0\,;\,0\,;\,3)$. Déterminer une équation cartésienne du plan contenant ces trois capteurs.
Déterminer une équation du plan contenant la droite $r \equiv \begin{cases} x = 2 - t \\ y = t \\ z = 1 + 2t \end{cases}$ et passant en outre par le point extérieur…
Déterminer une équation du plan contenant la droite $r \equiv \begin{cases} x = 2 - t \\ y = t \\ z = 1 + 2t \end{cases}$ et passant en outre par le point extérieur $P(1 ; 1 ; 1)$.
Un architecte conçoit une toiture plane pour un petit pavillon. La toiture doit reposer sur trois piliers dont les extrémités supérieures sont situées aux points…
Un architecte conçoit une toiture plane pour un petit pavillon. La toiture doit reposer sur trois piliers dont les extrémités supérieures sont situées aux points $A(2 ; 0 ; 3)$, $B(0 ; 4 ; 3)$ et $C(1 ; 1 ; 5)$, les unités étant en mètres.
- a) Déterminer une équation cartésienne du plan contenant la toiture.
- b) Calculer les points d'intersection de ce plan avec les axes de coordonnées afin de déterminer où se situeraient les ancrages si la toiture se prolongeait jusqu'à toucher les murs principaux (les axes).
Déterminer une équation du plan contenant les droites suivantes, après avoir vérifié qu'elles se coupent en un point : $$r \equiv \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{2} =…
Déterminer une équation du plan contenant les droites suivantes, après avoir vérifié qu'elles se coupent en un point :
$$r \equiv \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{3} \quad , \quad s \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-3}{-1}$$Si un troisième rayon laser suit la direction du vecteur normal à ce plan et part du point d'intersection de $r$ et $s$, quelle serait sa représentation paramétrique ?
Plans parallèles et distance à un plan
Distance d'un point à un plan
On calcule $d(M,\mathcal P)$ avec le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $\mathcal P$ : $H=M+t\vec n$ avec $H\in\mathcal P$, et $d(M,\mathcal P)=MH$.
Trois plans : pour étudier leur position relative, on résout le système des trois équations (on élimine une inconnue, éventuellement selon la valeur du paramètre). Une solution unique : un point commun ; une infinité de solutions : une droite (ou un plan) commune ; aucune solution : pas de point commun aux trois plans. On interprète ensuite géométriquement, en regardant aussi les vecteurs normaux deux à deux.
Déterminer une équation du plan passant par le point $A(5 ; -2 ; 4)$ et parallèle au plan d'équation $\pi \equiv 3x - y + 2z + 8 = 0$. Rappel : deux plans parallèles ont…
Déterminer une équation du plan passant par le point $A(5 ; -2 ; 4)$ et parallèle au plan d'équation $\pi \equiv 3x - y + 2z + 8 = 0$. Rappel : deux plans parallèles ont le même vecteur normal.
Soit les plans $\pi_1 \equiv (a-2)x + 2y + z = 0$ et $\pi_2 \equiv 4x + ay + 2z = b$ : a) Calculer les valeurs de $a$ et $b$ pour que les plans soient confondus. b)…
Soit les plans $\pi_1 \equiv (a-2)x + 2y + z = 0$ et $\pi_2 \equiv 4x + ay + 2z = b$ :
- a) Calculer les valeurs de $a$ et $b$ pour que les plans soient confondus.
- b) Calculer les valeurs de $a$ et $b$ pour que les plans soient strictement parallèles.
- c) Quelle relation doit exister entre $a$ et $b$ pour que l'origine du repère appartienne à l'intersection des deux plans ?
Un architecte conçoit la toiture d'un gymnase. La structure principale est définie par deux poutres métalliques situées sur les droites :…
Un architecte conçoit la toiture d'un gymnase. La structure principale est définie par deux poutres métalliques situées sur les droites :
$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3\lambda \end{cases}$ et $s: \frac{x-2}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{-1}$
Déterminer une équation cartésienne du plan $\pi$ parallèle à ces deux poutres et situé à une distance de $\sqrt{14}$ unités de l'origine du repère. La solution est-elle unique ? Justifier la réponse.
