Suites et récurrence · Mathématiques Terminale (spé maths)

La démonstration par récurrence

On veut démontrer qu'une propriété $\mathcal P(n)$ est vraie pour tout entier $n\ge n_0$. On ne peut pas la vérifier pour une infinité de valeurs, alors on procède comme pour une file de dominos.

Pourquoi ça marche ? L'initialisation fait tomber le premier domino, l'hérédité garantit que chaque domino fait tomber le suivant. Les deux sont indispensables.

Une suite bornée par récurrence

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=5$ et $u_{n+1}=0{,}5\,u_n+1$. Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n\ge 2$.

On note $\mathcal P(n)$ : « $u_n\ge 2$ ».

Initialisation. $u_0=5\ge 2$, donc $\mathcal P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n\in\mathbb N$ tel que $u_n\ge2$ (hypothèse de récurrence). On cherche à obtenir $u_{n+1}$ à partir de $u_n$, en suivant la formule de récurrence : $0{,}5\,u_n\ge 1$, donc $0{,}5\,u_n+1\ge 2$, c'est-à-dire $u_{n+1}\ge 2$.

Conclusion. $\mathcal P(0)$ est vraie et $\mathcal P$ est héréditaire, donc pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n\ge2$.

Tu continues. Calcule $u_{n+1}-u_n$, en déduis le sens de variation de $(u_n)$, puis justifie que la suite converge et détermine sa limite.

$u_{n+1}-u_n=1-0{,}5\,u_n$. Comme $u_n\ge2$, on a $0{,}5\,u_n\ge1$ donc $u_{n+1}-u_n\le0$ : la suite est décroissante. Elle est minorée par 2, donc elle converge vers un réel $\ell$. Par passage à la limite dans $u_{n+1}=0{,}5\,u_n+1$, on obtient $\ell=0{,}5\,\ell+1$, soit $\ell=2$.

Entraîne-toi★☆☆

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac12u_n+3$. 1. Calculer $u_1$ et $u_2$. 2. Démontrer par récurrence que,…

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac12u_n+3$.

Calculer $u_1$ et $u_2$.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0\le u_n\le 6$.
a) Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n=3-\dfrac12u_n$.

b) En déduire que la suite $(u_n)$ est croissante.

Justifier que la suite $(u_n)$ converge, puis déterminer sa limite.

Résoudre

Entraîne-toi★★☆

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=2u_n-n$. 1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$. 2. Démontrer par récurrence que,…

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=2u_n-n$.

Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=n+1+2^{n+1}$.
a) Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

b) Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

On pose $w_n=\dfrac{u_n}{2^n}$ pour tout entier naturel $n$.

a) Exprimer $w_n$ en fonction de $n$ et montrer que $w_n=2+\dfrac{2(n+1)}{2^{n+1}}$.

b) Calculer $w_0$, $w_1$ et $w_2$.

Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n>10\,000$.

Résoudre

Modéliser : suites arithmético-géométriques

Beaucoup de sujets de bac traduisent une évolution en pourcentage, suivie d'un apport ou d'un retrait fixe : population d'un lac, abonnés d'une chaîne, capital d'un placement. La suite obtenue vérifie une relation $u_{n+1}=a\,u_n+b$.

Pour $u_{n+1}=a\,u_n+b$ avec $a\ne1$, on se ramène à une suite géométrique. On cherche d'abord le réel $\ell$ tel que $\ell=a\ell+b$ (le point fixe), puis on pose $v_n=u_n-\ell$. L'énoncé de bac donne presque toujours $v_n$ : à toi de montrer qu'elle est géométrique.

Une chaîne en ligne

Lina a 1 000 abonnés au 1er janvier. Chaque mois, elle en perd $10\ \%$ et en gagne 150 nouveaux. On note $u_n$ le nombre d'abonnés après $n$ mois : $u_0=1\,000$.

Relation de récurrence. Perdre $10\ \%$ revient à multiplier par $0{,}9$, puis on ajoute 150 : $u_{n+1}=0{,}9\,u_n+150$.

Point fixe. $\ell=0{,}9\,\ell+150\iff0{,}1\,\ell=150\iff\ell=1\,500$.

Suite géométrique. On pose $v_n=u_n-1\,500$. Alors

$v_{n+1}=u_{n+1}-1\,500=0{,}9\,u_n+150-1\,500=0{,}9\,u_n-1\,350=0{,}9\,(u_n-1\,500)=0{,}9\,v_n$.

La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}9$ et de premier terme $v_0=1\,000-1\,500=-500$.

Expression de $u_n$. $v_n=-500\times0{,}9^n$, donc $u_n=1\,500-500\times0{,}9^n$.

