Combinaisons

Dans une classe de 15 élèves, on va choisir une commission de 4 personnes pour organiser le voyage de fin d'année. De combien de façons différentes peut-on constituer cette commission ?

Dans une classe de seconde, le département de français propose une liste de 8 romans recommandés et demande à chaque élève d'en choisir 3 à lire pendant l'année scolaire.

Marcos affirme avec assurance : « Pour choisir mon premier roman j'ai 8 possibilités, pour le deuxième il m'en reste 7 et pour le troisième 6, donc le nombre total de façons de choisir mes 3 lectures est $8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ ».

1. a) Indiquer précisément l'erreur conceptuelle commise par Marcos dans son raisonnement et expliquer pourquoi son calcul compte des sélections en trop.
2. b) Corriger son raisonnement en utilisant le coefficient binomial adéquat et calculer combien de groupes distincts de 3 romans on peut réellement choisir.

Dans la phase régionale d'un championnat scolaire de basket-ball en fauteuil roulant, 12 établissements de la région Île-de-France s'affrontent. L'organisation prévoit une poule préliminaire dans laquelle toutes les équipes doivent se rencontrer exactement une fois.

1. a) Avant d'effectuer toute opération numérique exacte, faire une estimation justifiée : le nombre total de matchs de cette phase sera-t-il supérieur ou inférieur à 100 ? Justifier votre intuition en expliquant ce qui se passerait si l'on multipliait simplement le nombre d'équipes par le nombre de matchs que chacune dispute.
2. b) Modéliser la situation en calculant le nombre exact de matchs à l'aide de la combinaison correspondante ($C_{12,2}$), vérifier si votre estimation initiale était correcte et expliquer pourquoi il est indispensable de diviser par 2.

Calculer les valeurs de $C_{8,3}$ et $C_{8,5}$. À la vue des résultats numériques, quelle propriété fondamentale des coefficients binomiaux est vérifiée ?

Déterminer la valeur de l'entier naturel $x$ qui vérifie l'équation suivante faisant intervenir des coefficients binomiaux : $\binom{x}{2} = 21$.

Résoudre l'équation suivante faisant intervenir des coefficients binomiaux et déterminer la valeur de l'entier naturel $x$ :

$3 \cdot C_{x, 4} = 5 \cdot C_{x, 2}$

Appliquer directement les propriétés du triangle de Pascal pour calculer la somme $\binom{9}{4} + \binom{9}{5}$ sans avoir à développer séparément les factorielles de chaque terme.

Le service d'orientation d'un lycée veut organiser les permanences de l'équipe de médiation scolaire en formant des binômes de deux élèves, sans tenir compte de l'ordre ni du rôle de chacun. Le conseiller examine les fiches des élèves volontaires de seconde et constate qu'avec les inscrits disponibles, il est possible de constituer exactement 45 binômes distincts, sans répéter aucun duo.

1. a) Poser une équation algébrique reliant le nombre inconnu d'élèves volontaires ($n$) au nombre total de binômes possibles à partir de la définition de $C_{n,2}$.
2. b) Résoudre l'équation pas à pas, justifier pourquoi il faut écarter l'une des solutions algébriques obtenues et conclure sur le nombre d'élèves qui se sont portés volontaires au départ.

Démontrer algébriquement, en utilisant la définition du coefficient binomial à l'aide de factorielles et en réduisant au même dénominateur, que l'identité suivante est vérifiée pour tout couple d'entiers naturels $n$ et $k$ (avec $k < n$) :

$\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$

Combien de droites différentes peut-on tracer en reliant 7 points d'un plan, sachant que trois points quelconques ne sont jamais alignés ?

Dans un tournoi d'échecs local, 14 joueurs participent. Le règlement du tournoi prévoit que chaque joueur affronte une seule fois chacun des autres inscrits. Combien de parties d'échecs seront jouées au total pendant le championnat ?

Un polygone convexe a 15 côtés. En utilisant la notion de combinaisons pour dénombrer les segments entre sommets, déterminer combien de diagonales on peut tracer dans ce polygone.

Dans une entreprise technologique, 12 programmeurs sont disponibles. Il faut créer une équipe de 5 personnes pour développer une nouvelle application, mais la direction a décidé que le programmeur en chef doit obligatoirement faire partie de l'équipe. Combien d'équipes différentes peut-on constituer sous cette condition ?

Une équipe de basket-ball scolaire compte dans son effectif 7 joueuses et 6 joueurs. L'entraîneur doit former un cinq majeur mixte composé exactement de 3 joueuses et 2 joueurs. Combien de cinq majeurs distincts peut-il former pour commencer le match ?

Pour assister à une assemblée de jeunes sur l'environnement, un établissement doit former une délégation de 5 représentants choisis parmi un groupe de 6 filles et 5 garçons de seconde. La convocation exige comme seule condition qu'il y ait au moins un garçon dans la délégation.

Pour calculer combien de délégations valides on peut former, deux élèves proposent des chemins différents :

• Camille propose la méthode directe : additionner séparément les possibilités de délégations formées de 1 garçon et 4 filles, 2 garçons et 3 filles, 3 garçons et 2 filles, 4 garçons et 1 fille, et 5 garçons.

• Serge propose la méthode par complémentaire : calculer le nombre total de délégations possibles de 5 personnes sans aucune restriction et retrancher celles composées exclusivement de filles.