On considère les droites sécantes $r$ et $s$ qui définissent un plan $\alpha$. La droite $r$ passe par $P(1 ; 0 ; 1)$ et a pour direction $\vec{d_r} = (2 ; 1 ; -1)$, et…
On considère les droites sécantes $r$ et $s$ qui définissent un plan $\alpha$. La droite $r$ passe par $P(1 ; 0 ; 1)$ et a pour direction $\vec{d_r} = (2 ; 1 ; -1)$, et la droite $s$ passe par $Q(1 ; 0 ; 1)$ et a pour direction $\vec{d_s} = (0 ; 1 ; 1)$.
Déterminer une équation d'un plan $\pi$ parallèle à $\alpha$ et tel que la sphère de centre $C(3 ; 2 ; 1)$ et de rayon $R=2$ soit tangente à ce plan $\pi$. Donner les deux solutions possibles.
Soit les points $A(1 ; 1 ; 1)$, $B(3 ; 0 ; 2)$ et $C(4 ; k ; 0)$. Étudier la position relative des plans $\pi_1$, $\pi_2$ et $\pi_3$ en fonction du paramètre réel $k$,…
Soit les points $A(1 ; 1 ; 1)$, $B(3 ; 0 ; 2)$ et $C(4 ; k ; 0)$. Étudier la position relative des plans $\pi_1$, $\pi_2$ et $\pi_3$ en fonction du paramètre réel $k$, sachant que :
-
$\pi_1$ est le plan passant par $A$, $B$ et l'origine.
-
$\pi_2$ est le plan contenant $C$ et perpendiculaire à la droite passant par $A$ et $B$.
-
$\pi_3$ est le plan d'équation $x + y + z = k + 2$.
Soit $P(1 ; 2 ; -1)$ un point de l'espace et $r$ la droite d'intersection des plans $x - y = 0$ et $z = 2$. a) Déterminer une équation du plan $\pi_1$ contenant $r$ et…
Soit $P(1 ; 2 ; -1)$ un point de l'espace et $r$ la droite d'intersection des plans $x - y = 0$ et $z = 2$.
- a) Déterminer une équation du plan $\pi_1$ contenant $r$ et passant par $P$.
- b) Déterminer une équation du plan $\pi_2$ contenant $r$ et perpendiculaire à $\pi_1$.
- c) Calculer l'angle formé par le plan $\pi_2$ et le plan de coordonnées $XY$.
Représentation paramétrique d'un plan
Un plan est aussi caractérisé par un point $A$ et deux vecteurs $\vec u$, $\vec v$ non colinéaires. Les points $M$ du plan sont ceux pour lesquels
$$\overrightarrow{AM}=\lambda\vec u+\mu\vec v\qquad(\lambda,\mu\in\mathbb R),$$ce qui donne, en coordonnées, trois équations : $x=x_A+\lambda u_1+\mu v_1$, $y=y_A+\lambda u_2+\mu v_2$, $z=z_A+\lambda u_3+\mu v_3$.
Pour savoir si quatre points $A$, $B$, $C$, $D$ sont coplanaires, on écrit l'équation du plan $(ABC)$ et on vérifie si $D$ la satisfait (ou bien on cherche si $\overrightarrow{AD}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}$).
Déterminer une équation du plan $\pi$ contenant la droite $r$ donnée par : $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = 3\lambda \end{cases}$$ et…
Déterminer une équation du plan $\pi$ contenant la droite $r$ donnée par :
$$r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = 3\lambda \end{cases}$$et parallèle à la droite $s$ passant par les points $P(0 ; 2 ; 1)$ et $Q(1 ; 2 ; 4)$. Justifier pourquoi le vecteur directeur de $s$ ne peut pas être colinéaire à celui de $r$ pour que le plan soit déterminé de manière unique.
Déterminer la valeur du paramètre $k \in \mathbb{R}$ pour que les points $A(1 ; 0 ; 1)$, $B(0 ; 2 ; 1)$, $C(2 ; 1 ; 0)$ et $D(k ; k ; 2)$ soient coplanaires. Une fois…
Déterminer la valeur du paramètre $k \in \mathbb{R}$ pour que les points $A(1 ; 0 ; 1)$, $B(0 ; 2 ; 1)$, $C(2 ; 1 ; 0)$ et $D(k ; k ; 2)$ soient coplanaires. Une fois $k$ déterminé, écrire une représentation paramétrique du plan qui les contient.