Limite. Comme $-1<0{,}9<1$, $0{,}9^n\to0$, donc $u_n\to1\,500$ : le nombre d'abonnés se stabilise autour de 1 500.

À toi. À partir de quel mois y a-t-il plus de 1 400 abonnés ?

On résout $1\,500-500\times0{,}9^n>1\,400\iff0{,}9^n<0{,}2\iff n\ln0{,}9<\ln0{,}2$. Comme $\ln0{,}9<0$, on change le sens de l'inégalité : $n>\dfrac{\ln0{,}2}{\ln0{,}9}\approx15{,}3$. Donc à partir du mois $n=16$.

Fais varier la raison $r$ : pour $|r|<1$ les termes se rapprochent de 0, pour $r>1$ ils explosent, pour $r\le-1$ ils ne se stabilisent pas.

Rechercher un seuil en Python

Quand le calcul algébrique est lourd, un algorithme donne le premier rang qui dépasse un seuil :

def seuil():

    n = 0

    u = 1000

    while u <= 1400:

        u = 9 * u / 10 + 150

        n = n + 1

    return n

Il renvoie 16, comme le calcul avec le logarithme.

Entraîne-toi★☆☆

Le 1er janvier 2025, Camille place 2 000 € sur un compte rémunéré à intérêts composés au taux annuel de $3\ \%$. Pour tout entier naturel $n$, on note $v_n$ le capital,…

Le 1er janvier 2025, Camille place 2 000 € sur un compte rémunéré à intérêts composés au taux annuel de $3\ \%$. Pour tout entier naturel $n$, on note $v_n$ le capital, en euro, disponible $n$ années après le placement. On a donc $v_0=2\,000$.

Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$, puis $v_n$ en fonction de $n$.
Préciser le sens de variation de la suite $(v_n)$ et sa limite.
Résoudre dans $\mathbb N$ l'inéquation $v_n>3\,000$.
Interpréter le résultat de la question 3 dans le contexte de l'exercice.

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Entraîne-toi★★☆

Un lac de Bretagne contient 5 000 poissons au 1er janvier 2025. Chaque année, la pêche prélève $20\ \%$ des poissons présents, puis une association en réintroduit 800…

Un lac de Bretagne contient 5 000 poissons au 1er janvier 2025. Chaque année, la pêche prélève $20\ \%$ des poissons présents, puis une association en réintroduit 800 dans le lac.

On note $u_n$ le nombre de poissons dans le lac au 1er janvier de l'année $2025+n$. On a donc $u_0=5\,000$.

Partie A

Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0{,}8\,u_n+800$.
Calculer $u_1$ et $u_2$.

Partie B

On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-4\,000$.

Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=4\,000+1\,000\times0{,}8^n$.
Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$ et sa limite. Interpréter ce résultat.
Déterminer la première année à partir de laquelle le nombre de poissons au 1er janvier sera strictement inférieur à 4 050.

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Entraîne-toi★★★

On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0=1$, $v_0=7$ et, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=\frac{2u_n+v_n}{3}\qquad\text{et}\qquad…

On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0=1$, $v_0=7$ et, pour tout entier naturel $n$ :

$$u_{n+1}=\frac{2u_n+v_n}{3}\qquad\text{et}\qquad v_{n+1}=\frac{u_n+2v_n}{3}.$$

Calculer $u_1$ et $v_1$.
On pose $w_n=v_n-u_n$ pour tout entier naturel $n$.

a) Montrer que la suite $(w_n)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.

b) En déduire l'expression de $w_n$ en fonction de $n$ et la limite de $(w_n)$.

On pose $s_n=u_n+v_n$ pour tout entier naturel $n$.

a) Montrer que la suite $(s_n)$ est constante et préciser sa valeur.

b) En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=4-\dfrac{3}{3^n}$ et $v_n=4+\dfrac{3}{3^n}$.

Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la même limite, que l'on précisera.
Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n<4

Résoudre

Variations et convergence monotone

Quand la suite n'est pas géométrique, on ne dispose pas de formule explicite. On raisonne alors sur le sens de variation et sur un théorème de convergence.

Attention : le théorème donne l'existence de la limite, pas sa valeur. Pour la trouver quand $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f$ continue, on utilise le résultat suivant.

Quand on veut montrer qu'une suite ne converge pas, on peut raisonner par l'absurde.

Un autre outil classique : encadrer une somme par des termes télescopiques. Par exemple, pour $k\ge2$, $\dfrac1{k^2}\le\dfrac1{k(k-1)}=\dfrac1{k-1}-\dfrac1k$.