1. a) Développer numériquement les deux méthodes pas à pas et vérifier qu'elles conduisent exactement au même résultat.
2. b) Argumenter laquelle des deux stratégies est la plus efficace et la moins risquée en termes d'erreur de calcul lors d'un contrôle, et évaluer comment votre choix serait modifié si la délégation devait comporter 8 personnes choisies parmi 15 candidats.

Dans un plan, on a tracé 12 points au total. En les analysant, on observe que exactement 5 d'entre eux sont alignés sur une même droite, tandis que, parmi les autres, trois points quelconques ne sont jamais alignés. Combien de triangles distincts peut-on former en utilisant exclusivement ces 12 points comme sommets ?

On tire simultanément 5 cartes d'un jeu espagnol traditionnel de 40 cartes (4 couleurs de 10 cartes chacune). De combien de façons distinctes peut-on obtenir une main contenant exactement trois rois et exactement deux cartes de la couleur des deniers (oros) ? On tiendra compte du fait que le roi de deniers est une carte appartenant aux deux catégories, ce qui oblige à distinguer des cas.

Sur un quadrillage représentant les rues d'un quartier (de $6 \times 4$ pâtés de maisons), un livreur doit aller du point de départ A au point d'arrivée B en se déplaçant uniquement vers la droite et vers le haut. À cause de travaux, l'intersection marquée du point C est complètement fermée à la circulation. Combien de chemins distincts le livreur peut-il emprunter pour atteindre sa destination en respectant cette contrainte ?

Une délégation d'élèves de 6 personnes doit être formée à partir d'un groupe composé de 8 filles et 7 garçons. De combien de façons différentes peut-on choisir la délégation si le règlement exige une majorité stricte de filles dans le groupe ?

Développer complètement l'expression $(x + 2)^4$ en appliquant la formule du binôme de Newton.

Calculer le cinquième terme du développement du binôme $(2a - b)^6$, en considérant que les termes sont ordonnés selon les puissances décroissantes de $a$.

Déterminer le coefficient numérique du terme contenant $x^3$ dans le développement du binôme $(3x - \frac{1}{2})^5$.

Dans le développement du binôme $(kx - 2)^5$, on sait que le coefficient numérique correspondant au terme de degré 3 est $-1080$. Poser l'équation correspondante et déterminer la valeur du paramètre $k$.

Considérer le polynôme $P(x)$ obtenu en développant l'expression $(4x - 3)^7$. Sans avoir à calculer individuellement chacun des termes du développement à l'aide du binôme de Newton, raisonner et calculer la somme de tous les coefficients de ce polynôme.

Dans le développement algébrique du binôme $(x - 2)^n$, avec $n \in \mathbb{N}$ et $n \ge 2$, les termes s'obtiennent en appliquant la formule du binôme de Newton : $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_{n,k} \cdot a^{n-k} \cdot b^k$, ordonnés suivant les puissances décroissantes de $x$.

1. a) Sachant que le troisième terme de ce développement (celui qui correspond à $k = 2$) a un coefficient numérique égal à $+60$, poser une équation faisant intervenir le coefficient binomial $C_{n,2}$ et la puissance $(-2)^2$, la résoudre étape par étape et en déduire la valeur de l'exposant $n$.
2. b) Avec la valeur de $n$ obtenue, déterminer en justifiant combien de termes comporte le polynôme obtenu et calculer directement le terme central de ce développement (sans écrire tous les autres termes). Justifier explicitement, à partir des exposants et de la formule du binôme, pourquoi le signe de ce terme central est négatif.

Dans une glacerie artisanale, on propose 5 parfums de glace différents. Si vous souhaitez acheter un pot pouvant contenir 3 boules de glace, avec la possibilité de répéter plusieurs fois le même parfum, de combien de façons différentes pouvez-vous composer votre pot ?

On va répartir 10 billets identiques pour un festival de musique entre 4 amis. De combien de façons peut-on distribuer les billets s'il n'y a aucune restriction sur le nombre de billets que chacun peut recevoir (l'un d'eux pouvant même n'en recevoir aucun) ?

Un professeur d'arts plastiques veut répartir 18 feutres identiques entre les 5 groupes de travail de sa classe. Pour que tous les groupes puissent réaliser l'activité, il pose la condition que chaque groupe doit recevoir au moins 2 feutres. De combien de façons différentes peut-il effectuer la répartition complète ?

Dans une pâtisserie traditionnelle d'Oviedo, dans les Asturies (Espagne), une cliente commande un plateau assorti de 12 pâtisseries pour une fête. La boutique fabrique 4 variétés typiques : des carbayones, des casadiellas, des moscovitas et des bartolos. Pour préparer le plateau, l'ordre dans lequel on place les pâtisseries n'a pas d'importance, seul compte le nombre d'unités de chaque variété choisies (un type pouvant être répété autant de fois que l'on veut ou ne pas figurer du tout).

1. a) Modéliser la situation par une combinaison avec répétition en utilisant la méthode des « boules et barres de séparation » du cours : identifier combien d'unités identiques sont réparties ($k$), combien de séparateurs sont nécessaires ($n-1$) et calculer combien de plateaux assortis différents de 12 pâtisseries on peut composer au total.
2. b) Si la cliente exige que le plateau contienne obligatoirement au moins 2 pâtisseries de chacune des 4 variétés, combien de plateaux différents peut-on composer sous cette condition ? Modéliser cette contrainte mathématique en expliquant combien de pâtisseries restent réellement libres à choisir, puis calculer le résultat final.