Équation segmentaire
Si un plan coupe les axes en $(a\,;0\,;0)$, $(0\,;b\,;0)$, $(0\,;0\,;c)$ avec $a$, $b$, $c$ non nuls, une équation est
$$\frac xa+\frac yb+\frac zc=1.$$En effet, chaque point de coupure vérifie l'équation (par exemple $\frac aa=1$).
Le volume du tétraèdre formé par l'origine et les trois points de coupure (axes orthogonaux) est $V=\dfrac{|abc|}{6}$.
Un architecte utilise l'« équation segmentaire » pour définir un toit incliné qui coupe les axes de coordonnées aux points $(4 ; 0 ; 0)$, $(0 ; 3 ; 0)$ et $(0 ; 0 ; 2)$.…
Un architecte utilise l'« équation segmentaire » pour définir un toit incliné qui coupe les axes de coordonnées aux points $(4 ; 0 ; 0)$, $(0 ; 3 ; 0)$ et $(0 ; 0 ; 2)$. Écrire directement son équation puis la transformer sous la forme cartésienne $Ax + By + Cz + D = 0$.
Un plan $\pi$ coupe les axes de coordonnées aux points $X(a ; 0 ; 0)$, $Y(0 ; b ; 0)$ et $Z(0 ; 0 ; c)$. On sait que le plan passe par le point $P(1 ; 2 ; 2)$ et que les…
Un plan $\pi$ coupe les axes de coordonnées aux points $X(a ; 0 ; 0)$, $Y(0 ; b ; 0)$ et $Z(0 ; 0 ; c)$. On sait que le plan passe par le point $P(1 ; 2 ; 2)$ et que les distances à l'origine des points d'intersection sont égales ($a = b = c$).
- a) Écrire une équation cartésienne du plan.
- b) Calculer le volume du tétraèdre formé par l'origine du repère et les trois points d'intersection avec les axes.
Faisceau de plans
Soit $\pi_1: a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0$ et $\pi_2: a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$ deux plans sécants suivant une droite $r$. Tous les plans contenant $r$ ont une équation
$$\pi_1+\lambda\,\pi_2=0\qquad(\lambda\in\mathbb R),$$à l'exception de $\pi_2$ lui-même. Cela permet de trouver, parmi ces plans, celui qui vérifie une condition supplémentaire.
Si la droite est donnée par $\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}$, on l'écrit comme intersection de deux plans (par exemple $\frac{x-x_0}a=\frac{y-y_0}b$ et $\frac{y-y_0}b=\frac{z-z_0}c$) avant d'écrire le faisceau.
On considère le faisceau de plans d'arête la droite d'intersection des plans $\pi_1 \equiv 2x - y + z - 3 = 0$ et $\pi_2 \equiv x + y - 2z + 1 = 0$. Déterminer le plan…
On considère le faisceau de plans d'arête la droite d'intersection des plans $\pi_1 \equiv 2x - y + z - 3 = 0$ et $\pi_2 \equiv x + y - 2z + 1 = 0$. Déterminer le plan de ce faisceau passant par le milieu du segment d'extrémités $A(1 ; 2 ; -1)$ et $B(3 ; 0 ; 5)$.
On considère le faisceau de plans d'arête la droite $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{3}$. Déterminer une équation du plan $\pi$ appartenant à ce faisceau et…
On considère le faisceau de plans d'arête la droite $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{3}$. Déterminer une équation du plan $\pi$ appartenant à ce faisceau et vérifiant simultanément les deux conditions suivantes :
-
Il est perpendiculaire au plan $\sigma: x - 2y + z - 5 = 0$.
-
Le point $P(0 ; a ; 1)$ appartient au plan $\pi$ pour une certaine valeur réelle de $a$.
Déterminer la valeur de $a$ et une équation cartésienne de $\pi$.