Entraîne-toi★★☆

Partie A On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,;3]$ par $f(x)=\sqrt{2x+3}$. 1. Montrer que $f$ est strictement croissante sur $[0\,;3]$. 2. Montrer que, pour…

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,;3]$ par $f(x)=\sqrt{2x+3}$.

Montrer que $f$ est strictement croissante sur $[0\,;3]$.
Montrer que, pour tout $x\in[0\,;3]$, $f(x)\in[0\,;3]$.
Résoudre dans $[0\,;3]$ l'équation $f(x)=x$.

Partie B

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0\le u_n\le 3$.
a) Montrer que, pour tout $x\in[0\,;3]$, $f(x)-x=\dfrac{(3-x)(x+1)}{\sqrt{2x+3}+x}$.

b) En déduire que la suite $(u_n)$ est croissante.

Montrer que la suite $(u_n)$ converge et déterminer sa limite $\ell$. On justifiera que $\ell$ vérifie $f(\ell)=\ell$.
Écrire en langage Python une fonction seuil() qui renvoie le plus petit entier $n$ tel que $u_n>2{,}99$.

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Entraîne-toi★★★

Pour tout entier naturel $n\ge1$, on pose $u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2}=1+\frac1{4}+\dots+\frac1{n^2}$. 1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$. 2. Montrer que…

Pour tout entier naturel $n\ge1$, on pose $u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2}=1+\frac1{4}+\dots+\frac1{n^2}$.

Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
a) Montrer que, pour tout entier $k\ge2$, $\dfrac1{k^2}\le\dfrac1{k-1}-\dfrac1k$.

b) En déduire, par récurrence, que pour tout entier $n\ge1$, $u_n\le2-\dfrac1n$.

Montrer que la suite $(u_n)$ converge vers une limite $\ell$ vérifiant $\dfrac54\le\ell\le2$.

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Entraîne-toi★★★

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+\dfrac1{u_n}$. 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel…

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+\dfrac1{u_n}$.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n>0$.
En déduire que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
a) Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}^2\ge u_n^2+2$.

b) En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n^2\ge 2n+1$.

Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
Justifier que $u_n>10$ pour tout entier $n\ge50$.
Démontrer, par l'absurde, que la suite $(u_n)$ ne peut pas converger vers un réel $\ell$ en utilisant l'égalité $\ell=\ell+\dfrac1\ell$.

Résoudre

Calculer des limites

Quand on a une formule explicite, on détermine la limite avec les limites usuelles et les opérations.

Entraîne-toi★☆☆

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes. 1. $u_n=\dfrac{3n^2-n+1}{n^2+2}$ pour tout $n\in\mathbb N$. 2. $v_n=\dfrac{n+\sin n}{n}$ pour tout $n\ge1$. On…

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes.

$u_n=\dfrac{3n^2-n+1}{n^2+2}$ pour tout $n\in\mathbb N$.
$v_n=\dfrac{n+\sin n}{n}$ pour tout $n\ge1$. On pourra utiliser le théorème des gendarmes.
$w_n=n^2-5n+2$ pour tout $n\in\mathbb N$.
$t_n=5\times\left(-0{,}5\right)^n+2$ pour tout $n\in\mathbb N$.

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À s'entraîner ! 9 exercices dans cette section

★☆☆ On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$,…★☆☆ Le 1er janvier 2025, Camille place 2 000 € sur un compte rémunéré à intérêts composés au…★☆☆ Déterminer la limite de chacune des suites suivantes. 1. $u_n=\dfrac{3n^2-n+1}{n^2+2}$…

L'essentiel

Récurrence : initialisation, hérédité (avec hypothèse de récurrence), conclusion. Les trois étapes sont obligatoires.
Modélisation : une évolution en pourcentage avec apport fixe donne $u_{n+1}=a\,u_n+b$ ; on pose $v_n=u_n-\ell$ avec $\ell=a\ell+b$ pour obtenir une suite géométrique.
Variations : on étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$, ou on utilise une récurrence si $f$ est croissante.
Convergence : une suite croissante majorée (ou décroissante minorée) converge ; la limite $\ell$ vérifie $f(\ell)=\ell$ si $f$ est continue.
Limites : factoriser le terme prépondérant, gendarmes, comparaison, $q^n$ selon la valeur de $q$.
Seuil : résoudre une inéquation avec $\ln$ (attention au signe) ou écrire une boucle while en Python.
Vérifie la question du début : sans formule explicite, on démontre la convergence en prouvant que la suite est monotone et bornée, puis on trouve la limite avec l'équation $f(\ell)=\ell$.